2018年高考数学一轮复习 坐标系与参数方程 第69讲 参数方程实战演练 理

2018年高考数学一轮复习 坐标系与参数方程 第69讲 参数方程实
战演练 理
1．(2015·湖北卷)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为
⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t －1t ，y ＝t ＋1t (t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，则||AB
解析：直线l 的直角坐标方程为y －3x ＝0，曲线C 的普通方程为y 2－x 2＝4. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x ，y 2－x 2＝4得x 2＝12，即x ＝±22
， 则|AB |＝1＋k 2
AB |x A －x B |＝1＋32×2＝2 5.
2．(2014·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；
(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．
解析：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．
可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋cos t ，y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π)．
(2)设D (1＋cos t ，sin t )，由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C
在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3
. 故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，32. 3．(2016·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝3cos α，
y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方
程为ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；
2 (2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标． 解析：(1)C 1的普通方程为x 23
＋y 2
＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0. (2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|
2＝2⎪⎪⎪⎪
⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2. 当且仅当α＝2k π＋π6
(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，12. 4．(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为
⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋12t ，y ＝32t (t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直
线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．
解析：椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24
＝1. 将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋12t ，y ＝32t 代入x 2＋y 2
4＝1， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 4＝1，即7t 2
＋16t ＝0， 解得t 1＝0，t 2＝－167. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝167
.。