1.2.1几个常用函数的导数

4、y=f (x) x ,
y' 1 x2
y' 1 2x
通过以上我们能得到什么结论?
3.幂函数: (x )' x 1(为常数）
幂函数: (x )' x 1(为常数）
例：求下列函数的导数
4、三角函数：
(sin x) cos x ; (cos x) sin x
5.求切线方程的步骤： （1）求出函数在点x0处的变化率 f (x0 ) ，得到曲线
在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
y f (x0) f (x0)(x x0).
函数f(x)在x=x0处求导数反映了函数在点(x0,y0 )附近 的变化规律;
y
数.
.
x0 x
3.函数f(x)在点x0处的导数 f ( x0 ) 就是导函数 f ( x)在x= x0处的函数值,即f ( x0 ) f ( x) |xx0 .这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。
4.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.
y 1 ,
x (x x)x

f
(x)

(1)' x

lim
x0
y x

lim
x0
(x
1 x)x


1 x2
.
公式三：（1）' 1
x
x2
1、y f (x) x, y ' 1
2、y f (x) x2 , y ' 2x
3、y f (x) 1 , x
几个常用 函数的导数
教学目标
1、让学生体验求导数的极限方法； 2、熟记并掌握五个常见函数的求导公式，并理解公式的证明过程； 3、能够灵活应用这八个导数公式解答相关的问题；
重点：导数公式的推导和灵活运用； 难点：对导数公式的理解和把握；
一、复习
1.解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与 求值;物理学中,物体运动过程中,在某时刻的瞬时速 度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同 的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和 公式——导数,导数源于实践,又服务于实践.
若y=x2表示路程关于时间的函数，
则y′=2x 可理解为：
物体作变速运动，它在时刻 x 的瞬时速度为2x
二、几种常见函数的导数
4) 函数y=f(x)=1/x的导数.
解 :Q y f (x) 1 ,
x y f (x x) f (x)
1
1
x
x x x (x x)x
事实上，各点切线就是原来的直线。
二、几种常见函数的导数
2) 函数y=f(x)=x的导数. 解 :Q y f (xBiblioteka Baidu x,
y f (x x) f (x) (x x) x x,
y 1, x
f (x) x ' lim y 1. x0 x
1) |F’(x)|越大,则f(x)在(x0 ,y0 )附近就越“陡” 2) |F’(x)|越小,则f(x)在(x0 ,y0 )附近就越“平缓”
二、几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 1) 函数y=f(x)=c的导数. 解 :Q y f (x) C,
y f (x x) f (x) C C 0,
2.求函数的导数的方法是:
(1)求函数的增量y f (x x) f (x);
(2)求函数的增量与自变量的增量的比值 : 说明:上面的方
y f (x x) f (x) ;
x
x
法中把x换成 x0即为求函数 在点x0处的 导
(3)求极限，得导函数y
f (x)

lim
x x0
x0
x
x0
公式三：（x2）' 2x
归纳总结： 函数y=f（x）=x2的导数等于 2x 它表示函数y=x2图象上点P（x，y）
处的切线的斜率为 2x 当x变化时，切线的斜率也在变化
若x＜0，随着x的增加y=x2减小得 越来越慢
若x＞0，随着x的增加 y=x2增加得 越来越快
公式二：x ' 1
归纳总结： 函数y=f（x）=x的导数等于 1
它表示函数y=x图象上各点切线的 斜率都是1；
若y=x表示路程关于时间的函数，
则y′ =1可理解为：物体的瞬时速度始终为1
即物体始终处于匀速直线运动状态
思考探究： 课本P13《探究》
一次函数y=f(x)=kx（k≠0）的导数.
kx' k
二、几种常见函数的导数
3) 函数y=f(x)=x2的导数.
解 :Q y f (x) x2,
y f (x x) f (x) (x x)2 x2 2x x x2,
y 2x x x2 2x x,
x
x
f (x) (x2 ) ' lim y lim 2x x x2 lim (2x x) 2x.
可以直接使用的基本初等函数的导数公式
公式1.若f (x) c,则f '(x) 0; 公式2.若f (x) xn , 则f '(x) nxn1; 公式3.若f (x) sin x,则f '(x) cos x; 公式4.若f (x) cos x,则f '(x) sin x; 公式5.若f (x) ax ,则f '(x) ax ln a(a 0);
5、指数函数：(ax ) ax ln a(a 0且a 1)
特别：(ex ) ex
6、对数函数：(loga
x)

x
1 ln
a
(a

0且a

1)
特别： (ln x) 1 x
注意:关于a x和xa 是两个不同
的函数,例如:
(1)(3x ) 3x ln 3
(2)(x3 ) 3x2
y 0, x
f (x) C lim y 0. x0 x
公式一：C 0 (C为常数)
归纳总结：
常函数y=f（x）=c的导数等于0 它表示函数y=c图象上各点切线的 斜率都是0； 若y=c表示路程关于时间的函数， 则y′=可0 理解为： 物体的瞬时速度始终为0 即物体始终处于静止状态