【苏科版】高中数学必修四期末试卷带答案

一、选择题
1．已知0,2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，2sin 2cos21αα-=，则cos α=（ ）
A ．
15
B C ．
35
D 2．若1sin 34a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26a π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭（ ）
A ．7
8
-
B ．
78
C ．1516
-
D ．
1516
3．已知α∈3π,π2⎛⎫ ⎪⎝
⎭,cos α=-45,则tan π4α⎛⎫
- ⎪⎝⎭
等于( ) A ．7
B ．
1
7
C ．-
17
D ．-7
4．已知直线524x π=
是函数21()sin (08)222
x f x x ωωω=+-<≤图象的一条对称轴，则ω=（ ） A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
5．已知点G 是ABC 的重心，(),AG AB AC R λμλμ=+∈，若
120,2,A AB AC ∠=︒⋅=-则AG 的最小值是（ ）
A ．
3
B ．
2
C ．
12
D ．
23
6．在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则AM ＝( ) A ．
1
()2
a b + B ．
1
()2
a b - C ．
1
2
a b + D ．12
a b +
7．设θ为两个非零向量,a b 的夹角，且6
π
θ=，已知对任意实数t ，b ta +的最小值为
1，则b =（ ） A ．
14
B ．
12
C ．2
D ．4
8．已知平面上的非零．．向量a ，b ，c ，下列说法中正确的是（ ） ①若//a b ，//b c ，则//a c ； ②若2a b =，则2a b =±；
③若23x y a b a b +=+，则2x =，3y =；
④若//a b ，则一定存在唯一的实数λ，使得a b λ=. A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
9．已知关于x 的方程2cos ||2sin ||20(0)+-+=≠a x x a a 在(2,2)x ππ∈-有四个不同的实数解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,0)(2,)-∞+∞ B ．(4,)+∞ C ．(0,2)
D ．(0,4)
10．函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫
=+>< ⎪⎝
⎭
的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A ．3
x π
=-
是()f x 图像的一条对称轴
B ．()f x 图像的对称中心为22,0,3k k Z ππ⎛⎫
+∈ ⎪⎝
⎭
C ．()1f x ≥的解集为44,4,3k k k Z πππ⎡⎤
+∈⎢⎥⎣
⎦
D ．()f x 的单调递减区间为282,2,33k k k Z ππππ⎡
⎤
+
+∈⎢⎥⎣
⎦
11．设函数()32sin cos f x x x x =+，给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为π ②()y f x =的图像关于直线12
x π
=对称
③()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
单调递减 ④把函数2cos2y x =的图象上所有点向右平移12
π
个单位长度，可得到函数()y f x =的图
象.
其中所有正确结论的编号是（ ）. A ．①④
B ．②④
C ．①②④
D ．①②③
12．下列结论正确的是（ ）
A ．sin1cos1<
B ．2317cos cos 54
ππ
⎛⎫⎛⎫
-
>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．()
()
tan 52
tan 47->-
D ．sin sin 1810ππ⎛⎫⎛⎫
-
>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
二、填空题
13．给出下列命题：①()72cos 22f x x π⎛⎫
=--
⎪⎝⎭
是奇函数；②若α、β都是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>；③38x π=-是函数33sin 24y x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图像的一条对称轴；④已知函数()2
3sin
12
x
f x π=+，使()()f x c f x +=对任意x ∈R 都成立的
正整数c 的最小值是2.其中正确命题的序号是______.
14．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
2sin cos a B b C
=，且()3
sin sin 4
A C
B -=-，则sin B =_______．
15．已知2tan 3tan 5πα=，则
2sin 59cos 10παπα⎛⎫- ⎪
⎝⎭=
⎛⎫+ ⎪⎝
⎭________. 16．已知平面向量a ，b ，c ，d 满足1a b ==，2c =，0a b ⋅=，1c d -=，则
2a b d ++的取值范围为______.
17．不共线向量a ，b 满足||||a b =，且(2)a a b ⊥-，则a 与b 的夹角为________. 18．已知夹角为θ的两个单位向量,a b ，向量c 满足()()
0a c b c -⋅-=，则c 的最大值为______.
19．若函数()f x 为定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞内是增函数，又()20f =，则不等式sin ()0x f x ⋅>，[,]x ππ∈-的解集为_________.
20．函数(x)Asin(x )f ωϕ=+ (0A >，0>ω,0ϕπ<< )的部分图象如图所示，则
4f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
________.
三、解答题
21．已知函数()21sin cos 12f x x x x =
+-(x ∈R ) （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间,63ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值，并分别写出相应的x 的值.
22．已知函数()sin (cos )f x x x x =+. （1）求3f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值及函数()f x 的单调增区间； （2）若,122x ππ⎡⎤
∀∈⎢
⎥⎣
⎦，不等式()2m f x m <<+恒成立，求实数m 的取值集合. 23．已知向量m ，n 不是共线向量，32a m n =+，64b m n =-，c m xn =+ （1）判断,a b 是否共线； （2）若//a c ，求x 的值
24．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛
⎫
=+>>< ⎪⎝
⎭
的图象经过点12π⎛
⎝，其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为2
π
. （1）求()f x 的解析式；
（2）求()f x 在[]0,π上的单调增区间.
25．已知向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫
=-=+> ⎪⎝⎭
且函数()f x u v =⋅,若函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2
π. (1)求函数f (x )的解析式; (2)将函数y =f (x )的图象向左平移12
π
个单位后,得到函数y =g (x )的图象,求函数g (x )的表达式并其对称轴;
(3)若方程f (x )=m (m >0)在0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时,有两个不同实数根x 1,x 2,求实数m 的取值范围,并求出x 1+x 2的值.
26．一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆（半径为1cm 的圆）的圆周上爬动，且两只蚂蚁均从点1,0A 同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角（其中
0180αβ︒︒<<<）．如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A 点，并且在第2秒时均位于第
二象限．
（1）求α，β的值．
（2）两只蚂蚁的爬行速度保持不变，若红蚂蚁从点A 逆时针．．．匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A 顺时针．．．
匀速爬行，求当它们从点A 出发后第一次相遇时，红蚂蚁爬过的距离．
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
先利用二倍角公式化简整理得到1
sin cos 2
αα=，再利用同角三角函数的平方关系，结合范围解出cos α即可. 【详解】
由2sin 2cos21αα-=，0,
2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，得2sin 21cos2αα=+，cos 0α>， 所以24sin cos 2cos ααα=，即2sin cos αα=，故1
sin cos 2
αα=， 代入22sin cos 1αα+=得，
25cos 14α=，故24cos 5α=，
因为cos 0α>，所以25
cos 5
α=. 故选：D. 【点睛】 关键点点睛：
本题解题关键在于熟记公式并准确运算，还要注意角的范围的限制，才能突破难点.
2．B
解析：B 【分析】
化简sin 2cos 2()63
a ππ
α⎛⎫
-=- ⎪⎝
⎭，再利用二倍角公式化简求值. 【详解】
22sin 2sin[(2)]cos(2)=cos 2()cos 2()632333a ππππππαααα⎛
⎫-=-+=--=- ⎪⎝
⎭
=2
17
12sin ()123
168
π
α--=-⨯
=. 故选：B 【点睛】
方法点睛：三角恒等变换常用的方法有：三看（看角、看名、看式）三变（变角变名变式），要根据已知条件灵活选择方法化简求值.
3．B
解析：B 【分析】
先根据同角三角函数关系求tan α，再根据两角差正切公式求结果. 【详解】 由已知得tan α=34,则tan π1tan 1
41tan 7ααα-⎛⎫-=
= ⎪+⎝⎭
. 选B 【点睛】
本题考查同角三角函数关系、两角差正切公式，考查基本求解能力.
4．B
解析：B 【分析】
首先通过三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果． 【详解】
解：函数211()sin cos )sin sin()2223
x
f x x x x x ωπωωωω=+=-+=-， 令：
5()2432k k Z πππωπ-=+∈，解得244()5
k
k Z ω=+∈， 由于08ω<， 所以4ω=． 故选：B ． 【点睛】
本题考查三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，
5．D
解析：D
【分析】
先根据重心得到()
1
3
AG AB AC =
+，设0,0AB x AC y =>=>，利用数量积计算4xy =，再利用重要不等式求解()
2
21
9
A AG
B A
C =
+的最小值，即得结果. 【详解】
点G 是ABC 的重心，设D 为BC 边上的中点，则()
21
33
AG AD AB AC =
=+， 因为120,2,A AB AC ∠=︒⋅=-设0,0AB x AC y =>=>，则cos1202xy ︒=-，即
4xy =，故()
()
()2
2
221
1144249
999AG x y x B AC y A =
+-≥-=+=
，即23
AG ≥， 当且仅当2x y ==时等号成立，故AG 的最小值是2
3
. 故选：D. 【点睛】 关键点点睛：
本题的解题关键在于通过重心求得向量关系()
1
3
AG AB AC =
+，利用数量积得到定值，才能利用重要不等式求最值，突破难点，要注意取条件的成立.
6．D
解析：D 【分析】
根据向量的加法的几何意义即可求得结果. 【详解】
在ABC ∆中，M 是BC 的中点， 又,AB a BC b ==， 所以1122
AM AB BM AB BC a b =+=+=+， 故选D. 【点睛】
该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目.
7．C
解析：C 【分析】
由题意可知，2
2
22()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令2
2
2()2g t a t a bt b =+⋅+，由二次函数的性质可知，当2
2cos
6
2b a b t a
a
π
⋅=-
=-
时，()g t 取得最小值1，变形可得2
2
sin
16
b π
=，
从而可求出b 【详解】
解：由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令22
2()2g t a t a bt b =+⋅+， 因为2
2
2
2
2
2
4()44(cos 1)06
a b a b a b π
∆=⋅-=-<，
所以()g t 恒大于零， 所以当2
32cos
6
22b b a b t a
a
a
π
⋅=-
=-
=-
时，()g t 取得最小值1，
所以2
2
2
3332122b b b
g a a b b a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-+⋅-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 化简得2
114
b =，
所以2b =， 故选：C 【点睛】
此题考查平面向量数量积的运算，涉及二次函数的最值，考查转化思想和计算能力，属于中档题
8．B
解析：B 【分析】
根据向量共线定理判断①④，由模长关系只能说明向量a ，b 的长度关系判断②，举反例判断③. 【详解】
对于①，由向量共线定理可知，//a b ，则存在唯一的实数1λ，使得1λa b ，//b c ，
则存在唯一的实数2λ，使得2λb
c ，由此得出存在唯一的实数12λλ⋅，使得
12a c λλ=⋅，即//a c ，则①正确；
对于②，模长关系只能说明向量a ，b 的长度关系，与方向无关，则②错误； 对于③，当a b =时，由题意可得()5x y a a +=，则5x y +=，不能说明2x =，3y =，则③错误；
由向量共线定理可知，④正确； 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了向量共线定理以及向量的定义，属于中档题.
9．D
解析：D 【分析】
令2
()cos ||2sin ||2(0)=+-+≠f x a x x a a ，易知函数()f x 是偶函数，将问题转化为研
究当(0,2)x π∈时，2()cos 2sin 2=+-+f x a x x a 有两个零点，令sin t x =，则转化为
2()22(0)=--≠h t at t a 有一个根(1,1)t ∈-求解.
【详解】
当(2,2)x ππ∈-，2
()cos ||2sin ||2(0)=+-+≠f x a x x a a ，则()()f x f x -=，
函数()f x 是偶函数，
由偶函数的对称性，只需研究当(0,2)x π∈时，2
()cos 2sin 2=+-+f x a x x a 有两个零
点，
设sin t x =，则2
()22(0)=--≠h t at t a 有一个根(1,1)t ∈- ①当0a <时，2()22=--h t at t 是开口向下，对称轴为1
0t a
=
<的二次函数， (0)20h =-<则(1)0->=h a ，这与0a <矛盾，舍去；
②当0a >时，2()22=--h t at t 是开口向上，对称轴为1
0t a
=>的二次函数， 因为(0)20h =-<，(1)220-=+->=h a a ， 则存在(1,0)t ∈-，只需(1)220=--<h a ，解得4a <， 所以04a <<．
综上，非零实数a 的取值范围为04a <<． 故选：D ． 【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
10．C
解析：C 【分析】
结合五点作图法和函数图像可求得函数解析式，采用代入检验法可依次判断各个选项得到结果. 【详解】
()10sin 2f ϕ==
且2π
ϕ<，6
πϕ∴=，
又882sin 233f π
πωϕ⎛⎫⎛⎫
=+=-
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，由五点作图法可得：83362πππω+=，解得：
12
ω=
， ()1
2sin 2
6f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭.
对于A ，当3
x π
=-
时，
1026x π+=，,03π⎛⎫
∴- ⎪⎝⎭
是()f x 的对称中心，A 错误； 对于B ，当223x k π
π=+时，1262x k πππ+=+，223
x k ππ∴=+是()f x 的对称轴，B 错误；
对于C ，由()1f x ≥得：1
in 2
612s x π⎛⎫ ⎪⎭≥+⎝，15226266k x k πππππ∴+≤+≤+， 解得：43
44k x k π
ππ≤
+≤，C 正确； 对于D ，当282,233x k k ππππ⎡
⎤∈++⎢⎥⎣
⎦时，13,2622x k k πππππ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦
， 当1k =时，135,2622x πππ⎡⎤
+∈⎢⎥⎣⎦
，不是()f x 的单调递减区间，D 错误. 故选：C. 【点睛】
方法点睛：本题考查正弦型函数()sin y A ωx φ=+的性质的判断，解决此类问题常用的方法有：
（1）代入检验法：将所给单调区间、对称轴或对称中心代入x ωϕ+，确定x ωϕ+的值或范围，根据x ωϕ+是否为正弦函数对应的单调区间、对称轴或对称中心来确定正误； （2）整体对应法：根据五点作图法基本原理，将x ωϕ+整体对应正弦函数的单调区间、对称轴或对称中心，从而求得()sin y A ωx φ=+的单调区间、对称轴或对称中心.
11．C
解析：C 【分析】
根据题意，利用辅助角公式和两角和的正弦公式化简得()2sin(2)3
f x x π
=+
，根据
2T ω
π
=
求出最小正周期即可判断①；利用整体代入法求出()y f x =的对称轴，即可判断
②；利用整体代入法求出()y f x =的单调减区间，从而可得在区间2,63ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上先减后增，即可判断③；根据三角函数的平移伸缩的性质和诱导公式化简，即可求出平移后函数，从而可判断④. 【详解】
解：函数()2sin cos sin 22sin(2)3f x x x x x x x π
++=+，
即：()2sin(2)3
f x x π
=+
，
所以()f x 的最小正周期为222
T π
π
πω
==
=，故①正确； 令2,3
2
π
π
π+
=
+∈x k k Z ，解得：,12
2
k x k Z π
π
=
+
∈， 当0k =时，则直线12
x π
=
为()y f x =的对称轴，故②正确； 令3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤
+∈，解得：7,1212ππ
ππ+≤≤+∈k x k k Z ， 所以()f x 的单调递减区间为：7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤
++∈⎢
⎥⎣⎦
， 当0k =时，()f x 的一个单调递减区间为7,1212ππ⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦， 则区间7,612ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦上单调递减，故在区间2121,3228,6ππππ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
上先减后增，故③错误； 把函数2cos2y x =的图象上所有点向右平移12
π
个单位长度，
得到s 2)2cos 22co 22cos 2126332sin(2y x x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=-=-=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎦⎣⎦+⎝
⎭⎣
即平移后得到函数()y f x =的图象，故④正确. 所以所有正确结论的编号是：①②④. 故选：C. 【点睛】
关键点点睛：本题考查三角函数的图象和性质，熟练掌握正弦型函数的周期、对称轴、单调区间的求法，以及三角函数的平移伸缩是解题的关键，还考查辅助角公式、两角和的正弦公式以及诱导公式的应用，考查学生化简运算能力.
12．D
解析：D 【分析】
利用正弦函数的单调性可判断AD 选项的正误；利用正切函数的单调性可判断C 选项的正误；利用余弦函数的单调性可判断B 选项的正误. 【详解】
对于A 选项，因为正弦函数sin y x =在0,
2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上单调递增，
且0112
2
π
π
<
-<<
，则sin1sin 1cos12π⎛⎫
>-=
⎪⎝⎭
，A 选项错误； 对于B 选项，因为余弦函数cos y x =在()0,π上为减函数，
23233cos cos cos 555πππ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，1717cos cos cos 444πππ⎛⎫
-
== ⎪
⎝⎭
， 304
5π
ππ<
<
<，则3cos cos 54ππ<，即2317cos cos 54
π
π
⎛⎫⎛⎫
-
<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，B 选项错误； 对于C 选项，当900x -<<时，正切函数tan y x =单调递增， 因为9052470-<-<-<，所以，()()tan 52
tan 47-<-，C 选项错误；
对于D 选项，因为正弦函数sin y x =在,02π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递增，
因为02
10
18π
π
π
-
<-
<-
<，所以，sin sin 1810ππ⎛⎫⎛⎫
->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，D 选项正确. 故选：D. 【点睛】
思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个： （1）判断各个数值所在的区间； （2）利用函数的单调性直接解答.
二、填空题
13．①③④【分析】对①化简得可判断；对②取特殊值可说明；对③代入求值可判断；对④化简求出其最小正周期即可判断【详解】对①是奇函数故①正确；对②如但故②错误；对③当时取得最大值故③正确；对④则的最小正周期
解析：①③④ 【分析】 对①，化简得
()()2sin 2f x x =可判断；对②，取特殊值可说明；对③，代入
38x π
=-
求值可判断；对④，化简()f x ，求出其最小正周期即可判断. 【详解】 对①，()()72cos 22sin 22f x x x π⎛⎫
=--= ⎪⎝⎭
是奇函数，故①正确； 对②，如7,33
ππ
αβ=
=，但tan tan αβ=，故②错误； 对③，当38x π
=-
时，333sin 2384y ππ⎡⎤
⎛⎫=⨯--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，取得最大值，故③正确；
对④，()()2
353sin
1cos 222x
f x x ππ=+=-+，则()f x 的最小正周期为22ππ
=，则c 的最小值是2，故④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】
本题考查三角函数奇偶性的判断，考查三角函数的单调性和对称性以及周期性，解题的关键是正确化简，正确理解三角函数的性质.
14．【分析】代入展开整理得①化为与①式相加得转化为关于的方程求解即可得出结论【详解】因为所以所以因为所以则整理得解得故答案为:【点睛】本题考查正弦定理的边角互化考查三角函数化简求值属于中档题 解析：
12
【分析】
sin sin()B A C =+代入()3sin sin 4
A C
B -=-，展开整理得3
2cos sin 4A C =，①
2sin cos a B b C
=化为22sin cos sin A C B =，与①式相加得 ()23
2sin cos cos sin sin 4
A C A C
B +=+，转化为关于sin B 的方程，求解即可得出结论.
【详解】
因为()3sin sin 4
A C
B -=-，所以()()3
sin sin 4A C A C -=+-，
所以3
2cos sin 4A C =，因为2sin cos a B b C
=，
所以22sin cos sin A C B =，
则()2
3
2sin cos cos sin sin 4
A C A C
B +=+
， 整理得2
3
sin 2sin 04B B -+=，解得1sin 2
B =. 故答案为:1
2
. 【点睛】
本题考查正弦定理的边角互化，考查三角函数化简求值，属于中档题.
15．【分析】由可得然后用正弦的和差公式展开然后将条件代入即可求出原式的值【详解】因为所以故答案为：【点睛】本题考查的三角恒等变换解决此类问题时要善于发现角之间的关系
解析：1
2
【分析】
由259210πππαα+=++可得22sin sin 5592cos sin 105ππααππαα⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，然后用正弦的和差公式
展开，然后将条件代入即可求出原式的值 【详解】 因为2tan 3tan
5
π
α= 所以222sin sin sin 555922cos cos sin 10255πππαααππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
==⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+++-+ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2222sin
cos cos sin tan tan 2tan 1555522222sin cos cos sin tan tan 4tan
5555ππππαααππππααα---====----- 故答案为：1
2
【点睛】
本题考查的三角恒等变换，解决此类问题时要善于发现角之间的关系.
16．【分析】用几何意义求解不妨设则在圆心在原点半径为2的圆上设则在以为圆心半径为1的圆上运动后形成的轨迹是圆心在原点大圆半径为3小圆半径为1的圆环表示圆环内的点与定点的距离由图形可得最大值和最小值【详解
解析：3⎡⎤⎣⎦
【分析】
用几何意义求解．不妨设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，则(,)C x y 在圆心在原点，半径为2的圆上，设(),d x y '='，则(,)D x y ''在以C 为圆心半径为1的圆上，C 运动后，
D 形成的轨迹是圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环，2a b d ++表示圆环
内的点D 与定点()2,1P --的距离，由图形可得最大值和最小值． 【详解】
令()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，设C 的坐标为(),x y ，C 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆上.
设(),d x y '='，D 的坐标为(),x y ''，D 的轨迹为圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环上.()22,1a b d d ++=---表示D 与点()2,1P --的距离，
由图可知，故2a b d ++的取值范围为0,53⎡⎤+⎣⎦. 故答案为：0,53⎡⎤+⎣⎦
【点睛】
本题考查向量模的几何意义，考查模的最值，解题关键是设()1,0a =，()0,1b =，
(),c x y =，(),d x y '='，固定,a b 后得出了,C D 的轨迹，然后由模2a b d ++的几何意
义得出最值．
17．【解析】由垂直可知=0即又因为所以填（或） 解析：3
π
【解析】
由垂直可知()
a a 2
b -=0,即2
||20a a b -⋅=,2||2
a a
b ⋅=
,1
cos ,2a b a b a b ⋅==⋅,又因为,[0,]a b π<>∈ ,所以,3
a b π
<>=
.填
π
3
（或60︒）. 18．【分析】建立平面直角坐标系设出向量的坐标得出向量的终点的轨迹方程再运用点与圆的位置关系可以得到的最大值【详解】由已知建立平面直角坐标系设又所以所以点在以为圆心以为半径的圆上所以的最大值为所以的最大值 解析：cos
sin
2
2
θ
θ
+
【分析】
建立平面直角坐标系，设出向量a b c ，，的坐标，得出向量c 的终点C 的轨迹方程，再运用点与圆的位置关系可以得到||c 的最大值. 【详解】
由已知建立平面直角坐标系，设
()()()10cos ,sin ,,OA a OB b OC c x y θθ======，，，又()()0a c b c -⋅-=，
所以()2
2
+1+cos sin +cos 0x x y y θθθ-⋅-⋅=，
所以点C 在以1+cos sin ,22P θθ⎛⎫
⎪⎝⎭
为圆心，以sin 2R θ=为半径的圆上，
所以c 的最大值为+cos +sin 222OP R θθθ==， 所以c 的最大值为cos sin
2
2
θ
θ
+，
故答案为：cos sin
2
2
θ
θ
+.
【点睛】
本题考查求向量的模的最值，建立平面直角坐标系，设出向量坐标，得出向量的终点的轨迹方程是解决本题的关键，属于中档题.
19．【分析】设先分析出的奇偶性然后分类讨论在上的取值情况最后根据的奇偶性求解出在上的解集【详解】设因为为奇函数为偶函数所以且定义域为关于原点对称所以为奇函数因为在上单调递增且当时所以当时所以当时所以当时 解析：()
()2,02,π-
【分析】
设()()sin g x x f x =⋅，先分析出()g x 的奇偶性，然后分类讨论()g x 在[]0,π上的取值情况，最后根据()g x 的奇偶性求解出()0g x >在[],ππ-上的解集. 【详解】
设()()sin g x x f x =⋅，因为sin y x =为奇函数，()f x 为偶函数，
所以()()()()()sin sin g x x f x x f x g x -=-⋅-=-⋅=-，且定义域为R 关于原点对称，所以()g x 为奇函数，
因为()f x 在()0,∞+上单调递增，且()20f =， 当0x =时，sin 0x =，所以sin ()0x f x ⋅=，
当()0,2x ∈时，()sin 0,0x f x ><，所以sin ()0x f x ⋅<， 当2x =时，()20f =，所以sin ()0x f x ⋅=，
当()2,x π∈时，()sin 0,0x f x >>，所以sin ()0x f x ⋅>， 所以当[]0,x π∈时，若()0g x >，则()2,x π∈，
又因为()g x 为奇函数，且[],x ππ∈-，根据对称性可知：若()0g x >，则
()
()2,02,x π∈-，
故答案为：()()2,02,π-.
【点睛】
方法点睛：已知()f x 的单调性和奇偶性，求解不等式()()00f x ><在指定区间上的解集的常用方法：
（1）分类讨论法：根据临界值采用分类讨论的方法将区间分成几段，分别考虑每一段上
()f x 的正负，由此求解出不等式的解集；
（2）数形结合法：根据题意作出()f x 的草图，根据图象直接写出不等式()()00f x ><的解集.
20．【分析】观察图象可求得进而可得然后求出的值可得；而后由可求得的值得出最后代值计算即可得解【详解】由图象可知∴∴∴又∴（）∴（）∵∴∴则故答案为：【点睛】本题重点考查了正弦型三角函数的图象和性质考查逻
【分析】
观察图象可求得2A =，311341264
T πππ
=
-=，进而可得T π=，然后求出ω的值，可得()()22f x sin x ϕ=+；而后由26f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭，可求得ϕ的值，得出
()2sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
最后代值计算即可得解. 【详解】
由图象可知2A =，311341264
T πππ
=-=，∴T π=， ∴22π
ωπ
=
=，∴()()22f x sin x ϕ=+，
又26f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，∴2262k ππϕπ⨯+=+（k Z ∈），
∴
26
k π
ϕπ=
+（k Z ∈），∵0ϕπ<<，∴6
π=
ϕ， ∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭
，
则222cos 4466f sin ππππ⎛⎫⎛⎫
=⨯+==
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【点睛】
本题重点考查了正弦型三角函数的图象和性质，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.
三、解答题
21．（1）π；（2）当3
x π
=时，()max
1
f x =；当12x π=-时，()min 32f x =-. 【分析】
（1）利用二倍角公式和辅助角公式，将函数转化为()1sin 2123f x x π⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭求解.. （2）根据,63x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，得到22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，再利用正弦函数的性质求解.
【详解】
（1）()21sin cos cos 1224
f x x x x =
-+-，
1sin 2214x x =
--， 1sin 2123x π⎛
⎫=-- ⎪⎝⎭
， 所以()f x 的最小正周期为22
T π
π==. （2）∵,63x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣
⎦， ∴22,333x π
ππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦
，
当23
3
x π
π
-=
，即3
x π
=
，()max
1f x =-， 当23
2
x π
π
-
=-
，12
x π
=-
时，()()min 131122
f x =
⨯--=-. 【点睛】
方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式． 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2T ω
π
=，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小
正周期为T π
ω
=
. 3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．
22．（15,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【分析】
（1）根据三角恒等变换化简函数()f x ，代值求3f π⎛⎫
⎪⎝⎭
，用整体代换法求单调递增区间； （2）求出函数在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，原不等式等价于函数()f x 在,122ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的值域是(),2m m +的子集，列出不等式组化简即可.
【详解】
解：（1
）)21()sin (cos )sin 22sin 12f x x x x x x =+=+-
1sin 22sin 2223x x x π⎛
⎫=-=- ⎪⎝
⎭
所以sin 2s 3in 333f ππππ⎛⎛⎫=
⎫⎛⎫
⨯-== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
⎪⎝⎭ 由222()2
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤-
≤+
∈得5()12
12
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈， 故函数的单调增区间为5,()12
12k k k Z π
πππ⎡
⎤
-+
∈⎢⎥⎣
⎦
（2）当,122x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
时，22,363x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以1(),12f x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，
因为,122x ππ⎡⎤
∀∈⎢
⎥⎣⎦
不等式()2m f x m <<+恒成立 所以1112212
m m m ⎧
<-
⎪⇒-<<-⎨⎪<+⎩
所以实数m 的取值集合11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭
. 【点睛】
求三角函数单调区间的2种方法:
（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；
（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.
23．（1）,a b 不共线；（2）23
x = 【分析】
（1）根据平面向量共线定理判断． （2）由平面向量共线定理计算． 【详解】
解：（1）若a 与b 共线，由题知a 为非零向量， 则有b a λ=，即64(32)m n m n λ-=+，
6342λλ=⎧∴⎨-=⎩
得到2λ=且2λ=-， λ∴不存在，即a 与b 不平行.
（2） ∵//a c ，∴存在实数r ，使得c ra =， 即32m xn rm rn +=+， 即132r x r
=⎧⎨
=⎩，解得2
3x =.
【点睛】
本题考查平面向量共线定理，掌握平面向量共线定理是解题基础． 24．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
；（2）06
,π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，2π
,π3
. 【分析】
（1）根据函数()f x 最大值与最小值的差为4，求得A ,再由相邻两个零点之间的距离为
2π，求得ω，然后由函数()f x 的图象经过点12π⎛ ⎝，求得函数的解析式. （2）令222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-+≤+
≤+
∈，结合[]0,x π∈，利用正弦函数的性质求
解. 【详解】
（1）因为函数()f x 最大值与最小值的差为4， 所以A =2,
又相邻两个零点之间的距离为2
π
. 所以T π=， 所以 22π
ωπ
=
=，
所以()()2sin 2f x x ϕ=+，
又函数()f x 的图象经过点12π⎛ ⎝，
所以()2sin 212f x π
ϕ⎛
⎫=⨯
+= ⎪⎝
⎭sin 62
πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，
所以263k π
π
ϕπ+=+或2263
k π
πϕπ+=+， 解得26k πϕπ=+或22k πϕπ=+， 又2π
ϕ<， 所以6
π=ϕ， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭； （2）令222,262k x k k Z πππππ-
+≤+≤+∈， 解得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，
因为[]0,x π∈， 所以06x π
≤≤或2π
π3x ，
所以()f x 在[]0,π上的单调增区间是06
,π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，2π,π3
. 【点睛】 方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式． 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2T ωπ=
，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T πω
=. 3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．
25．(1)()26f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭;(2)()2g x sin x =, 对称轴为,42k x k Z ππ=+
∈;(3)112m ≤<,,1223
x x π+=. 【分析】 (1) 根据向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛
⎫=-=+> ⎪⎝⎭
和函数()f x u v =⋅，利用数量积结合倍角公式和辅助角法得到，()26πω⎛⎫=- ⎪⎝
⎭f x sin x ，再根据函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2
π求解.
(2)依据左加右减，将函数y =f (x )的图象向左平移12π
个单位后，得到函数
()22126g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令2,2ππ=+∈x k k Z 求其对称轴. (3)作出函数f (x )在0,
2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上图象，根据函数y =f (x )与直线y =m 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点求解.再令2,62x k k Z πππ-
=+∈，求对称轴. 【详解】
(1)()()21122
ωωωωωω=-=-f x sin x sin x x sin x xcos x ，
122226πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝
⎭x cos x sin x ∵函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2
π， ∴
22
T π=， ∴2(0)2ππωω
=>， ∴ω=1， 故函数f (x )的解析式为()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭; (2)依题意，()22126g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+
-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 令2,2π
π=+∈x k k Z ，则,42
π
π=+∈k x k Z ， ∴函数g (x )的对称轴为,42ππ=
+∈k x k Z ; (3)∵0,
2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦
， ∴12,162sin x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦， 函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的草图如下，
依题意，函数y =f (x )与直线y =m 在0,
2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点，则112m ≤<， 令2,62x k k Z π
π
π-=+∈，则,32
k x k Z π
π=+∈， ∴函数f (x )在0,
2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的对称轴为3x π=，则1223x x π+=. 【点睛】 本题主要考查了平面向量和三角函数，三角函数的图象和性质及其应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
26．（1）3607α⎛⎫=
⎪⎝
⎭，5407β⎛⎫= ⎪⎝
⎭；（2）45πcm . 【分析】
（1）根据题中条件，先设()36140
k k Z α=⋅∈，()14360m m Z β=⋅∈，再由两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，0180αβ︒︒<<<，列出不等式求解，得出k 和m 的值，
即可得出结果；
（2）先设它们从点A 出发后第一次相遇时，所用的时间为t 秒，根据题中条件求出t ，根据弧长的计算公式，即可求出结果.
【详解】
（1）由题意可得，14α与14β都是360的整数倍，
不妨设()36140
k k Z α=⋅∈，()14360m m Z β=⋅∈， 则()1807k k Z α=⋅∈，()1807
m m Z β=⋅∈， 又两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，
所以902180902180αβ⎧<<⎨<<⎩，即()()29018018072901801807k k Z m m Z ⎧<⋅<∈⎪⎪⎨⎪<⋅<∈⎪⎩
，所以
()()7742774
2k k Z m m Z ⎧<<∈⎪⎪⎨⎪<<∈⎪⎩， 因为0180αβ︒︒<<<，所以k m <，所以2k =，3m =， 即3607α⎛⎫= ⎪⎝
⎭，5407β⎛⎫= ⎪⎝
⎭
； （2）两只蚂蚁的爬行速度保持不变，若红蚂蚁从点A 逆时针．．．
匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A 顺时针．．．
匀速爬行，设它们从点A 出发后第一次相遇时，所用的时间为t 秒， 则()360t αβ+=，即36054036077t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解得145t =， 所以红蚂蚁爬过的角度为144t α=，
因为圆的半径为1cm ， 所以红蚂蚁爬过的距离为1444213605ππ⋅⋅=cm . 【点睛】
关键点点睛：
求解本题第一问的关键在于根据任意角的概念以及题中条件，得到14α与14β都是360的整数倍，利用题中所给限制条件：第2秒时均位于第二象限，即可求解.。