2020-2021学年江西省上饶市万年第二中学高二数学文上学期期末试题含解析

2020-2021学年江西省上饶市万年第二中学高二数学文上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n后，输出的S∈（10，20），那么n的值为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
参考答案：
B
【考点】循环结构．
【专题】算法和程序框图．
【分析】框图在输入n的值后，根据对S和k的赋值执行运算，S=1+2S，k=k+1，然后判断k是否大于n，不满足继续执行循环，满足跳出循环，由题意，说明当算出的值S∈（10，20）后进行判断时判断框中的条件满足，即可求出此时的n值．
【解答】解：框图首先给累加变量S赋值0，给循环变量k赋值1，
输入n的值后，执行S=1+2×0=1，k=1+1=2；判断2＞n不成立，执行S=1+2×1=3，k=2+1=3；
判断3＞n不成立，执行S=1+2×3=7，k=3+1=4；
判断4＞n不成立，执行S=1+2×7=15，k=4+1=5．
此时S=15∈（10，20），是输出的值，说明下一步执行判断时判断框中的条件应该满足，
即5＞n满足，所以正整数n的值应为4．
故选：B．
【点评】本题考查了程序框图中的循环结构，是直到型循环，即先执行后判断，不满足条件继续执行循环，直到条件满足跳出循环，算法结束，是基础题．
2. 若不等式的解集为则的值是（）
A.－10
B.－14
C. 10
D. 14
参考答案：
A
3. 当时，下面程序段输出的结果是（）
A．9 B．3 C．10 D．6
参考答案：
D
4. 下列有关命题的说法正确的是（）
A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”
B．“”是“”的必要不充分条件
C．命题“, 使得”的否定是：“, 均有”
D．命题“若，则”的逆否命题为真命题
参考答案：
D
略
5. 已知两定点，，曲线上的点到、的距离之差的绝对值是，则该曲线的方程为（）．
A．B．C．D．
参考答案：
A
由题意知，的轨迹是以，为焦点，以实数轴长为的双曲线，且，，，所以双曲线方程为：
．故选．
6. 如果，那么下列不等式一定成立的是（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
7. 在直角坐标系内，满足不等式的点的集合(用阴影表示)正确的是（）
参考答案：
B
略
8.
参考答案：
①③④
略
9. 当时，不等式恒成立，则实数取值范围是（）A．[2,+∞） B．（1,2] C．（1,2） D.（0,1）
参考答案：
B
略
10. 已知函数f(x)＝log (3x2－ax＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是()
A．－8≤a≤－6 B．－8<a<－6
C．－8<a≤－6 D．a≤－6
参考答案：
C
因为函数f(x)＝log (3x2－ax＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，所以。

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 右图的矩形，长为5 m，宽为2 m，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的
黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为。

参考答案：
12. 在正方体上任意选择4个顶点，由这4个顶点可能构成如下几何体：①有三个面为全等的等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；②每个面都是等边三角形的四面体；③每个面都是直角三角形的四面体④有三个面为不全等的直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体．以上结论其中正确的是（写出所有正确结论的编号）．
参考答案：
①②③④
考点：棱柱的结构特征．
专题：计算题；压轴题．
分析：找出正方体中的四面体的各种图形，例如正四面体，即可判断①②的正误；侧棱垂直底面直角三角形的锐角，四面体即可判断③的正误；画出图形如图即可判断④的正误，推出选项．
解答：解：在正方体上任意选择4个顶点，由这4个顶点可能构成如下几何体：
①有三个面为全等的等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，去掉4个角的正四面体即可，正确；
②每个面都是等边三角形的四面体，去掉4个角的正四面体即可，正确；
③每个面都是直角三角形的四面体，侧棱垂直底面直角三角形的锐角，四面体即可，正确；
④有三个面为不全等的直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体．如图中ABCD即可，正确．故答案为：①②③④
点评：本题考查正方体的结构特征，考查空间想象能力，是基础题．
13. 若变量x，y满足约束条件的最大值= ．参考答案：
3
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+y得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，
则当直线y=﹣2x+z经过点A（2，﹣1）时，直线的截距最大，
此时z最大，
此时z=3，
故答案为：3；
14. ，
经计算得，
推测当时，有__________________________.
参考答案：
略
15. “斐波那契数列”是数学史上一个著名数列，
在斐波那契数列中，
____________；
若，则数列的前项和
是________________（用表示）．
参考答案：
13；
16. 命题“有的质数是偶数”的否定为．
参考答案：
所有质数都是奇数
考点：命题的否定．
专题：简易逻辑．
分析：直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
解答：解：因为特称命题的否定是全称命题，
所以命题“有的质数是偶数”的否定为：所有质数都是奇数．
故答案为：所有质数都是奇数
点评：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．17. 已知函数的定义域为R，，若对，，则不等式的解集为_______
参考答案：
【分析】
构造函数，通过导数可知单调递减，再通过可确定的解集，从而得到结果.
【详解】令，则
在上单调递减
又
当时，，即
的解集为：
本题正确结果：
【点睛】本题考查利用单调性求解不等式的问题，关键是能够通过构造函数的方式将问题转化为自变量范围的求解.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (理) 如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m，圆心为O，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离为2m，在圆环上设置三个等分点A1，A2，A3.点C 为上一点（不包含端点O、B），同时点C与点A1，A2，A3，B均用细绳相连接，且细绳CA1，CA2，CA3的长度相等.设细绳的总长为ym.
（1）①设∠CA1O = (rad)，将y表示成θ的函数关系式；
②设CO=x m, 将y表示成x的函数关系式
;
（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定BC的长使细绳总长y 最小.
参考答案：
(理) (1) ①在△COA1中，
，，………2分
=
（）………4分
②在△COA1中，CA1= ,BC=2-x ………6分
y=3 CA1+CB=3-x+2 (0<x<2) ………8分
（2）①，………10分令，则………12分
当时，；时，，
∵在上是增函数
∴当角满足时，y最小，最小为；………15分此时BC m. ………16分②………10分
令 ,则x=………12分
当x>时, ;当x<时, ;
∴x=时, y最小，最小为；………15分
此时BC m. ………16分
略
19. 已知函数f（x）=x5+ax3+bx﹣8，若f（﹣2）=10，求f（2）的值．
参考答案：
【考点】3T：函数的值．
【分析】设f（x）=g（x）﹣8，g（x）=x5+ax3+bx，则g（﹣x）=﹣g（x），由f（﹣2）=g（﹣2）﹣8=10，知g（2）=﹣18，由此能求出f（2）．
【解答】解：∵f（x）=x5+ax3+bx﹣8，
设f（x）=g（x）﹣8，则g（x）=x5+ax3+bx，
∴g（﹣x）=﹣g（x），
∵f（﹣2）=g（﹣2）﹣8=10，
∴g（﹣2）=18，∴g（2）=﹣18，
∴f（2）=g（﹣2）﹣8=﹣18﹣8=﹣26．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
20. 用数学归纳法证明：
求证：．．
参考答案：
见解析
解：①当时，
左边，
右边，
等式成立．
②设当时，等式也成立，
即：，
则当时，
，
，
，
，
，
得证．
∴时，成立，
故等式成立．
21. 如图四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD．△PAD是正三角形，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD=CD=2AB，点E为PD中点．
（I）证明：CD⊥平面PAD
（II）证明：平面PBC⊥平面PCD
（III）求二面角D﹣PB﹣C的余弦值．
参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）由侧面PAD⊥底面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，可得CD⊥面PAD．
（Ⅱ）如图以AD的中点为原点，OD、OP方向分别为y轴、z轴建立坐标系，设AB=1，
则A（0，﹣1，0），D（0，1，0），P（0，0，），B（1，﹣1，0），C（2，1，0）
求出面PBC、面PDC的法向量，利用法向量垂直，得平面PBC⊥平面PCD．
（Ⅲ）求出两个面的法向量，利用向量夹角公式求解．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，∴CD⊥AD，
∵侧面PAD⊥底面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，∴CD⊥面PAD．
（Ⅱ）证明：如图以AD的中点为原点，OD、OP方向分别为y轴、z轴建立坐标系，设AB=1，
则A（0，﹣1，0），D（0，1，0），P（0，0，），B（1，﹣1，0），C（2，1，0）
设面PBC的法向量为，．
由，可得，
设面PDC的法向量为，由，可得．
，∴平面PBC⊥平面PCD．
（Ⅲ）设面BDP的法向量为，．
由，可得，
cos，二面角D﹣PB﹣C的余弦值为．
22. 已知函数f（x）=x3﹣ax2+b（a，b∈R），其图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣3=0．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）在区间[﹣2，4]上的最大值．
参考答案：
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，从而得到切线的斜率，建立等式关系，再根据切点在函数图象建立等式关系，解方程组即可求出a和b，从而得到函数f（x）的解析式；
（2）先求出f′（x）=0的值，根据极值与最值的求解方法，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值．
【解答】解：（1）f′（x）=x2﹣2ax，
∵（1，f（1））在x+y﹣3=0上，
∴y=﹣x+3=f（1）=﹣a+b=2①，
f′（1）=﹣1=1﹣2a②，
由①②解得：a=1，b=；
（2）∵f（x）=x3﹣x2+，
∴f′（x）=x2﹣2x，
由f′（x）=0可知x=0和x=2是f（x）的极值点，所以有
∵f（0）=，f（2）=，f（﹣2）=﹣4，f（4）=8，
∴在区间[﹣2，4]上的最大值为8．。