2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第六章 第六节直接证明与间接证明 文

第六节直接证明与间接证明
1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法，了解分析法和综合法的思考过程、特点.
2.了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点.
知识梳理
一、直接证明
1．综合法：从题设的已知条件出发，运用一系列有关已确定真实的命题作为推理的依据，逐步推演而得到要证明的结论，这种证明方法叫做综合法．综合法的推理方向是由已知到求证，表现为由因索果，综合法的解题步骤用符号表示是：P0(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒P n(结论)．
特点：由因导果，因此综合法又叫顺推法．
2．分析法：分析法的推理方向是由结论到题设，论证中步步寻求使其成立的充分条件，如此逐步归结到已知的条件和已经成立的事实，从而使命题得证，表现为执果索因，分析法的证题步骤用符号表示为B(结论)⇐B1⇐B2⇐…⇐B n⇐A(已知)．
特点：执果索因，因此分析法又叫逆推法或执果索因法．
二、间接证明
假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而
证明了原命题成立．这样的证明方法叫反证法．反证法是一种间接证明的方法．
1．反证法的解题步骤：否定结论—推演过程中引出矛盾—肯定结论．
2．反证法的理论依据是：原命题为真，则它的逆否命题为真，在直接证明有困难时，就可以转化为证明它的逆否命题成立．
3．反证法证明一个命题常采用以下步骤：
(1)假定原命题的结论不成立；
(2)进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾；
(3)由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的；
(4)肯定原来命题的结论是正确的．
即“反设—归谬—结论”．
4．一般情况下，有如下几种情况的证明题目常常采用反证法：
第一，问题共有n种情况，现要证明其中的1种情况成立时，可以想到用反证法把其他的n－1种情况都排除，从而肯定这种情况成立；
第二，命题是以否定命题的形式叙述的；
第三，命题用“至少”、“至多”的字样叙述的；
第四，当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆命题又是非常容易证明的．
基础自测
1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列关于t和s的大小关系中正确的是()
A．t＞s B．t≥s
C．t＜s D．t≤s
解析：因为s －t ＝a ＋b 2＋1－a －2b ＝(b －1)2≥0，所以s ≥t . 答案：D
2．实数a 、b 、c 不全为0是指( ) A ．a 、b 、c 均不为0 B ．a 、b 、c 中至少有一个为0 C ．a 、b 、c 至多有一个为0 D ．a 、b 、c 至少有一个不为0
解析：不全为“0”并不是“全不为0”，而是“至少有一个不为0”．故选D. 答案：D
3．(2012·广东六校联考)定义运算法则如下：a b ＝a 12＋b 1
3，a
b ＝lg a 2－lg b .若M
＝21
4
125
8，N ＝2 1
25
，则M ＋N ＝__________.
解析：由定义运算法则可知， M ＝2
14
1258
＝94＋31258＝32＋52
＝4， N ＝2⊗1
25＝lg(2)2－lg ⎝⎛⎭⎫12512＝lg 2＋lg 5＝1， ∴M ＋N ＝5. 答案：5
4．(2013·保定模拟)若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4，a ≥0，则P 、Q 的大小
关系是________．
解析：分析法，要证P <Q ，需证P 2<Q 2即可． 答案：P <Q
1．如图所示，在四面体P ABC中，PC⊥AB，P A⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．
(1)求证：DE∥平面BCP；
(2)求证：四边形DEFG为矩形．
证明：(1)因为D，E分别为AP，AC的中点，
所以DE∥PC.又因为DE⊄平面BCP，
所以DE∥平面BCP.
(2)因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，
所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF.
所以四边形DEFG为平行四边形，
又因为PC ⊥AB ， 所以DE ⊥DG ，
所以四边形DEFG 为矩形．
2．(2013·江苏卷)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；
(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．
(1)证明：由|a －b |＝2，即(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2，整理得cos αcos β＋sin αsin β＝0， 即a ·b ＝0，因此a ⊥b .
(2)解析：由已知条件⎩
⎪⎨⎪⎧
cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，
又0<β<α<π，
cos β＝－cos α＝cos(π－α)，则β＝π－α， sin α＋sin(π－α)＝1，
所以sin α＝12，得α＝π6或α＝5π
6.
当α＝π6时，β＝5π
6
(舍去)．
当α＝5π6时，β＝π6.
1．(2013·惠州第三次调研)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F
分别为DD 1、DB 的中点．
(1)求证：EF ∥平面ABC 1D 1； (2)求证：EF ⊥B 1C ；
(3)求三棱锥VB 1－EFC 的体积．
(1)
证明：连接BD 1，如图，在△DD 1B 中，E 、F 分别为D 1D ，DB 的中点，则
⎭
⎬
⎫
EF //D 1B
D 1
B ⊂平面AB
C 1
D 1
EF ⊄平面ABC 1
D 1
.⇒EF //平面ABC 1
D 1
.
(2)证明：
⎭
⎬⎫B 1C ⊥AB
B 1
C ⊥BC 1
AB ，B 1
C ⊂平面ABC 1
D 1
⇒
⎭
⎪⎬⎪
⎫B 1C ⊥平面ABC 1D 1BD 1⊂平面ABC 1D 1⇒
⎭
⎪⎬⎪⎫B 1C ⊥BD 1EF //BD 1⇒EF ⊥B 1C .
（3）解析：因为CF ⊥平面BDD 1B 1， ∴CF ⊥平面EFB 1且CF ＝BF ＝2， 因为EF ＝1
2BD 1＝3，
B 1F ＝BF 2＋BB 21＝
(2)2＋22＝6， B 1E ＝
B 1D 21＋D 1E 2＝
12＋(22)2＝3.
所以EF 2＋B 1F 2＝B 1E 2即∠EFB 1＝90°， 所以V B 1－EFC ＝VC －B 1EF ＝
13·S △B 1EF ·CF ＝13×1
2
×EF ×B 1F ×CF ＝
13×1
2×3×6×2＝1.
2．设数列{}a n 是公差为d 的等差数列，其前n 项和为S n . (1)已知a 1＝1，d ＝2， ①求当n ∈N *时，
S n ＋64
n
的最小值； ②当n ∈N *时，求证：2S 1S 3＋3
S 2S 4＋…＋n ＋1S n S n ＋2<516
.
(2)是否存在实数a 1，使得对任意正整数n ，关于m 的不等式a m ≥n 的最小正整数解为
3n －2？若存在，则求a 1的取值范围；若不存在，则说明理由．
(1)解析：①∵a 1＝1，d ＝2，
∴S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝n 2
，S n ＋64n ＝n ＋64n ≥2
n ×64
n
＝16，
当且仅当n ＝64
n ，即n ＝8时，上式取等号．
故S n ＋64n 的最小值是16.
②证明：由①知S n ＝n 2， 当n ∈N *时，
n ＋1
S n S n ＋2
＝
n ＋1
n 2(n ＋2)2＝141n 2－1(n ＋2)2，
则2S 1S 3＋3S 2S 4＋…＋n ＋1S n S n ＋2＝14112－132＋14⎝⎛⎭⎫122－142＋…＋141n 2－1(n ＋2)2＝14⎝⎛⎭⎫112
＋1
22＋…＋1n 2－14132＋142＋…＋1(n ＋1)2＋1(n ＋2)2＝14⎣
⎢⎡⎦⎥⎤
112＋122－1(n ＋1)2－1(n ＋2)2， ∵
1
(n ＋1)2＋1
(n ＋2)
2>0， ∴
2S 1S 3＋3S 2S 4
＋…＋n ＋1S n S n ＋2<14112＋122＝516. (2)对∀n ∈N *，关于m 的不等式a m ＝a 1＋(m －1)d ≥n 的最小正整数解为c n ＝3n －2， 当n ＝1时，a 1＋(c 1－1)d ＝a 1≥1；
当n ≥2时，恒有⎩
⎪⎨⎪⎧ a 1＋(c n －1)d ≥n ，
a 1＋(c n －2)d <n ， 即⎩⎪⎨⎪⎧
(3d －1)n ＋(a 1－3d )≥0，
(3d －1)n ＋(a 1－4d )<0， 从而⎩⎪⎨⎪⎧ 3d －1≥0，(3d －1)×2＋(a 1－3d )≥0，
3d －1≤0，(3d －1)×2＋(a 1－4d )<0，⇒d ＝13，1≤a 1<43
. 当d ＝13，1≤a 1<43时，对∀n ∈N *且n ≥2时，当正整数m <c n 时，有a 1＋m －13
<n . 所以存在这样的实数a 1，且a 1的取值范围是⎣⎡⎭
⎫1，43.。