2.3.1 平面向量的基本定理及坐标表示 课件

C
(2) 在平行四边形ABCD中,AB a, AD b, AN 3NC,M为BC的 中点,则 MN 等于＿＿＿＿＿＿
分析:由
1 所以 AN 3NC , 得4 AN 3 AC （ 3 a b） , AM a b, 2 3 1 1 1 MN (a b) (a b) a b 4 2 4 4
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对于a 1e1 2e2
注： (1).e1 , e2是同一平面内的两个不 共线向量- - - -基底； （2）平面内的任意向量 a都可用一组基底唯一线 性 表示，即1，2取值唯一； （3）基底的选取不唯一， 选取的关键：不共线； （4） 0不能作为基底 ; （5）当1 2 0时，a 0
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例1.已知e1与e2不共线，a=e1+2e2，b=λ e1+e2，且a与b是一 组基底，则实数λ 的取值范围是___________. 【解析】当a∥b时，设a=mb，则有e1+2e2=m(λe1+e2)， 即e1+2e2=mλe1+me2， 1 m 1 1 所以 2 m ，解得λ= ， 即当λ= 时，a∥b. 2 2
e1
O
A
M
a
N
C
e2
B
平面向量基本定理：
观察如图三个不 共线向量e1 、 a、 e2 , 它 们之间会有怎样的关
e1 e2
a
系呢？ 将三个向量的起点移到同一点：
e1
O
A
M
a
N
C
显然： a OM ON
e2
B
归纳：
根据向量共线的条件 , 存在唯一的一对 实数 1，2，使得： OM 1 e1 , ON 2 e2 , 故a 1 e1 2 e2 .
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定理的应用：
OB 不共线, 且 AP t AB 例4. 如图, OA、 ( t R ), 用 OA, OB 表示 OP .
本题的实质是：
已知O、A、B三点不共线， P 若点 P 在直线 AB 上， 则 OP mOA nOB, 且 m n 1.
B
A
1.证明:若 OC OA (1 )OB 则A,B,C三点共线 2.证明:若A,B,C三点共线,则 OC OA (1 )OB
结论：若A,B,C三点共线 OC OA OB, 且 + =1
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练习
1 (1) D是ABC 中BC 边上一点，且 BD BC ，设 AB a, AC b, 3 A 则AD等于 （ C ）
1 A. ( a b) 3 1 C. (2a b) 3
1 B. (b a ) 3 1 D. ( 2b a ) B 3
D
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2.3.1 平面向量的基本 定理
一.向量的夹角:
已知两个非零向量a、 b , 作OA a , OB b , 则AOB , 叫向量a、b的
夹角.
（注：两向量从同一起点出发）
当 0 , a、 b同向;
o
当 180 , a、 b反向;
o
当 90 , a与b垂直, 记作a b.
O
A
a
C
e2
B
平面向量基本定理：
观察如图三个不 共线向量e1 、 a、 e2 , 它 们之间会有怎样的关
e1 e2
a
系呢？ 将三个向量的起点移到同一点：
e1
O
A
M
a
C
e2
B
平面向量基本定理：
观察如图三个不 共线向量e1 、 a、 e2 , 它 们之间会有怎样的关
e1 e2
a
系呢？ 将三个向量的起点移到同一点：
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数乘的定义：
a
(1) | a || || a | ； a (2)当 0 时, a 的方向与 的方向相同 ; a 当 0 时, a 的方向与 的方向相同 ; (3)当 0 时, 或 a 0时, a 0
它的长度和方向规定如下:
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2、向量共线定理及其应用
1. 定理:向量 b 与非零向量 a 共线的当且仅当存在 唯一的一个实数 ,使得 b a
2. 定理的应用：
1).证明 向量共线
2).证明 三点共线: AB=λBC 又B为公共点
AB ∥ BC A,B,C三点共线
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1 又a与b是一组基底，所以a与b不共线，所以λ≠ . 2 1 1 答案：(-∞， )∪( ，+∞) 2 2
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例2.已知e1 , e2不共线，a e1 e2 , b 2e1 3e2 , c 4e1 5e2 , 试以a , b 为基底表示c . 例3.在平行四边形ABCD中，设AC a, BD b , 试用a , b 表示 AB, BC.
e1
O
A
M
a
N
C
e2
B
（１）平面向量基本定理
唯 如果 e1 , e2 , 是同一平面内两个不共线向量， 存
那么对于这一平面的任意向量 a, 有且只有 存在 一对实数， 1 , 2 ,
在 一 性 性
使
a 1 e1 2 e2
1 , e2 叫做这一平面内 （ 2 基底：把不共线的向量 e 特别地： λ 1=0，λ 2≠0时， 共线. a λ e ,a 与 e 2 2 2 ） 思考： 上述表达式中的 是否唯一 ？ 1 , 2 所有向量的一组基底． 一个平面向量用一组基底 ( 3 正交分解 e2 , . e1 a λ1 e1 ,a与e λ 1≠0，λ 2=0时， 1 , 共线 ： a e e 称它为向量的分解． ) 表示成 1 1 2 2 ： = λ a 0. 当 e1 ,λ e1 互相垂直时，称为向量的正交分解． 2=0时， , 2
O
a
C
平面向量基本定理：
观察如图三个不 共线向量e1 、 a、 e2 , 它 们之间会有怎样的关
e1 e2
a
系呢？ 将三个向量的起点移到同一点：
e1
O
A
a
C
平面向量基本定理：
观察如图三个不 共线向量e1 、 a、 e2 , 它 们之间会有怎样的关
e1 e2
a
系呢？ 将三个向量的起点移到同一点：
e1
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O
1 练习.如图，在△ABC中， AN= 3 NC，P是BN上的一点，
若 AP = A.
9 11
2 mAB+ 11
AC，则实数m的值为（ D ） C.
2 11
B.
5 11
D.
3 11
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D
A
F E B
C
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例6.平行四边形ABCD中， AB a, AD b，H , M是 1 AD、DC的中点， BF BC,以a , b 为基底，分解 3 向量 AM与HF。
o
练习： 1.a, b 夹角为 80 ，求a与 b 的夹角。
A
2.(1)求AC与CB的夹角；
B 30 ° C
(2)求AB与CB的夹角
3.已知a, b 0, | a || b || a b |, 求a与a b的夹角。


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已知向量 及实数λ1=-2.5，λ2=3 问:能否作出向量 这样的 a 有几个？
e1 , e2 （如图），
a,
使 a e e 1 1 2 2
3e2
2.5e1 3e2
e1
e2
成立？
2.5e1
3e2
2.5e1
O
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平面向量基本定理：
观察如图三个不 共线向量e1 、 a、 e2 , 它 们之间会有怎样的关
e1 e2
a
系呢？ 将三个向量的起点移到同一点：
平面向量基本定理：
观察如图三个不 共线向量e1 、 a、 e2 , 它 们之间会有怎样的关
e1 e2
a
系呢？ 将三个向量的起点移到同一点：
O
平面向量基本定理：
观察如图三个不 共线向量e1 、 a、 e2 , 它 们之间会有怎样的关
e1 e2
a
系呢？ 将三个向量的起点移到同一点：