宁夏银川市育才中学高一数学上学期期末试卷(含解析)

2015-2016学年宁夏银川市育才中学高一（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题4分，共48分）
1．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是（）
A．共面 B．平行 C．异面 D．平行或异面
2．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是（）A．空间四边形B．矩形 C．菱形 D．正方形
3．过点M（﹣2，a）和N（a，4）的直线的斜率为1，则实数a的值为（）
A．1 B．2 C．1或4 D．1或2
4．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与侧棱AB异面且垂直的棱有（）
A．8条B．6条C．4条D．3条
5．已知圆锥的母线长为5，底面周长为6π，则它的体积为（）
A．10π B．12π C．15π D．36π
6．直线x+y+2=0的倾斜角为（）
A．30° B．60° C．120°D．150°
7．过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（）
A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=0
8．平面α与平面β平行的条件可以是（）
A．α内有无穷多条直线都与β平行
B．直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内
C．α内的任何直线都与β平行
D．直线a在α，直线b在β内，且a∥β，b∥α
9．圆x2+y2﹣4=0与圆x2+y2+2x=0的位置关系是（）
A．相离 B．相切 C．相交 D．内含
10．三视图如图的几何体的全面积是（）
A．B．C．D．
11．若圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心到直线x﹣y+a=0的距离为，则a的值为（）A．﹣2或2 B．或C．2或0 D．﹣2或0
12．在平面直角坐标系xoy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数k的最大值为（）
A．0 B．C．D．3
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．棱长为2的正方体的顶点在同一个球上，则该球的表面积为．
14．过点A（2，1），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是．
15．两平行直线x+3y﹣4=0与2x+6y﹣9=0的距离是．
16．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；
②AB与CM所成的角为60°；
③EF与MN是异面直线；
④MN∥CD．
以上四个命题中，正确命题的序号是
．
三、解答题（共56分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．求满足下列条件的直线方程．
（1）直线l1经过点A（4，﹣2），B（﹣1，8）；
（2）直线l2过点C（﹣2，1），且与y轴平行．
18．如图所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′．
（Ⅰ）要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？
（Ⅱ）所画的线与平面AC是什么位置关系？并证明你的结论．
19．设直线x+2y+4=0和圆x2+y2﹣2x﹣15=0相交于点A，B．
（1）求弦AB的垂直平分线方程；
（2）求弦AB的长．
20．如图，PA⊥平面ABC，PA=，AB=1，BC=，AC=2，D是PC的中点．
（1）求二面角B﹣PA﹣C的大小；
（2）求直线BD与平面ABC所成角的正切值．
21．已知直线l1：2x﹣y=0，直线l2：x﹣y+2=0和直线3：3x+5y﹣7=0．
（1）求直线l1和直线l2交点C的坐标；
（2）求以C点为圆心，且与直线l3相切的圆C的标准方程．
22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（1）证明平面PAC⊥平面PBD；
（2）证明PB⊥平面EFD．
2015-2016学年宁夏银川市育才中学高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共48分）
1．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是（）
A．共面 B．平行 C．异面 D．平行或异面
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】证明题．
【分析】由两条直线的位置特点再结合两条直线平行的定义与两条直线异面的定义可得直线a与直线b平行或异面．
【解答】解：当直线a与直线b共面时，由两条直线平行的定义得a∥b．
当直线a与直线b不共面时，由异面直线的定义得直线a与直线b异面．
故选D．
【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握两条直线在空间的位置关系与两条直线平行、异面的定义．
2．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是（）
A．空间四边形B．矩形 C．菱形 D．正方形
【考点】平面的基本性质及推论．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．
【分析】空间四边形ABCD中，由AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，推导出EH GF，EF HG，EH⊥EF，由此能证明四边形EFGH是矩形．
【解答】解：如图，空间四边形ABCD中，
∵AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
∴EH∥BD，且EH=BD，GF∥BD，且GF=，
EF∥AC，且EF=AC，HG∥AC，且HG=AC，
∴EH GF，EF HG，EH⊥EF，
∴四边形EFGH是矩形．
故选：B．
【点评】本题考查四边形形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意三角形中位线定理的合理运用．
3．过点M（﹣2，a）和N（a，4）的直线的斜率为1，则实数a的值为（）
A．1 B．2 C．1或4 D．1或2
【考点】直线的斜率．
【专题】计算题．
【分析】利用直线的斜率公式可得，解方程求得a的值．
【解答】解：由于过点M（﹣2，a）和N（a，4）的直线的斜率为1，
∴
∴a=1
故选：A．
【点评】本题考查直线的斜率公式的应用，是一道基础题．
4．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与侧棱AB异面且垂直的棱有（）
A．8条B．6条C．4条D．3条
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．
【分析】作出正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，数结合列举出与侧棱AB异面且垂直的棱，由此能求出结果．
【解答】解：如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与侧棱AB异面且垂直的棱有：
CC1，DD1，A1D1，B1C1，
共4条．
故选：C．
【点评】本题考查正方体中与侧棱异面且垂直的棱的条数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．
5．已知圆锥的母线长为5，底面周长为6π，则它的体积为（）
A．10π B．12π C．15π D．36π
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【专题】计算题；转化思想；空间位置关系与距离；立体几何．
【分析】圆锥的底面周长，求出底面半径，然后求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．【解答】解：∵圆锥的底面周长为6π，
∴圆锥的底面半径r=3；
又∵圆锥的母线长l=5，
∴圆锥的高h=4，
所以圆锥的体积为V=×π•32×4=12π，
故选：B．
【点评】本题是基础题，考查计算能力，圆锥的高的求法，底面半径的求法，是必得分的题目
6．直线x+y+2=0的倾斜角为（）
A．30° B．60° C．120°D．150°
【考点】直线的一般式方程．
【专题】直线与圆．
【分析】由直线的方程可得直线的斜率，由倾斜角和斜率的关系可得答案．
【解答】解：直线x+y+2=0可化为y=﹣x﹣，
∴直线的斜率为﹣，
设直线的倾斜角为α，可得tanα=﹣，
∴α=150°
故选：D
【点评】本题考查直线的一般式方程，涉及直线的倾斜角和斜率的关系，属基础题．
7．过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（）
A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=0
【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．
【专题】计算题．
【分析】先根据垂直关系求出所求直线的斜率，由点斜式求直线方程，并化为一般式．【解答】解：设A（1，2），则OA的斜率等于2，故所求直线的斜率等于﹣，由点斜式求得所求直线的方程为
y﹣2=﹣（x﹣1），化简可得x+2y﹣5=0，故选A．
【点评】本题考查用点斜式求直线方程的方法，求出所求直线的斜率，是解题的关键．
8．平面α与平面β平行的条件可以是（）
A．α内有无穷多条直线都与β平行
B．直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内
C．α内的任何直线都与β平行
D．直线a在α，直线b在β内，且a∥β，b∥α
【考点】平面与平面平行的判定．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】在A、B、D中，α与β相交或平行；在C中，由面面平行的判定定理得α∥β．【解答】解：在A中，α内有无穷多条直线都与β平行，α与β有可能相交，故A错误；在B中：直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内，则α与β相交或平行，故B错误；
在C中：α内的任何直线都与β平行，由面面平行的判定定理得α∥β，故C正确；
在D中：直线a在α，直线b在β内，且a∥β，b∥α，则α与β相交或平行，故D
错误．
故选：C．
【点评】本题考查面面平行的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的关系的合理运用．
9．圆x2+y2﹣4=0与圆x2+y2+2x=0的位置关系是（）
A．相离 B．相切 C．相交 D．内含
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标和圆的半径，再根据这两个圆的圆心距为d=R﹣r，可得两圆相内切．
【解答】解：圆x2+y2﹣4=0即x2+y2=4，表示以原点O为圆心、半径等于2的圆，
圆x2+y2+2x=0，即（x+1）2+y2 =1，表示以C（﹣1，0）为圆心、半径等于1的圆．
由于这两个圆的圆心距为d=OC==2﹣1=R﹣r，故两圆相内切，
故选：B．
【点评】本题主要考查圆和圆的位置关系的判断方法，两点间的距离公式，属于基础题．10．三视图如图的几何体的全面积是（）
A．B．C．D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题．
【分析】由三视图知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个边长为1的正方形，一条侧棱与底面垂直，且侧棱的长是1，另外两条侧棱长，得到表面积．
【解答】解：由三视图知几何体是一个四棱锥，
四棱锥的底面是一个边长为1的正方形，
一条侧棱与底面垂直，且侧棱的长是1，
∴四棱锥的表面积是1×+2×=2+
故选A．
【点评】本题考查由三视图还原几何体，本题解题的关键是看出几何体的各个部分的长度，本题是一个基础题．
11．若圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心到直线x﹣y+a=0的距离为，则a的值为（）A．﹣2或2 B．或C．2或0 D．﹣2或0
【考点】点到直线的距离公式．
【专题】计算题．
【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标，利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离，根据此距离等于列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．
【解答】解：把圆x2+y2﹣2x﹣4y=0化为标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，所以圆心坐标为（1，2），
∵圆心（1，2）到直线x﹣y+a=0的距离为，
∴，即|a﹣1|=1，可化为a﹣1=1或a﹣1=﹣1，
∴解得a=2或0．
故选C．
【点评】此题考查学生会将圆的一般式方程化为圆的标准方程并会从标准方程中找出圆心坐标，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．
12．在平面直角坐标系xoy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数k的最大值为（）
A．0 B．C．D．3
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】直线与圆．
【分析】圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，即（x﹣4）2+y2=1，表示以C（4，0）为圆心，半径等于1的圆．由题意可得，直线y=kx﹣2和圆C′：即（x﹣4）2+y2=4 有公共点，由点C′
到直线y=kx﹣2的距离为 d=≤2，求得实数k的最大值．
【解答】解：圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，即（x﹣4）2+y2=1，表示以C（4，0）为圆心，半径等于1的圆．
要使直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有交点，
只要直线y=kx﹣2和圆C′：即（x﹣4）2+y2=4 有公共点即可，
由点C′到直线y=kx﹣2的距离为 d=≤2，3k2﹣4k≤0，
解得0≤k≤，故k的最大值为，
故选B．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．棱长为2的正方体的顶点在同一个球上，则该球的表面积为12π．
【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】由棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，知球半径R=，由此能求出球的表面积．
【解答】解：∵棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，
∴球半径R==，
∴球的表面积S=4π（）2=12π．
故答案为：12π．
【点评】本题考查球的表面积的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．
14．过点A（2，1），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是x﹣2y=0，或x+y﹣3=0 ．【考点】直线的截距式方程．
【专题】分类讨论；直线与圆．
【分析】当直线过原点时，用点斜式求得直线方程．当直线不过原点时，设直线的方程为
x+y=k，把点A（2，1）代入直线的方程可得k值，从而求得所求的直线方程，综合可得结论．
【解答】解：当直线过原点时，方程为 y=x，即x﹣2y=0．
当直线不过原点时，设直线的方程为x+y=k，把点A（2，1）代入直线的方程可得 k=3，
故直线方程是 x+y﹣3=0．
综上，所求的直线方程为 x﹣2y=0，或 x+y﹣3=0，
故答案为 x﹣2y=0，或x+y﹣3=0．
【点评】本题考查用待定系数法求直线方程，体现了分类讨论的数学思想，注意当直线过原点时的情况，这是解题的易错点，属于基础题．
15．两平行直线x+3y﹣4=0与2x+6y﹣9=0的距离是．
【考点】两条平行直线间的距离．
【专题】计算题．
【分析】在一条直线上任取一点，求出这点到另一条直线的距离即为两平行线的距离．【解答】解：由直线x+3y﹣4=0取一点A，令y=0得到x=4，即A（4，0），
则两平行直线的距离等于A到直线2x+6y﹣9=0的距离d===．
故答案为：
【点评】此题是一道基础题，要求学生理解两条平行线的距离的定义．会灵活运用点到直线的距离公式化简求值．
16．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；
②AB与CM所成的角为60°；
③EF与MN是异面直线；
④MN∥CD．
以上四个命题中，正确命题的序号是
①③．
【考点】异面直线及其所成的角；异面直线的判定．
【专题】阅读型．
【分析】先把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，再根据所给结论进行逐一判定即可．【解答】解：把正方体的平面展开图还原成原来的正
方体如图所示，则AB⊥EF，EF与MN为异面
直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．
故答案为①③
【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角，直线与直线的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
三、解答题（共56分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．求满足下列条件的直线方程．
（1）直线l1经过点A（4，﹣2），B（﹣1，8）；
（2）直线l2过点C（﹣2，1），且与y轴平行．
【考点】待定系数法求直线方程．
【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．
【分析】（1）由两点式方程知，直线l1的方程；
（2）根据直线l2过点C（﹣2，1），且与y轴平行，可得结论．
【解答】解：（1）由两点式方程知，直线l1的方程为，
化简有2x+y﹣6=0…
（2）由题意知直线l2的方程为x=﹣2…
【点评】本题考查直线方程，考查学生的计算能力，比较基础．
18．如图所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′．
（Ⅰ）要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？
（Ⅱ）所画的线与平面AC是什么位置关系？并证明你的结论．
【考点】棱柱的结构特征．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）注意到棱BC平行于面A′C′，故过点P作B′C′的平行线，交A′B′、C′D′于点E，F，连结BE，CF；
（Ⅱ）易知BE，CF与平面AC的相交，可证EF∥平面AC．
【解答】解：（Ⅰ）过点P作B′C′的平行线，
交A′B′、C′D′于点E，F，
连结BE，CF；
作图如下：
（Ⅱ）EF∥平面AC．理由如下：
易知BE，CF与平面AC的相交，
∵BC∥平面A′C′，
又∵平面B′C′CB∩平面A′C′=B′C′，
∴BC∥B′C′，
∴EF∥BC，
又∵EF⊄平面AC，BC⊂平面AC，
∴EF∥平面AC．
【点评】本题考查了学生的作图能力及线面位置关系的判断，属于中档题．
19．设直线x+2y+4=0和圆x2+y2﹣2x﹣15=0相交于点A，B．
（1）求弦AB的垂直平分线方程；
（2）求弦AB的长．
【考点】直线与圆的位置关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】计算题；直线与圆．
【分析】（1）求出圆的圆心为C（1，0），半径r=4．根据垂径定理，弦AB的垂直平分线经过圆心C，由此加以计算即可得出AB的垂直平分线方程；
（2）利用点到直线的距离公式，算出圆心C（1，0）到直线x+2y+4=0的距离，再根据垂径定理加以计算，可得弦AB的长．
【解答】解：（1）∵圆x2+y2﹣2x﹣15=0化成标准方程得（x﹣1）2+y2=16，
∴圆心为C（1，0），半径r=4．
∵直线x+2y+4=0和圆x2+y2﹣2x﹣15=0相交于点A、B，
∴设弦AB的垂直平分线为l：2x﹣y+m=0，
由垂径定理，可知点C（1，0）在l上，得2×1﹣0+m=0，解之得m=﹣2．
因此，弦AB的垂直平分线方程为2x﹣y﹣2=0；
（2）圆心C（1，0）到直线x+2y+4=0的距离为：
d==．
根据垂径定理，得|AB|=2=2，即弦AB的长等于2．
【点评】本题给出直线与圆相交，求弦的中垂线方程并求弦的长度．着重考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
20．如图，PA⊥平面ABC，PA=，AB=1，BC=，AC=2，D是PC的中点．
（1）求二面角B﹣PA﹣C的大小；
（2）求直线BD与平面ABC所成角的正切值．
【考点】直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角．
【分析】（1）推导出BA⊥PA，CA⊥PA，从而∠BAC为二面角B﹣PA﹣C的平面角，由此能求出二面角B﹣PA﹣C的大小．
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，连接AE，直线BD与平面ABC所成的角为∠DBE，由此能求出直线BD与平面ABC所成角的正切值．
【解答】解：（1）∵PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，AB⊂平面ABC，
∴BA⊥PA，CA⊥PA，∴∠BAC为二面角B﹣PA﹣C的平面角．
在△ABC中，∵，
∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，
∴△ABC为直角三角形，
sin∠BAC==，∴∠BAC=60°，
故二面角B﹣PA﹣C的大小为60°…
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，连接AE，
从而结合题意知DE⊥平面ABC，
∴直线BD与平面ABC所成的角为∠DBE，且．
又D是PC的中点，∴，，
∴=．
∴直线BD与平面ABC所成角的正切值为．…
【点评】本题考查三面角的大小的求法，考查线面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
21．已知直线l1：2x﹣y=0，直线l2：x﹣y+2=0和直线3：3x+5y﹣7=0．
（1）求直线l1和直线l2交点C的坐标；
（2）求以C点为圆心，且与直线l3相切的圆C的标准方程．
【考点】圆的切线方程；两条直线的交点坐标．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆．
【分析】（1）把直线l1和直线l2的方程联立方程组，求得直线l1和直线l2交点坐标．（2）根据圆C与直线l3相切，利用点到直线的距离公式求得圆的半径r，从而求得圆C的标准方程．
【解答】解：（1）由，求得．
所以直线l1和直线l2的交点C的坐标为（2，4）．
（2）因为圆C与直线l3相切，
所以圆的半径r===，
所以圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣4）2=．
【点评】本题主要考查求两条直线的交点，直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．
22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（1）证明平面PAC⊥平面PBD；
（2）证明PB⊥平面EFD．
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定．
【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】（1）推导出AC⊥BD，AC⊥PD，从而AC⊥平面PBD，由此能证明平面PAC⊥平面PBD．（2）推导出DE⊥PC，BC⊥DC，BC⊥PD，从而DE⊥平面PBC由此能证明PB⊥平面EFD．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵侧棱PD⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD．
又∵BD∩PD=D，∴AC⊥平面PBD．
又∵AC⊂平面PAC，
∴由平面与平面垂直的判定定理知，平面PAC⊥平面PBD…
（2）在△PDC中，由PD=DC，E是PC的中点，知DE⊥PC．
由底面ABCD是正方形，知BC⊥DC，
由侧棱PD⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，知BC⊥PD，
又DC∩PD=D，故BC⊥平面PCD．而DE⊂平面PCD，所以DE⊥BC．
由DE⊥PC，DE⊥BC及PC∩BC=C，知DE⊥平面PBC．
又PB⊂平面PBC，故DE⊥PB．又已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，
∴PB⊥平面EFD．…
【点评】本题考查面面垂直、线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．。