河北省保定市容城中学2013-高一下学期第二次月考数学试题

高一下学期第二次月考数学试题
一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题只有一项是正确的）1．（5分）（2013•青岛一模）若a、b是任意实数，且a＞b，则下列不等式成立的是（）A．a2＞b2B．C．l g（a﹣b）＞0 D．
2．（5分）（2012•江西模拟）底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其主视图有最大面积时，其左视图的面积为（）
A．B．3C．D．4
3．（5分）（2012•信阳模拟）已知，则等于（）
A．B．C．D．
4．（5分）（2013•眉山二模）等比数列{a n}的公比q＞1，，，则
a3+a4+a5+a6+a7+a8等于（）
A．64 B．31 C．32 D．63
5．（5分）已知tan（α﹣β）=，且α，β∈（0，π），则2α﹣β=（）A．B．C．D．
6．（5分）在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H使
，则（）
A．E F∥GH B．E F，GH是异面直线
C．E F∩GH=M，且M在直线BD上D．E F∩GH=M，且M在直线AC上
7．（5分）（2012•浙江模拟）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＞0，S10＜0，则
中最大的是（）
A．B．C．D．
8．（5分）（2013•房山区二模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）
A．B．C．D．9
9．（5分）已知曲线y=2sin（x+）cos（）与直线y=相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为P1，P2，P3，…，则||等于（）
A．πB．2πC．3πD．4π
10．（5分）半径为R的球O中有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的表面积的比值为（）
A．B．1C．D．2
11．（5分）设函数f（x）=2x﹣cos4x，{a n}是公差为的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f （a8）=11π，则=（）
A．0B．C．D．
12．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，D为AB边上一点，且CD⊥AB，CD=AB，则的最大值为（）
A．2B．C．D．3
二、填空题（本题共四小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）（2012•佛山一模）已知向量=（x，2），=（1，y），其中x＞0，y＞0．若•=4，则+的最小值为_________．
14．（5分）给出下列关于互不相同的直线m，l和平面α，β的四个命题
①m⊂α，l∩α=A，a∉m，则l，m是异面直线
②m⊂α，l⊂β，m∥l，则α∥β
③m⊂α，l⊂α，m∥β，l∥β，l∩m=A，则α∥β
④若α∩β=m，l∥m且l⊄α，l⊄β，则l∥a且l∥β
其中正确命题是_________（填序号）
15．（5分）（2012•吉安县模拟）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若
AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于
_________．
16．（5分）已知数列{a n}满足a n+（﹣1）n+1a n+1=2n﹣1，则{a n}的前40项和S40=_________．
三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知α为锐角且，
（1）求tanα的值；
（2）求的值．
18．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M为棱DD1上一点
（1）求三棱锥A﹣MCC1的体积；
（2）当A1M+MC取得最小值时，求AM与A1C所成角的余弦值．
19．（12分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且
（1）求B
（2）若b=2，△ABC的面积为，求a，c．
20．（12分）已知数列{a n}中，
（1）求数列{a n}的通项a n；
（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．
21．已知函数f（x）=（x+2）|x﹣a|
（1）当a=2时，解不等式f（x）＞3x；
（2）当x∈时，f（x）＜3恒成立，求实数a的取值范围．
22．（12分）在数列{a n}中，
（1）求数列{a n}的通项a n；
（2）求证：a1（a1﹣1）+a2（a2﹣1）+…+a n（a n﹣1）＜3．
高一（下）第二次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题只有一项是正确的） 1．（5分）（2013•青岛一模）若a 、b 是任意实数，且a ＞b ，则下列不等式成立的是（ ） A ． a 2＞b 2 B ．
C ． l g （a ﹣b ）＞0
D ．
考点：
不等关系与不等式． 专题：
探究型． 分析：
由题意a 、b 是任意实数，且a ＞b ，可通过举特例与证明的方法对四个选项逐一判断得出正确选项，A ，B ，C 可通过特例排除，D 可参考函数y=是一个减函数，
利用单调性证明出结论．
点评： 本题考查不等关系与不等式，考查了不等式的判断与大小比较的方法﹣﹣特例法与单
调性法，解题的关键是理解比较大小常用的手段举特例与单调性法，及中间量法等常用的方法
2．（5分）（2012•江西模拟）底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其主视图有最大面积时，其左视图的面积为（ ） A ．
B ． 3
C ．
D ． 4
考点：简单空间图形的三视图．
专题：计算题．
分析：由题意可知三视图的正视图面积最大时是正方形，侧视图是矩形，然后求出面积．解答：解：由三视图和题意可知三视图的正视图面积最大时是正方形，底面边长为2，侧棱长2，
侧视图是矩形，长为2，宽为，
所以侧视图的面积为：2，
故选A．
点评：本题考查由三视图求侧视图的面积，正确判断侧视图的形状是解题的关键．
3．（5分）（2012•信阳模拟）已知，则等于（）
A．B．C．D．
考点：同角三角函数基本关系的运用．
分析：先将sin（）用两角和正弦公式化开，然后与sinα合并后用辅角公式化成一个三角函数，最后再由三角函数的诱导公式可得答案．
解答：解：∵sin（）+sinα=sinα++sinα==﹣∴∴sin（）=﹣
∵cos（α+）=cos（）=﹣sin（）=
故选D．
点评：本题主要考查两角和的正弦公式和三角函数的诱导公式．三角函数部分公式比较多，容易记混，对公式一定要强化记忆．
4．（5分）（2013•眉山二模）等比数列{a n}的公比q＞1，，，则
a3+a4+a5+a6+a7+a8等于（）
A．64 B．31 C．32 D．63
考点：等比数列的前n项和．
专题：计算题．
分析：利用等比数列的定义和性质求出a3=1，公比q=2，再利用等比数列的前n项和公式求出a3+a4+a5+a6+a7+a8 的值．
解答：解：∵等比数列{a n}的公比q＞1，，，
∴a2•a3=a1•a4=
则==3=2（a2+a3），
∴a2+a3=．
解得a2=，a3=1，故公比q=2．
∴a3+a4+a5+a6+a7+a8 ==63，
故选D．
点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的前n项和公式，属于中档题．
5．（5分）已知tan（α﹣β）=，且α，β∈（0，π），则2α﹣β=（）A．B．C．D．
考点：两角和与差的正切函数．
专题：计算题．
分析：利用两角和公式进行化简求解即可．
解答：∵tan（α﹣β）==且tanβ=
即tanα=
∵α，β∈（0，π）且tan=1，tan=﹣1
∴α∈（0，），β∈（，π）
即2α﹣β∈（﹣π，﹣）
∴tan（2α﹣β）==1
即2α﹣β=﹣
故答案选：C
点评：考查了两角和公式的应用，属于中档题．
6．（5分）在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H使
，则（）
A．E F∥GH B．E F，GH是异面直线
C．E F∩GH=M，且M在直线BD上D．E F∩GH=M，且M在直线AC上
考点：空间中直线与平面之间的位置关系．
专题：空间位置关系与距离．
分析：利用使，可得EF∥BD，FG∥BD，利用平行的传递性可证明EH∥FG．
解答：解：连结BD，因为，
所以EF∥BD，FG∥BD，
即EH∥FG．
故选A．
点评：本题主要考查直线平行的判定以及直线平行的应用，比较基础．
7．（5分）（2012•浙江模拟）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＞0，S10＜0，则
中最大的是（）
A．B．C．D．
考点：等差数列的性质．
专题：计算题；压轴题．
分析：
由，可得，
a5＞0，a6＜0
结合等差数列的通项可得，a1＞a2＞a3＞a4＞a5＞0＞a6＞…即可得，
，则可得
解答：
解：∵，
∴a5＞0，a5+a6＜0，a6＜0
∴等差数列{a n}中，a1＞a2＞a3＞a4＞a5＞0＞a6＞…
∴
则
故选B
点评：
本题主要考查了利用等差数列前n项和公式来判断数列项的取值范围，灵活利用等差数列的性质（若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q）是解决本题的关键．
8．（5分）（2013•房山区二模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）
A．B．C．D．9
考点：由三视图求面积、体积．
专题：计算题．
分析：判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．
解答：解：三视图复原的几何体是长方体的一个角，如图：
直角顶点处的三条棱长：3，，3．其中斜侧面的高为：3．
几何体的表面积是：=．故选A．
点评：本题考查三视图与几何体的关系，判断几何体的形状是解题的关键．
9．（5分）已知曲线y=2sin（x+）cos（）与直线y=相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为P1，P2，P3，…，则||等于（）
A．πB．2πC．3πD．4π
考点：向量的模．
专题：计算题．
分析：利用三角函数的恒等变换化简函数y的解析式为y=1+sin2x，由1+sin2x=，解得2x=2kπ﹣，或2x=2kπ，k∈z，可分别求点的坐标，可得长度．
解答：解：曲线y=2sin（x+）•cos（﹣x）=2（sinx+cosx）（cosx+sinx ）=cos2x+sin2x+2sinxcosx=1+sin2x．
由1+sin2x=，解得2x=2kπ﹣，或2x=2kπ，k∈z，
即x=kπ﹣，或x=kπ﹣，k∈z．故P1、P2、…、P5的横坐标分别为：，，，，．
故||==2π
故选B
点评：本题考查三角函数的恒等变换，直线与曲线的相交的性质，关键是要求出交点的坐标，属基础题．
10．（5分）半径为R的球O中有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的表面积的比值为（）
A．B．1C．D．2
考点：球的体积和表面积．
分析：设出圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为α，求出圆柱的侧面积表达式，求出最大值，计算球的表面积，即可得到两者的比值．
点评：
本题考查球的内接圆柱的知识，球的表面积，圆柱的侧面积的最大值的求法，考查计算能力，常考题型．是基础题，
11．（5分）设函数f （x ）=2x ﹣cos4x ，{a n }是公差为的等差数列，f （a 1）+f （a 2）+…+f
（a 8）=11π，则=（ ）
A ． 0
B ．
C ．
D ．
考点：
数列与函数的综合． 专题：
等差数列与等比数列． 分析： 先
设数列{a n }的首项为a 1，则根据条件可得，2（a 1+a 2+…+a 8）=11π，利用等差数列的求和公式可求得首项a 1从而得出a 2，a 5，最后即可求出的
值．
解答： 解：设数列{a n }的首项为a 1，则根据f （a 1）+f （a 2）+…+f （a 8）=11π，得
2a 1﹣cos4a 1+2a 2﹣cos4a 2+…+2a 8﹣cos4a 8=11π ∴2a 1+2a 2+…+2a 8=11π，即2（8a 1+
×
）=11π，
∴a1=，
∴a2=，a5=+4×=，
则=2﹣×=．
故选C．
点评：利用方程思想解决等差数列的问题，正确的列方程或列方程组是解决问题的关键，方程思想是高中数学比较重要的四大思想之一．
12．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，D为AB边上一点，且CD⊥AB，CD=AB，则的最大值为（）
A．2B．C．D．3
考点：余弦定理；正弦定理的应用．
专题：三角函数的求值．
分析：三角形的面积公式可得，可得c2=absinC．由正弦定理可得
==，又由余弦定理可得a2+b2﹣c2=2abcosC，∴a2+b2=c2+2abcosC．于是==sinC+2cosC=sin（C+φ），再利用正弦函数的单调性即可得出．．
解答：解：由三角形的面积公式可得，∴c2=absinC．
由正弦定理可得==，
又由余弦定理可得a2+b2﹣c2=2abcosC，∴a2+b2=c2+2abcosC．
∴==sinC+2cosC=sin（C+φ）≤．
故的最大值是．
故选B．
点评：熟练掌握三角形的面积公式、正弦定理、由余弦定理、正弦函数的单调性等是解题的关键．
二、填空题（本题共四小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）（2012•佛山一模）已知向量=（x，2），=（1，y），其中x＞0，y＞0．若•=4，则+的最小值为．
考点：基本不等式；平面向量数量积的运算．
专题：计算题．
分析：
由•=4，可得x+2y=4，则+=+=++，利用基本不等式求出它的最小值．
解答：解：∵向量=（x，2），=（1，y），其中x＞0，y＞0．若•=4，则x+2y=4，则+=+=++≥+2=，
当且仅当=时，等号成立，
故答案为．
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，基本不等式的应用，属于基础题．
14．（5分）给出下列关于互不相同的直线m，l和平面α，β的四个命题
①m⊂α，l∩α=A，a∉m，则l，m是异面直线
②m⊂α，l⊂β，m∥l，则α∥β
③m⊂α，l⊂α，m∥β，l∥β，l∩m=A，则α∥β
④若α∩β=m，l∥m且l⊄α，l⊄β，则l∥a且l∥β
其中正确命题是①④（填序号）
考点：平面与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用．
专题：计算题；规律型．
分析：根据空间中异面直线的判定定理，线面垂直的判定方法，线线关系的判定方法，及面面平行的判定定理，我们对题目中的四个结论逐一进行判断，即可得到结论．
解答：解：对于①：m⊂α，l∩α=A，A∉m，则l与m异面，故①正确；
对于②：m⊂α，l⊂β，m∥l，则α∥β，α与β可能相交，所以②不正确；
对于③：m⊂α，l⊂α，m∥β，l∥β，l∩m=A，则α∥β，当l与m平行时，α与β可能相交，只有它们相交时，③才正确，所以③不正确；
对于④：α∩β=m，l∥m且l⊄α，l⊄β，则l∥a且l∥β；满足直线与平面平行的判定定理，所以正确；
故答案为：①④．
点评：本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟练掌握空间中线面之间位置关系的定义、判定方法和性质定理，建立良好的空间想像能力是解答此类问题的关键．
15．（5分）（2012•吉安县模拟）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若
AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于
20π．
考点：球内接多面体．
专题：计算题；压轴题．
分析：通过已知体积求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，求出球的半径，然后求出球的表面积．
解答：解：在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，
可得，
由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2，
设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，
易得球半径，
故此球的表面积为4πR2=20π
故答案为：20π
点评：本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力．
16．（5分）已知数列{a n}满足a n+（﹣1）n+1a n+1=2n﹣1，则{a n}的前40项和S40=780．
考点：数列的求和．
专题：点列、递归数列与数学归纳法．
分析：在递推式中分别取n=1，2，3，…，得到系列的和式与差式，从而得到规律2个相邻奇数项的和都等于﹣2，取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．然后利用分组求和得到答案．
解答：解：∵a n+（﹣1）n+1a n+1=2n﹣1，
∴a1+a2=1，a2﹣a3=3，a3+a4=5，a4﹣a5=7，a5+a6=9，a6﹣a7=11，…a39+a40=77．
得a3+a1=﹣2，a4+a2=8，a7+a5=﹣2，a8+a6=24，a9+a7=﹣2，a12+a10=40，…
从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于﹣2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．
所以{a n}的前40项和为．
故答案为780．
点评：本题考查了数列递推式，考查了数列的求和，解答的关键是代值找规律，是中档题．
三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知α为锐角且，
（1）求tanα的值；
（2）求的值．
考点：二倍角的余弦；两角和与差的正切函数．
专题：计算题；三角函数的求值．
分析：（1）利用两角和的正切公式，结合题意解关于tanα的方程，即可得tanα的值；
（2）根据二倍角的三角函数公式，将原式化简可得原式等于cosα+sinα．再由同角三角函数的关系，结合（1）的结论加以计算，即可算出原式的值．
解答：解：（1）∵
∴，即，
解之得tanα=；
（2）
==
==cosα+sinα
∵知α为锐角且tanα=
∴sinα=，cosα=，可得cosα+sinα=．
点评：本题已知，求tanα并求三角函数式的值，着重考查了同角三角函数基本关系和二倍角的正弦、余弦公式等知识，属于中档题．
18．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M为棱DD1上一点
（1）求三棱锥A﹣MCC1的体积；
（2）当A1M+MC取得最小值时，求AM与A1C所成角的余弦值．
考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题：计算题；空间角．
分析：（1）由图形直接求出三棱锥的底面积和高，代入体积公式求解；
（2）利用侧面展开分析可得当A1M+MC取得最小值时，M为DD1的中点，然后以A为坐标原点，建系后利用空间向量求AM与A1C所成角的余弦值．
解答：解：（1）如图，
点M到直线CC1的距离等于CD=1，则三角形MCC1面积S=．
点A到平面MCC1的距离为AD=1，则三棱锥A﹣MCC1的体积
．
（2）当A1M+MC取得最小值时，M为DD1的中点．
在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以A为坐标原点，
分别以AB、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
如图，
则A（0，0，0），M（0，1，1），A1（0，0，1），C（1，1，0）．
所以，．
所以=．
所以，则AM与A1C所成角的余弦值为0．
点评：本题考查了锥体的体积，考查了利用空间向量求异面直线所成的角，关键是建立正确的右手系，是中档题．
19．（12分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且
（1）求B
（2）若b=2，△ABC的面积为，求a，c．
考点：余弦定理．
专题：计算题；解三角形．
分析：（1）已知等式左边第一项利用平方差公式及完全平方公式变形，再利用余弦定理化简，整理后利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化简，求出sin（B ﹣）的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）由b与cosB的值，利用余弦定理列出关于a与c的方程，再由已知的面积，利用面积公式列出关于a与c的方程，联立即可求出a与c的值．
解答：解：（1）已知等式变形得：b2﹣a2﹣c2﹣2ac+2absinC=0，
由余弦定理得：cosB=，即a2+c2﹣b2=2accosB，
代入得：﹣2accosB﹣2ac+2absinC=0，即﹣2ccosB﹣2c+2bsinC=0，
利用正弦定理化简得：﹣2sinCcosB﹣2sinC+2sinBsinC=0，
∵sinC≠0，∴﹣2cosB﹣2+2sinB=0，即2sinB﹣2cosB=4sin（B﹣）=2，
∴sin（B﹣）=，
∴B﹣=或，
解得：B=或B=π（舍去），
则B=；
（2）∵S△ABC=acsinB=ac=，
∴ac=4，
∵b=2，cosB=，
∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即4=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac，
将ac=4代入得：（a+c）2=16，即a+c=4，
解得：a=c=2．
点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，以及完全平方公式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
20．（12分）已知数列{a n}中，
（1）求数列{a n}的通项a n；
（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．
考点：数列递推式；数列的求和．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：（1）﹣，移向整理得出a n﹣a n﹣1=，利用累加法求通项
（2）b n=na n=，利用分组法，再分别利用公式法和错位相消法求和．
解答：解：（1）﹣，移向整理得出a n﹣a n﹣1=，
当n≥2时，an=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a1
==1+=，n=1时也适合
所以a n=，
（2）b n=na n=，
T n=﹣（）
令T n′=，两边同乘以得
T n′=
两式相减得出T n′===
T n′=
所以T n=﹣（）
=
点评：本题考查数列的递推公式，通项公式、数列求和．考查累加法，公式法、错位相消法的求和方法．考查计算能力．
21．已知函数f（x）=（x+2）|x﹣a|
（1）当a=2时，解不等式f（x）＞3x；
（2）当x∈时，f（x）＜3恒成立，求实数a的取值范围．
考点：分段函数的应用．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）利用零点分段法，将绝对值符合化去，解所得不等式即可；
（2）当x∈时，f（x）＜3．即（x+2）|x﹣a|＜3，即2﹣＜a＜2+，令gg（x）=2﹣，hh（x）=2+，则有g（x）max＜a＜h（x）min，故可得出答案．
解答：解：（1）当a=2时，不等式f（x）＞3x可化为（x+2）|x﹣2|＞3x
当x≥2时，原不等式可化为（x+2）（x﹣2）＞3x，即x2﹣3x﹣4＞0
解得：x＜﹣1，或x＞4
∴x＞4
当x＜2时，原不等式可化为（x+2）（﹣x+2）＞3x，即x2+3x﹣4＜0
解得：﹣4＜x＜1
∴﹣4＜x＜1
综上所述不等式f（x）＞3x的解集为（﹣4，1）∪（4，+∞）
（2）当x∈时，f（x）＜3恒成立，
即当x∈时，（x+2）|x﹣a|＜3恒成立，
即当x∈时，|x﹣a|＜恒成立，
即当x∈时，2﹣＜a＜2+
令gg（x）=2﹣，hh（x）=2+，x∈
则有g（x）max＜a＜h（x）min．
由gg（x）=2﹣在上单调递增，可得g（x）max=g（1）=1
又hh（x）=2+在上单调递减，故h（x）min=h（﹣1）=5
所以1＜a＜5
即实数a的取值范围为（1，5）
点评：本题以函数为载体，考查解不等式，考查了函数恒成立问题，有一定的难度22．（12分）在数列{a n}中，
（1）求数列{a n}的通项a n；
（2）求证：a1（a1﹣1）+a2（a2﹣1）+…+a n（a n﹣1）＜3．
考点：数列递推式；数列与不等式的综合．
专题：等差数列与等比数列．
分析：
（1）对两边取倒数，进一步构造出等比数列，通过等比数列的通项求出数列{a n}的通项a n；
（2）a n（a n﹣1）=，对n≥2时放缩：a n（a n﹣1）=＜
==﹣，各项相加后容易证明．
解答：
解：（1）对两边取倒数，得出，
两边减去1，化简并整理得出，
所以数列是等比数列，公比为，首项为，
=﹣，a n=，
（2）证明：a n（a n﹣1）=
n≥2时，a n（a n﹣1）=＜
==﹣所以a1（a1﹣1）+a2（a2﹣1）+…+a n（a n﹣1）＜+（）+（）+…+（﹣）=2+1﹣=3﹣
＜3
所以原不等式成立．
点评：本题主要考查了数列与不等式的综合，以及数列的递推关系，同时考查了计算能力，属于中档题．
参与本试卷答题和审题的老师有：caoqz；qiss；maths；sxs123；xintrl；sllwyn；zwx097；lincy；翔宇老师；angela；俞文刚；minqi5；吕静；孙佑中；wsj1012（排名不分先后）
菁优网
2014年2月26日
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