七年级数学有理数的绝对值及大小比较浙江版知识精讲

七年级数学有理数的绝对值及大小比较某某版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
有理数的绝对值及大小比较
二、重点、难点：
1. 借助数轴理解绝对值的意义，会求一个数的绝对值
2. 会比较有理数的大小
3. 能综合应用有理数的知识，解决一些简单的实际问题
【典型例题】
知识要点：
1. 绝对值的意义：我们把数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做a 的绝对值，记作|a|
2. 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。

用数学式表达为：
|a|＝⎪⎩
⎪
⎨⎧<-=>)
0()0(0)
0(a a a a a 或|a|⎩⎨⎧≤-≥)0()0(a a a a
重点提示
1. 互为相反数的两个数绝对值相等。

2. 在去绝对值符号时，一定要先判定绝对值里面的结果是什么样，再根据绝对值性质去绝对值符号。

3. 利用绝对值比较两个负数的大小要注意绝对值大的反而小。

4. 由于距离总是正数或0，故有理数的绝对值不可能是负数，即|a|0≥。

解题指导：
例1. 求下列各数的绝对值： （1）
21 （2）－31 （3）－453 （4）86
1 分析：运用绝对值的意义来求解本题
解：（1）
21＝21 （2）31-＝－（－31
）＝31 （3）534
-＝－（－ 453）＝45
3 （4）618＝86
1
例2. （1）求绝对值等于7的数； （2）求绝对值等于0的数； （3）有没有绝对值等于－3的数呢?
分析：本题目主要考虑对绝对值概念的理解与灵活运用，本题是已知绝对值求数，为解此题，关键是抓住绝对值的概念；正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。

解：（1）因为7+＝7，7-＝7，所以绝对值等于7的数有两个：7与－7。

（2）绝对值等于0的数是0。

（3）因为任何有理数（正数、零、负数）的绝对值都不是负数，所以绝对值等于－3的数不存在。

反思：有理数的绝对值在数轴上表现为与它对应的点离开原点的距离，利用数轴求绝对值等于7的数，则表示该数的点离开原点的距离等于7，显然，这样的点有两个，它们分布在原点的两侧，分别为+7和－7，这种利用数轴解题的方法不失为既直观又有效的方法。

例3. 已知4-x +1+y ＝0，求x ，y 的值。

分析：此题主要考查绝对值概念的运用，因为任何有理数的绝对值都是非负数，即
a ≥0，所以4-x ≥0，1+y ≥0，而两个非负数之和为0，则两个数均为0，所以可求出
x ，y 的值。

解：因为4-x ≥0，1+y ≥0，又4-x +1+y ＝0，所以只能
4-x ＝0，1+y ＝0，即x －4＝0，y+1＝0，因此x ＝4，y ＝－1。

反思：由此可知非负数的三个性质：
（1）若干个非负数的和仍是非负数；
（2）有限个非负数的和为零，则每个非负数都为0；
非负数的最小值是0。

反思：0+0＝0的情况还有：+-2
)1(a 02=-b
例4. 对某厂生产的6个零件的直径的检测结果如下（记超过规定的长度为正，不足规定的长度为负，单位mm ） 编号
1号
2号 3号 4号 5号 6号 检测结果
－1
问误差最大的是几号零件?误差最小的是几号零件?你是通过比较什么得出结论的? 分析：这类问题是对绝对值的实际应用，只要考察各个零件的检测结果的绝对值，就能看出零件误差大小。

解：1号：3.0-＝0.3 2号：1.1＝1.1 3号：9.0 4号：8.0-＝0.8 5号：3.0＝0。

3 6号：1-＝1
所以误差最大的是2号零件，误差最小的是1号与5号零件，我们可以通过比较它们的绝对值得出结论。

例5. 一辆出租车从甲车站出发，先向东行驶12 km 接着向西行驶8 km ，然后又向东行驶4km
（1）记向东行驶的路程为正，用有理数表示该出租车各次行驶的路程， （2）求出（1）中各次路程的绝对值的和，并说出这个和的实际意义是什么? 分析：这类题目可以结合数轴比较直观的反映出租车的运动情况
解：设甲站为原点，记向东为正，则先向东行驶12千米记+12千米，接着向西行驶8千米记+4千米，然后又向东行驶4千米记+8千米
（2）8412+++++＝24 km 。

说明这辆出租车共行驶的路程是24 km
例6. 下列说法中错误的个数是（ ）
（1）绝对值是本身的数有两个，它们是0和1 （2）一个有理数的绝对值必为正数。

（3）5的相反数的绝对值是5
（4）任何有理数的绝对值都不是负数。

A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个。

分析：（1）中绝对值是本身的数是0和正数 （2）一个有理数的绝对值是0或正数 （3）5的相反数是－5，－5的绝对值是5 （4）任何有理数的绝对值是非负数 解：选择B
知识要点：
1. 有理数的大小比较可以用比较法则进行，正数都大于零；负数都小于零；正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小
2. 有理数的大小的比较还可以利用数轴来进行；在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

重点提示：
1. 用法则比较两个有理数的大小；在比较之前应先判断它们的符号，再进行分类比较，可分为以下4种情况（1）两正 （2）一正一负 （3）与零比较 （4）两负
2. 有理数大小比较，难点是两个负数比较，比较两个负数时，是通过比较它们的绝对值的大小来比较的。

3. 多个有理数比较大小时，一般借助数轴较简单。

例1. 比较下列各对数的大小：
（3）－
21与－3
1
（4）a 与－a （a 为有理数） 分析：可根据法则比较出（1），（2），（3）的结果而（4）要先判定a 是正数还是负数还是0，需要讨论再作比较。

解：（1）0.01>－10000；（2）－0.001<0； （3）因为21-
>31-；所以－21<－3
1
； （4）因为a 是有理数，所以要先考虑a 是正数还是负数还是0， 当a>0时，a>－a ；
当a ＝0时，a ＝－a ； 当a<0时，a<－a 。

反思：在对含有字母的数进行比较时，要注意先进行符号的判定，特别注意－a 不一定就是负数，这要看a 本身是什么数。

例2. 比较下列各数的大小，并用“<”
分析：当有多个有理数进行比较时，利用数轴进行比较就较简单，数轴右边的数大于左边的数。

解：先把各数在数轴上表示出来，如图
所以－4<－2.5<－2<0<1.5<3
反思：（1）借助数轴，研究有理数，把数与数结合起来，能直观简明地解决问题，如找出大于－2而小于3的整数，利用数轴可知所求的数是 －1，0，1，2 （2）又如数轴上表示a ，b ，c 三个数的点的位置，如图所示：
就可知a<c<b
例3. 已知a ，b 均为有理数
（1）若a >b ，则能够判定a>b 吗? （2）若a<b ，则能够判定a <b 吗? （3）若a ＝b ，则能够判定a ＝b 吗?
分析：因为a ，b 均为有理数，a ，b 是正整还是负数还是0，在判断过程中可以举反例来说明。

解：（1）不能判定：因为当两个负数比较时，绝对值大的反而小，如3->1-，但－3<－1； （2）不能判定：因为当a ，b 均为负数时，则a >b ，如－3<－1，而3->1-； （3）不能判定：一对相反数的绝对值是相等的，如3-＝3，而－3≠3 反思：判断此类问题，可举反例
例4. 按要求写数：
（1）相反数大于－3的自然数； （2）写出三个大于－2.5的负有理数 ； （3）写出绝对值不大于3的整数 ；
分析：这是一道结论开放的题目，这里只要写出相应符合条件的数就可以，故答案也不是唯一的。

（1）中自然数0，1，2的相反数是0，－1，－2，都大于－3。

（2）中写出的有理数x 只要满足－2.5＜x ＜0。

要理解不大于表示小于或等于，故x ≤3；整数x ＝0，,1±±2，3± 解：（1）0，1，2（其中选一个）
（3）0，,1±±2，3±
例5. 已知有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是 。

（用“>”连结）
分析：这道题目涉及到字母之间比较大小，数字之间比较大小难度上要求高，根据题目特点，可利用数形结合的思路，把要比较的四个数都表示到数轴上去，因为a 与－a ，b 与－b 都互为相反数，可利用为相反数的两数在数轴上到原点的距离相等的特点，找到－a 与－b 的位置，然后利用数轴上右边的数总比左边的大的特点，找出四个数的大小关系。

解：利用数轴找到四个数的位置：
∴－a>b>－b>a
思路：这类涉及到字母的代数题，还可应用特殊值法，即从题中数轴上可知a 是负数，b 是正数，且,b a >所以不妨假设a ＝－5，b ＝2，则此解－a ＝5，－b ＝－2，因此－a>b>－b>a 。

【模拟试题】（答题时间：30分钟）
一、选择题
1、用“>”“<”“＝”填空： （1）－3－5
－25.2- （3）－π （4）2－（－2） 2、π-14.3＝
3、绝对值最小的数是 ，
4、在－2，0，0.2三个有理数中，最大的数是，绝对值最小的数是 。

5、绝对值小于2的正整数有个
二、填空题
1、下列判断中正确的是（ ） A. 一个数的绝对值一定是正数
B. 互为相反数的两数，其绝对值一定相等
C. 绝对值相等的两数一定相等
D. 不相等的两数，其绝对值一定不相等 2、如果a a -=，则（ ） A. a>0
B. a 0≥
C. a<0
D. a 0≤
3、绝对值大于2而小于5的所有负整数的和为（ ） A. －7
B. －8
C. －9
D. －10
4、代数式c
c b
b a
a +
+
的值可能有（ ）个 （其中abc 0≠）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
三、解答题
1、比较0，－（－1.3），－2-，2
21，－22
1
，3的大小。

2、代数式3+1-a 能取得的最小值是多少?此时a 等于多少?
3、数轴上表示数a 的点M 与表示1的点之间的距离为3，表示数b 的点N 与表示－2的点之间的距离为4，求M 、N 两点之间的距离。

试题答案
一、1、（1）> （2）< （3）< （4）＝
2、14.3-π
3、0
4、0.2，0
5、1 二、1、B
2、D
3、A
4、B
三、1、3>2
21>－（－1.3）>0>－2
122->- 2、最小值是3，此时a ＝1 3、10，4，2。