2019年高考数学(理科北京市专用)复习专题测试课件(命题规律探究+题组分层精练)：第二章 函数的概念与基

高考理数 (北京市专用)
§2.5 对数与对数函数
五年高考
A组 自主命题·北京卷题组
(2017北京,8,5分)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物
质的原子总数N约为1080.则下列各数中与 M 最接近的是(参考数据:lg 3≈0.48) ( )
N
A.1033 B.1053 C.1073 D.1093
a b ,
对于③:当0< ba <1时,有
0 0

a b
或 1 ,
1
a b,

a或
1
,
b 1
a b,

0

a

1,
b 1 ,
经验证,ln+ ba ≥ln+a-ln+b成立;
当 a >1时,有
b
3.(2015江西八所重点中学联考,5)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时, f(x)=3x+m(m为 常数),则 f(-log35)的值为 ( ) A.4 B.-4 C.6 D.-6 答案 B ∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0,即30+m=0,解得m=-1,∴f(log35)= 3 lo-g13 5=4, ∴f(-log35)=-f(log35)=-4.
C.x2<x1<x3 D.x3<x1<x2
答案 A
由题意可知x3是函数y1=


1 3

x
与y2=log3x的图象交点的横坐标,在同一平面直角坐标系

中画出函数y1=


1 3

x
与y2=log3x的图象,如图所示,

由图可知x3>1,而x1=lo g 1 2<0,0<x2= 2 12<1,所以x3>x2>x1,故选A. 3
,b=
.
答案 4;2
解析 令logab=t,∵a>b>1,∴0<t<1,由logab+logba52= 得,t1t+ 52 = ,解12得t= 或t=2(舍去),即lo12 gab= ,
∴
a
aa
a
a
a a a2
aa
2
b评=析 ,又本ab=题ba考,∴查 对=(数 )式a,即、 指= 数,式亦的即运 =算 ,注,解意得loag=ab4=,l∴ o g1 bb a=,先2.求出logab= 12 是解题的突破口.
若0<a<1,则2+logax<2+loga2≤1,
∴ 1 ≤a<1,最大值要求,再对函数x>2的部分进行分类讨论,可知a>1时不
的是 ( )
A.q=r<p B.q=r>p C.p=r<q D.p=r>q
答案 C 由题意得p=ln a,qb =ln a,r=b (ln1 a+ln b)=ln =p,a∵b 0<a<b,∴ > ,a∴ lbn a b
2
2
2
a >b ln ,∴a bp=r<q.
2
3.(2013课标全国Ⅱ,8,5分,0.678)设a=log36,b=log510,c=log714,则 ( )
④若a>0,b>0,则ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln 2.
其中的真命题有
.(写出所有真命题的编号)
答案 ①③④
解析
对于①:当0<ab<1时,有 b0
a 0,
1,
此时ln+(ab)=bln+a=0;
当ab=1时,有
a 1,
b 此0 , 时ln+(ab)=bln+a=0;
答案
A
f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-[ln(1+x)-ln(1-x)]=-f(x),①正确.
f 1 =2 lxxn2 -ln1

1
2
x x
2

1 =1l2nx x 2 -ln (11 ,∵xx )2x2 ∈(-(111 ,1)xx,)2∴2 f =2ln(1+x)-2l1n(21xx-2x)=2[ln(1+x)-ln(1-x)]=2f(x),
4.(2015东北四市联考,4)函数f(x)=lg(x+1)+lg(x-1)是 ( )
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数
答案 C 函数f(x)的定义域为{x|x>1},定义域不关于原点对称,故该函数是非奇非偶函数,故选 C.
二、填空题(共5分)
5.(2016北京海淀一模,11)在三个数 12 2, 12 ,log32中,最小的数是
.
答案 1
2
解析 ∵ 2 =12 1 2> 12 ,log32>log3 =3 log3 3 =12 12 ,
∴这三个数中, 1 最小.
2
B组 2015—2017年高考模拟·综合题组
(时间:10分钟
一、选择题(每题5分,共10分)
分值:15分)
1.(2016北京西城二模,7)如图,点A,B在函数y=log2x+2的图象上,点C在函数y=log2x的图象上,若△ ABC为等边三角形,且直线BC∥y轴,设点A的坐标为(m,n),则m= ( )
解决较为方便.
2.(2013山东,16,4分)定义“正对数”:
ln+x=0ln,
现 有 0四 x个命1, 题:
x, x 1.
①若a>0,b>0,则ln+(ab)=bln+a;
②若a>0,b>0,则ln+(ab)=ln+a+ln+b;
③若a>0,b>0,则ln+ ba ≥ln+a-ln+b;
A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c
答案 D 由对数运算法则得a=log36=1+log32,b=1+log52,c=1+log72,由对数函数图象得log32>log 52>log72,所以a>b>c,故选D.
4.(2013浙江,3,5分)已知x,y为正实数,则 ( )
A.2lg x+lg y=2lg x+2lg y
2.(2016北京朝阳二模,6)已知函数f(x)=2x
(1a, x>0且2, a≠1)的最大值为1,则实数a的取值
loga x, x 2
范围是 ( )
A. 12 , 1

B.(0,1)
C. 0
,
1 2

D.(1,+∞)
答案 A 当x≤2时, f(x)=x-1,易知f(x)max=1. 当x>2时,若a>1,则f(x)>2,不合题意;
6.(2015福建,14,4分)若函数f(x)=3(xlao>g6a0,x,且, axx≠212,)的值域是[4,+∞),则实数a的取值范
围是 .
答案 (1,2]
解析 当x≤2时, f(x)=-x+6, f(x)在(-∞,2]上为减函数,∴f(x)∈[4,+∞).当x>2时,若a∈(0,1),则f(x)= 3+logax在(2,+∞)上为减函数, f(x)∈(-∞,3+loga2),显然不满足题意,∴a>1,此时f(x)在(2,+∞)上为 增函数, f(x)∈(3+loga2,+∞),由题意可知(3+loga2,+∞)⊆[4,+∞),则3+loga2≥4,即loga2≥1,∴1<a ≤2.
三年模拟
A组 2015—2017年高考模拟·基础题组
(时间:15分钟
一、选择题(每题5分,共20分)
分值:25分)
1.(2015北京东城期末,4)已知m∈(0,1),如果a=logm2,b=m2,c=2m,那么a,b,c的大小关系为 ( ) A.b<c<a B.b<a<c
C.a<b<c D.c<a<b
1 x
x|=-2x,
令h(x)=2x-ln 1 ,x则h'(x)= <2 0x 2,∴h(x)在(-1,0)上为减函数,∴h(x)>0,即|f(x)|>2|x|.
1 x
1 x2
∴当x∈(-1,1)时,|f(x)|≥2|x|,③正确.
评析 对于③|f(x)|≥2|x|,易误认为可直接画图象判定.事实上利用图象很难解决,通过分类讨论
答案 D 设MN =1 3 03 68=10 t(t>0),∴3361=t·1080,∴361lg 3=lg t+80,∴361×0.48=lg t+80,∴lg t=173.28-8 0=93.28,∴t=1093.28.故选D.
B组 统一命题·省(区、市)卷题组
考点 对数与对数函数
1.(2016四川,5,5分)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研 发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发 资金开始超过200万元的年份是 (参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)( ) A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年
答案 C 因为m∈(0,1),所以a=logm2<0,b=m2∈(0,1),c=2m>1,即a<b<c,故选C.
2.(2015北京朝阳4月模拟,5)已知x1=lo g 1 2,x2= 2 1,2 x3满足
3

1 3

x3
=log3x3,则 (

)
A.x1<x2<x3 B.x1<x3<x2
C组 教师专用题组
考点 对数与对数函数
1.(2014四川,9,5分)已知f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),x∈(-1,1).现有下列命题:
①f(-x)=-f(x);②f 1 2 =xx 22 f(x);③|f(x)|≥2|x|.
其中的所有正确命题的序号是 ( )
A.①②③ B.②③ C.①③ D.①②

a 0

b a
或,
1,

a或
a
b 1
, ,
a b,

0

b

1,
0 b 1 b 1 a 1 ,
经验证,ln+ ba ≥ln+a-ln+b成立;
当 ba =1时,ln+ ba ≥ln+a-ln+b成立,故③正确.
B.2lg(x+y)=2lg x·2lg y
C.2lg x·lg y=2lg x+2lg y
D.2lg(xy)=2lg x·2lg y
答案 D 2 =2 lg(xy) lg x+lg y=2lg x·2lg y,故选D.
5.(2016浙江,12,6分)已知a>b>1.若logab+logba=52 ,ab=ba,则a=
对于④:分四种情况进行讨论:
当a≥1,b≥1时,不妨令a≥b,有2ab≥2a≥a+b,
此时ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln 2成立;
同理,当a≥1,0<b<1或0<a<1,b≥1或0<a<1,0<b<1时,ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln 2成立.故④正确.
综上所述,①③④均正确.
A.2 B.3 C. 2 D. 3
答案 D 由题图可知|BC|=2, ∵△ABC为等边三角形,且直线BC∥y轴,A(m,n), ∴C(m+ 3 ,n-1),
有
n
log2m2,
n1log2(m 3),
解得m= 3 .故选D.
思路分析 先由函数图象得到三角形的边长,再利用等边三角形的性质和A点坐标表示C点坐 标,将点A,C坐标代入函数,求出m的值.
答案 B 设x年后研发资金超过200万元,则130(1+12%)x>200⇒1.12x>2 0 ⇒xlg 1.12>lg 2 0 ⇒0.05
13
13
x>0.19⇒x>3.8,
故该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年.
评析 熟练应用对数运算法则是解题的关键.
2.(2015陕西,9,5分)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f( )a,bq=f ,ra=2 b (f(a)12+f(b)),则下列关系式中正确
当ab>1时,有

a 此1 , 时ln+(ab)=ln
b 0,
ab=bln
a,
而bln+a=bln a=ln+(ab),综上,ln+(ab)=bln+a,故①正确.
对于②:令a=2,b=13 ,则ln+(ab)=ln +23 =0;
而ln+a+ln+b=ln 2>0,故ln+(ab)=ln+a+ln+b不成立,故②错误.
②正确.当x∈[0,1)时,|f(x)|=ln(1+x)-ln(1-x)=ln 1 ,x2|x|=2x,令g(x)=ln 1 - 2xx,则g'(x)= ≥2 0x 2,∴g
1 x
1 x
1 x2
(x)在[0,1)上为增函数,∴g(x)≥g(0)=0,即|f(x)|≥2|x|;当x∈(-1,0)时,|f(x)|=ln(1-x)-ln(1+x)=-ln 1 ,x2|