2018-2019学年高中数学选修2-2生活中的优化问题(解析版附后)

导数的应用：生活中的优化问题（解析版附后）
1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝1
3x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小
值是( )
A ．8
B ．
20
3
C ．－1
D ．－8 2．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长20 cm ，要使其体积最大，则高为( )
A ．
33 cm B ．1033cm C ．1633cm D ．2033
cm 3．把长为12 cm 的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是( )
A ．
332
cm 2
B ．4 cm 2
C ．32cm 2
D ．23cm 2 4．已知某个车轮旋转的角度α(弧度)与时间t (秒)的函数关系是α＝2π0.64
t 2
(t ≥0)．则车轮启动后1.6秒时的瞬时速度为( )
A ．20π弧度/秒
B ．10π弧度/秒
C ．8π弧度/秒
D ．5π弧度/秒 5．如果圆柱轴截面的周长l 为定值，则体积的最大值为( )
A ．(l 6)3π
B ．(l 3)3π
C ．(l 4)3π
D ．14(l 4
)3
π
6．用总长为6m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为3︰4，那么容器容积最大时，高为( )
A ．0.5m
B ．1m
C ．0.8m
D ．1.5m
7．若球的半径为R ，作内接于球的圆柱，则其侧面积的最大值为( )
A ．2πR 2
B ．πR 2
C ．4πR 2
D ．1
2
πR 2
8．一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积为S，为使窗户周长最小，用料最省，圆的半径应为()
A．
3S
π＋4B．
S
π＋4C．
2S
π＋4D．2
S
π＋4
9．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1 200＋2
75x
3，又产品单价的平方与产品件
数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为____件.
10.如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，x与h的比为____.
11．某银行准备设一种新的定期存款业务，经预测，存款额与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0,4.8%))，则使银行获得最大收益的存款利率为____.
12．成都某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x(x≥10)万元之间满足：y＝f(x)
＝ax2＋101
50x－b ln
x
10，a，b为常数．当x＝10万元时，y＝19.2万元；当x＝30万元时，
y＝50.5万元．(参考数据：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6)
(1)求f(x)的解析式；
(2)求该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值．(利润＝旅游增加值－投入)．
13．如图所示，设铁路AB＝50，B，C之间距离为10，现将货物从A运往C，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，问在AB上何处修筑公路至C，可使运费由A到C最省？
14．时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y(单位：千套)与销售价格x(单位：元/套)满足
的关系式y＝m
x－2
＋4(x－6)2，其中2<x<6，m为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套.
(1)求m的值；
(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)
导数的应用：生活中的优化问题（解析版）
1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原
油温度(单位：℃)为f(x)＝1
3x
3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小
值是(C)
A．8 B．20
3C．－1 D．－8
[解析]瞬时变化率即为f′(x)＝x2－2x为二次函数，且f′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0,5]，故x＝1时，f′(x)min＝－1.
2．(2017·西安高二检测)要做一个圆锥形的漏斗，其母线长20 cm，要使其体积最大，则高为(D)
A．
3
3cm B．
103
3cm C．
163
3cm D．
203
3cm
[解析]设圆锥的高为x cm，则底面半径为202－x2(cm)，其体积为V＝1
3
πx(202
－x2)(0<x<20)，V′＝1
3
π·(400－3x2)，令V′＝0，解得x1＝
203
3，x2＝－
203
3(舍去)．当
0<x<203
3时，V′>0，当
203
3<x<20时，V′<0，∴当x＝
203
3时，V取最大值．
3．把长为12 cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是(D)
A．33
2cm
2 B．4 cm2 C．32cm2D．23cm2
[解析]设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为(4－x)cm，两个
三角形的面积和为S＝
3
4x
2＋
3
4(4－x)
2＝
3
2x
2－23x＋4 3.令S′＝3x－23＝0则
x＝2，所以S min＝2 3.
4．已知某个车轮旋转的角度α(弧度)与时间t (秒)的函数关系是α＝2π
0.64t 2(t ≥0)．则车轮启动后1.6秒时的瞬时速度为( B )
A ．20π弧度/秒
B ．10π弧度/秒
C ．8π弧度/秒
D ．5π弧度/秒 [解析] α′＝
4πt 0.64，∴车轮启动1.6秒时的瞬时速度为：4π
0.64
×1.6＝10π.故选B ． 5．如果圆柱轴截面的周长l 为定值，则体积的最大值为( A )
A ．(l 6)3π
B ．(l 3)3π
C ．(l
4
)3π
D ．14(l
4
)3π
[解析] 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，则4r ＋2h ＝l ， ∴h ＝l －4r 2，V ＝πr 2h ＝l 2πr 2－2πr 3
(0<r <l 4)，V ′＝l πr －6πr 2，
令V ′＝0，得r ＝0或r ＝l 6，而r >0，∴r ＝l
6是其唯一的极值点．
∴当r ＝l 6时，V 取得最大值，最大值为(l
6
)3π.
6．用总长为6m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为3︰4，那么容器容积最大时，高为( A )
A ．0.5m
B ．1m
C ．0.8m
D ．1.5m
[解析] 设容器底面相邻两边长分别为3x m 、4x m ，则高为
6－12x －16x 4＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
32－7x (m)，容积V ＝3x ·4x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫32－7x ＝18x 2－84x 3⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0<x <314，V ′＝36x －252x 2， 由V ′＝0得x ＝17或x ＝0(舍去)．x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，17时，V ′>0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
17，314时，V ′<0，
所以在x ＝1
7
处，V 有最大值，此时高为0.5m.
7．若球的半径为R ，作内接于球的圆柱，则其侧面积的最大值为( A )
A ．2πR 2
B ．πR 2
C ．4πR 2
D ．12πR 2
8．一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积为S ，为使窗户周长最小，用料
最省，圆的半径应为(C)
A．
3S
π＋4B．
S
π＋4C．
2S
π＋4D．2
S
π＋4
[解析]设圆的半径为x，记矩形高为h，则窗户的面积为S＝πx2
2＋2hx，∴2h＝
S
x－
π
2
x.
则窗户周长为l＝πx＋2x＋2h＝πx
2＋2x＋
S
x.令l′＝
π
2＋2－
8
x2＝0，
解S＝
2S
π＋4或－
2S
π＋4(舍)
因为函数只有一个极值点，所以x＝
2S
π＋4为最小值点，所以使窗户的周长最小
时，圆的半径为
2S
π＋4，故C．
9．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1 200＋2
75x
3，又产品单价的平方与产品件
数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为__25__件.
[解析]设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，
由题知a＝500
x
.总利润y＝500x－
2
75x
3－1200(x>0)，y′＝
250
x
－
2
25x
2，
由y′＝0，得x＝25，x∈(0,25)时，y′>0，x∈(25，＋∞)时，y′<0，所以x＝25时，y取最大值．
10.如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，x与h的比为__1︰1__.
[解析] 设窗户面积为S ，周长为L ，则S ＝π2x 2＋2hx ，h ＝S 2x －π
4x ，∴窗户周长L
＝πx ＋2x ＋2h ＝π2x ＋2x ＋S x ，∴L ′＝π2＋2－S
x
2.
由L ′＝0，得x ＝2S
π＋4，x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫
0，2S π＋4时，L ′<0，x ∈⎝
⎛⎭
⎪⎫2S
π＋4，＋∞时，L ′>0，∴当x ＝
2S π＋4
时，L 取最小值，此时h x ＝2S －πx 2
4x 2＝2S 4x 2－π4＝π＋44－π
4＝1.
11．某银行准备设一种新的定期存款业务，经预测，存款额与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k >0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x (x ∈(0,4.8%))，则使银行获得最大收益的存款利率为__0.032__.
[解析] 用y 表示银行的收益，由题可知存款量是kx 2，银行应付的利息为kx 3，银行应获得的贷款利息为0.048kx 2.∴y ＝0.048kx 2－kx 3，x ∈(0,0.048)
y ′＝0.096x －3kx 2＝3kx (0.032－x ) 令y ′＝0，解x ＝0.032或x ＝0(舍)
当0<x <0.032，∴y ′>0，当0.032<x <0.048，y ′<0， ∴当x ＝0.032时，y 取极大值，也是最大值．
12．成都某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y 万元与投入x (x ≥10)万元之间满足：y ＝f (x )＝ax 2＋10150x －b ln x
10，a ，b 为常数．当x ＝10万元时，y ＝19.2万元；当x ＝30万元时，y ＝50.5万元．(参考数据：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6)
(1)求f (x )的解析式；
(2)求该景点改造升级后旅游利润T (x )的最大值．(利润＝旅游增加值－投入)．
[解析]
(1)由条件可得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ×102＋10150
×10－b ln1＝19.2，a ×302＋10150
×30－b ln3＝50.5，得a ＝－
1
100
，b ＝1，
则f(x)＝－x2
100＋101
50x－ln
x
10(x≥10)．
(2)T(x)＝f(x)－x＝－x2
100＋51
50x－ln
x
10(x≥10)，
则T′(x)＝－x
50＋
51
50－
1
x＝－
(x－1)(x－50)
50x，
令T′(x)＝0，则x＝1(舍)或x＝50，
当x∈(10,50)时，T′(x)>0，因此T(x)在(10,50)上是增函数；
当x∈(50，＋∞)时，T′(x)<0，因此T(x)在(50，＋∞)上是减函数，∴当x＝50时，T(x)取最大值．
T(50)＝－502
100＋51
50×50－ln
50
10＝24.4(万元)．
即该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值为24.4万元．
13．如图所示，设铁路AB＝50，B，C之间距离为10，现将货物从A运往C，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，问在AB上何处修筑公路至C，可使运费由A到C最省？
[解析]设MB＝x，于是AM上的运费为2(50－x)，MC上的运费为4102＋x2，则由A到C的总运费为p(x)＝2(50－x)＋4100＋x2(0≤x≤50)．
p′(x)＝－2＋
4x
100＋x2
，令p′(x)＝0，解得x1＝
10
3
，x2＝－
10
3
(舍去)．
当0≤x<10
3
时，p′(x)<0；当
10
3
<x≤50时，p′(x)>0，
所以当x＝10
3
时，取得最小值．
即在离B点距离为103
3的点M处筑公路至C时，由A至C的货物运费最省．
14．时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y (单位：千套)与销售价格x (单位：元/套)满足的关系式y ＝m
x －2＋4(x －6)2，其中2<x <6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每
日可售出套题21千套.
(1)求m 的值；
(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)
[解析] (1)因为x ＝4时，y ＝21， 代入关系式y ＝m x －2
＋4(x －6)2，得m
2＋16＝21，
解得m ＝10.
(2)由(1)可知，套题每日的销售量y ＝10
x －2
＋4(x －6)2， 所以每日销售套题所获得的利润 f (x )＝(x －2)[10
x －2
＋4(x －6)2]＝10＋4(x －6)2(x －2)＝4x 3－56x 2＋240x －278(2<x <6)，
从而f ′(x )＝12x 2－112x ＋240＝4(3x －10)(x －6)(2<x <6)． 令f ′(x )＝0，得x ＝
103，且在(0，103)上，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在(10
3，6)上，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，
所以x ＝10
3是函数f (x )在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，
所以当x ＝
10
3
≈3.3时，函数f (x )取得最大值． 故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大．。