深圳高级中学2012届高三上第一次测试数学(理科)试题

深圳高级中学2012届高三上学期第一次测试
数学（理科）试题
本试卷满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，
有且只有一项是符合题目要求的。

1． 已知集合{}
,,02|2R x a x x x A ∈=-+=且A ≠φ,则实数a 的取值范围是
A. 1≤a
B. 1-≤a
C. 1≥a
D.≥a 1- 2. 当+
∈R x 时，下列各函数中，最小值是2 的是
A ．422
+-=x x y B ．x x y 16+
= C ．2
1222++
+=
x x y D ．x
x y 1+
= 3．已知平面向量()3,-=x a
与向量()2.3-=b 垂直，则x 的值是
A ．3
B ．2
C ．－2
D ．－3
4．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为
A ． 81
B ． 120
C ． 168
D ． 192 5．设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为y ＝2
1±
x ，则该双曲线的离心率e ＝ A ．5 B ．5 C ．
2
5 D ．45
6．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ① 若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ；
② 若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ； ③ 若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ④ 若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β。

其中正确命题的序号是
A ．①和②
B ．②和③
C ．③和④
D ．①和④
7．若椭圆12222=+b
y a x (a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线bx y 22
=
的焦点分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为 A ．
1617
B ．41717
C ．45
D ．255
8．设函数)(1)(R x x
x
x f ∈+-
=，区间M=[a ，b](a<b)，集合N={M x x f y y ∈=),(}，则使M=N 成立的实数对(a ，b)有 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数多个
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9．在四面体O ABC -中，OA OB OC D ===，，，a b c 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE = （用，，a b c 表示）．
10．在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，,且4sin ,3cos ==A b B a
则=a .
11．若函数f(x)=a 2+-b x 在[0,+∞)上为增函数,则实数a 、b 的取值范围 是 .
12．过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 斜率为K 的直线交抛物线于A 、B 两点，若直线AB 的倾斜角为锐角，BF AF 2=，则K= 。

13．曲线2311
2224
y x y x =-
=-与在交点处切线的夹角是______（用度数作答） 14．已知点P 在直线0104=+-y x 上, O 为坐标原点,)1,3(-A ,则AP OP +的最小值
为 .
三．解答题：本大题共6小题，满分80分。

解答题须写出文字说明、证明过程和演算步
骤。

15．（本题满分12分）设函数f(x)=b a
∙，其中向量a =(2cosx ，1)，b =(cosx ，3sin2x)，
x ∈R.
（1）若f(x)=1-3且x ∈[-
3π，3
π
]，求x ； （2）若函数y=2sin2x 的图象按向量c
=(m ，n)(|m|<2
π
)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m 、n 的值。

16．（本题满分13分）已知函数x x a x x f ln )(+-=（a 为常数） （1）当5=a 时，求)(x f 的极值；
（2）若)(x f 在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围。

17．（本题满分13分）如图所示，在四面体
，，，，中，PC PB BC AC PB BC PA ABC P ==⊥⊥-2 A BC P --是060的二面角。

（1）求证：AB PC ⊥；
（2）求四面体ABC P -的体积。

18．（本题满分14分）已知P （1，
3
1）是函数)1,0()(≠>=a a a x f x
的图象上一点，等比数列{}n a 的前n 项和等于c n f -)(，数列{})0(>n n b b 的首项为c ，且前n 项和n S 满足
)2(11≥+=---n S S S S n n n n
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和为n T ，问满足20091000
>
n T 的最小正整数n 是多少？
19．（本题满分14分）（1）已知点A （0,2
3
）、B （3，0），动点M 到A 与B 的距离比为常数
2
1
，求点M 的轨迹方程。

（2）求与圆1)1(22=+-y x 外切，且与直线03=+y x 相切于点)3,3(-Q 的圆的方程。

20．（本题满分14分）已知}{n a 是等差数列，d 为公差且不等于0，1a 和d 均为实数，它的前n 项和记作n S ，设集合}|),
{(*N n n
S a A n
n ∈=，},,14
1|
),{(22
R y x y x y x B ∈=-=，试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明．
（1）若以集合A 中的元素作为点的坐标，则这些点都在一条直线上； （2）B A 至多有一个元素；
（3）当01≠a 时，一定有∅≠B A ．
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分共计40分）
1 2 3 4 5 6 7 8 D
D
C
B
C
A
D
A
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9．c b a
4
14121++ 10．5 11．0:0≤>b a 12．22
13．0
45 14．25
三、解答题（本大题共6小题，满分共80分）
15．（本小题满分12分）
解:1)6
2sin(22sin 32cos 12sin 3cos 2)(2
++=++=+=π
x x x x x x f 4分
(1) 依题意311)6
2sin(2)(-=++
=π
x x f ,
∴2
3
)6
2sin(-
=+
π
x , ∵⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-∈3,3ππx ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+65,262πππx
∴3
62π
π
-
=+
x ,
∴4
π
-
=x 8分
(2) 函数y=2sin2x 的图象平移后为y=2sin2(x-m)+n; 对照1)6
2sin(2)(++=π
x x f
得)(6
22Z k k m ∈-=π
π;n=1又∵2
π
<
m ∴1;12
=-
=n m π
12分
16．（本小题满分13分）
（I ） a=5时，f(x)=错误！未找到引用源。

， 2分
∴f ’(x)=1-错误！未找到引用源。

(x>0)，
=错误！未找到引用源。

4分
x
0<x<错误！未找到引用源。

x=错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

<x<4
x=4 x>4
f’(x) + 0 - 0 +
f(x) 递增 极大值f(错误！未找到引用源。

)
递减 极小值f(4) 递增
∴f(x)极大=错误！未找到引用源。

，f(x)极小=-6+ln4。

8分
（2）解法一：
∵f(x)在定义域（0，+∞）上是增函数， ∴f ’(x)≥0对x ∈（0，+∞）恒成立， 即错误！未找到引用源。

，∴错误！未找到引用源。

10分 又错误！未找到引用源。

（当且仅当x=1时，错误！未找到引用源。

）， ∴（错误！未找到引用源。

）min =2，∴a ∈（-∞，4]。

13分 解法二：
令t=错误！未找到引用源。

，则g(t)= f ’(x)=错误！未找到引用源。

(t>0),
错误！未找到引用源。

或错误！未找到引用源。

， 10分
解得，a ≤0或0<a ≤4,∴a ∈（-∞，4]。

13分 17．（本小题共13分）
（1）证明：作PO ⊥面ABC 于O ，连接AO 、BO 。

因为PA ⊥BC ，所以AO ⊥BC ，PB ⊥AC ，BO ⊥AC ，故O 是△ABC 的垂心。

连接CO ，有CO ⊥AB ，所以PC ⊥AB 。

5分
（2） 解：延长AO 交BC 于D ，得AD ⊥BC ，故PD ⊥BC ，所以∠PDO 是面PBC 与面ABC 所成
角的平面角。

7分
因为PB=PC ，所以D 是BC 的中点，故AB=AC 。

在Rt △PDO 中，PO=ODtan60°=错误！未找到引用源。

OD 。

9分
在Rt △ADC 与Rt △CDO 中，因为∠DAC=∠DCO ，所以△ADC ≈△CDO ，故有错误！
未找到引用源。

，即AD ·OD=
2
24
1⋅=1 11分 3
3
441263263213131=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=∆-DO AD AD BC PO S PO V ABC ABC P
故错误！未找到引用源。

13分
18．（本小题满分14分）
(1)因为点（1，错误！未找到引用源。

）是函数f(x)=a x
(a>0，且a ≠1)的图象
上一点，故f(1)=a=错误！未找到引用源。

即f(x)=(错误！未找到引用源。

)x。

设等比数列|a n |的前n 项和为A n ，依题意，得A n =f(n)-c=(错误！未找到引用源。

)n -c ，所以当n=1时，a 1=错误！未找到引用源。

-c 。

当n ≥2时，
a n =A n -A n-1=(错误！未找到引用源。

)n -(错误！未找到引用源。

)n-1=-错误！未找到引用源。

n-1。

3分
由数列｛a n ｝为等比数列，可知a 1=错误！未找到引用源。

-c=-错误！未找到引
用源。

（错误！未找到引用源。

）
1-1
解得c=1，所以数列｛a n ｝的通项公式为a n =错误！未找到引用源。

n-1=-2错误！未找到引用源。

n
，n ∈N *
，5分
数列｛b n ｝ （b n >0）的首项为b 1=c=1.
而前n 项和S n 满足S n -S n-1=错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

(n 错误！未找到引用源。

2)
整理得（错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

）（错误！未找到引用源。

-错误！未找到引用源。

）=错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

. 由b n >0可知S n >0,所以错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

>0，所以错误！未找到引用源。

-错误！未找到引用源。

又因为S 1=b 1=1,即错误！未找到引用源。

=1. 所以数列{S n }是首项为1，公差为1的等差数列，错误！未找到引用源。

=1+(n-1)
错误！未找到引用源。

1=n,所以S n =n 2
.
当n 错误！未找到引用源。

2时，b n =S n -S n-1=n 2-(n-1)2
=2n-1. 又当n=1时，b 1=2错误！未找到引用源。

1-1=1符合以上公式。

所以数列{b n }的通项公式为b n =2n-1(n 错误！未找到引用源。

N*). 9分
(2)由（1）知错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

.
所以T n =错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

(1-错误！未找到引用源。

)=错误！未找到引用源。

. 令T n =错误！未找到引用源。

>错误！未找到引用源。

，解得n>错误！未找到引用源。

=111错误！未找到引用源。

的最小正整数n 是112. 14分
19．（本小题满分14分） (1)解:设),(y x M ,
则21)3()23
(2
22
2=+-+-y x y x 3分 两边平方整理得:1)1(2
2
=+-y x 5分
(2)解:设所求圆方程为222)()(r b x a x =-+-
依题意有⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧-=-+⨯-=++=+-13333231)1(2
2a b r
b a r b a 9分 ∴)4(3-=a b 代入前两个等式得：321)1(2
2
-+=+-a b a （1） 当3>a 时，有222)52()4(3)1(-=-+-a a a
解得2,0,4==∴=r b a 11分 （2）当3≤a 时，有222)27()4(3)1(a a a -=-+- 解得 6,34,0=-=∴=r b a
综上所述：36)34(;4)4(2222=++=+-y x y x 14分
20．（本小题满分14分）
【解】（Ⅰ）正确． 因为，在等差数列}{n a 中，2)(1n n a a n S +=
，所以，2
1n
n a a n S +=． 这表明点),
(n
S a n n 的坐标适合方程)(21
1a x y +=．
所以，点),
(n
S a n n 均在直线)(21
1a x y +=上． …………………4分
（Ⅱ）正确．
设B A y x ∈),(，则),(y x 坐标中的x 、y 应是方程组⎪⎩⎪⎨⎧
=-+=14
,2121221y x a x y 的解． 解这个方程组，消去y ，得422
11-=+a x a ．（﹡）
当01=a 时，方程（﹡）无解，此时，∅=B A ． ………………………6分
当01≠a 时，方程（﹡）只有一个解1
2
1
24a a x --=，
此时方程组也只有一个解，即⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=--=
.44,2412
11
2
1
a a y a a x 故上述方程组至多有一解，所以B A 至多有一个元素． ………………9分
（Ⅲ）不正确．
取11=a ，1=d ，对一切*
N n ∈，有0)1(1>=-+=n d n a a n ，
0>n
S n
． 这时集合A 中的元素的点的横、纵坐标均为正．
另外，由于011≠=a ，如果∅≠B A ，那么根据（Ⅱ）的结论，
B A 至多有一个元素（00,y x ），而025241210<-=--=a a x ，04
3
4412
10<-=-=a a y ．
这样的A y x ∉),(00，产生矛盾．所以，11=a ，1=d 时，∅=B A ， 故01≠a 时，一定有∅=B A 是不正确的． …………………………14分。