2021年高三3月大联考(新高考课标卷)(答案+评分标准+评分细则)

2021年高三3月大联考（新高考课标卷）
数学·答案+评分标准+评分细则
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的．
全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．CD 10．BC 11．BCD 12．BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．3 14．(100,)
+∞15．
13
300
16
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
【解析】（1）由11
240(2)
n n n
a a a n
+-
-+-=≥得
11
()()4(2)
n n n n
a a a a n
+-
---=≥，（2分）又216
a a
-=，
所以数列
1
{}
n n
a a
+
-是以6为首项，4为公差的等差数列.（4分）
评分说明：
1.求出首项216
a a
-=可得1分；
2.不写2
n≥不扣分.
（2）由（1）得*
1
6(1)442,
n n
a a n n n
+
-=+-⨯=+∈N，（5分）
所以2
112211
()()()(42)(46)622 n n n n n
a a a a a a a a n n n
---
=-+-++-+=-+-+++=，（6分）故
111
(1)1
n
b
n n n n
===-
++，（
7分）
111111
(1)()()11
22311
n
S
n n n
=-+-++-=-<
++
，（8分）
由*
n∈N易知1
1
2
n
S S
≥=.
综上，
1
1
2n
S
≤<.（10分）
评分说明：
1.若
n
a求错，则后续步骤不得分；
2.111
111
(1)()()1122311
n S n n n =-+-+
+-=-<++这一步中只要求对111n S n =-+即可得8分.
18．（12分）
【解析】选条件①：
由2sin cos cos cos c A B A A 及正弦定理，得sin sin (sin cos cos sin )C A A A B A B +
sin()A A B =+.（4分）
因为在ABC △中，πA B C ++=， 所以sin sin()0C A B =+≠，
所以sin A A =，即tan A ，（8分） 又(0,π)A ∈，所以π
3
A =
，（10分） 又4b =，2sin a b A =<⋅，所以不存在这样的三角形. 因此，选条件①时，问题中的三角形不存在.（12分） 评分说明：
1.
对条件2sin cos cos cos c A B A A ，若能正确利用正弦定理，但未得到
sin sin C A sin()A A B =+可得1分；
2.求角A 时未写角的范围(0,π)A ∈扣1分. 选条件②：
由(4cos 21A A -+=2cos212sin A A =-，得22sin (40A A +--=，（2分）
解得sin A =
sin 2A =-（舍去）.（4分） 因为,,b a c 成等差数列，所以π
(0,)2
A ∈，
所以π
3
A =
，（6分） 又2a =，所以24b c a +==，
由余弦定理，得222
π2cos 3a b c bc =+-，即24()3163b c bc bc =+-=-，
所以4bc =.（10分）
由44
b c bc +=⎧⎨=⎩，解得2b c ==.故ABC △为正三角形. 因此，选条件②时，问题中的三角形存在，且2c =.（12分） 评分说明：
1.未判断出π(0,)2A ∈得到两个解，即π3A =或2π3A =，但在后续步骤中的分类讨论中，正确求解当π
3A =
时2c =，并且能正确说明当2π
3
A =时无解，不满足,,b a c 成等差数列，则该题不扣分. 选条件③：
由π1sin()cos 62A A +=+，得311
sin cos 22
A A -=，即π1sin()62A -=，（3分）
由(0,π)A ∈，得ππ5π
(,)666A -∈-，（4分）
所以ππ
66A -=，（5分） 所以π
3
A =
，（6分） 由1323
sin 2ABC S bc A bc ===
△，得83bc =.（8分） 由余弦定理，得22242cos a b c bc A ==+-2()3b c bc =+-， 所以23b c +=，（10分） 从而23c =
或43
c =
. 因此，选条件③时，问题中的三角形存在，且23c =或43
c =
.（12分） 评分说明：
1.若学生未能正确求得π1sin()62A -=，但能正确利用两角和的正弦公式将π
sin()6A +展开，可得1分；
2.求角π6A -大小时，不写角的范围ππ5π
(,)666
A -∈-扣1分. 19．（12分）
【解析】（1）由题可得2
K 的观测值2100(40252510)900
9.890 6.6355050653591
k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，（2分）
所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为是否为“理性购物者”与性别有关．（4分） 评分说明：
观测值k 的表达式写对，结果计算错误可得1分；结果为分数
900
91
，未化简为小数不扣分. （2）由题可得，购物总金额在[3000,4000)内，优惠3003900⨯=元， 购物总金额在[4000,5000)内，优惠30041200⨯=元，（5分） 则随机变量X 的所有可能取值为1800，2100，2400
，（6分）
且121(1800)233P X ==⨯=，11121(2100)23232P X ==⨯+⨯=，111(2400)236P X ==⨯=，（9分）
所以X 的分布列为
X180021002400
P
1
3
1
2
1
6
（10分）
所以
111
()1800210024002050
326
E X=⨯+⨯+⨯=．（12分）
评分说明：
()
E X表达式写对，结果计算错误扣1分.
20．（12分）
【解析】（1）因为四边形ABEF为矩形，
所以BE AF
∥，所以BE∥平面ADF.（1分）
又BE⊂平面BDE，平面BDE与平面ADF的交线为l，
所以l BE
∥.（3分）
因为BE AB
⊥，平面ABEF⊥平面ABCD ，平面ABEF平面ABCD AB
=，
所以BE⊥平面ABCD，（4分）
所以l⊥平面ABCD.（5分）
（2）设AB的中点为O，CD的中点为G，EF的中点为M，则,,
OA OG OM两两垂直，以O为坐标原点，,,
OA OG OM的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），（6分）设(0)
AF t t
=>，则点F的坐标为(1,0,)t，点E的坐标为(1,0,)t
-.
作DH AB
⊥，交AB于点H，在Rt ADH
△中，
13
,
2
AH DH
==，
所以点D的坐标为
13
(
2
，点C的坐标为
13
(
2
-,
所以
3313
(,,)(,)
22
ED t EC t
=-=-
,.（8分）
设平面CDE的法向量为
1
(,,)
x y z
=
n，则1
1
ED
EC
⎧⋅=
⎪
⎨
⋅=
⎪⎩
n
n
，即
33
2
13
2
x y tz
x y tz
⎧
+-=
⎪⎪
⎨
⎪+-=
⎪⎩
，
令z =，解得0,2x y t ==，所以平面CDE
的一个法向量为1(0,2t =n .（10分） 取平面CDA 的一个法向量为2(0,0,1)=n ， 因为二面角E CD A --的大小为60︒，所以1212cos60=
||||||⋅︒⋅n n n n
，即12=， 解得3
2
t =
（负值不合题意，已舍去）， 所以线段AF 的长度为3
2
.（12分） 评分说明：
1.若学生第（1）问未给出正确证明，不影响第（2）问得分；
2.对其他正确建系方法要按照本参考答案评分标准的相应步骤给分. 21．（12分）
【解析】（1）根据题意，设抛物线C 的方程为22(0)y px p =>， 则||122
p
MF =+
=，即2p =，（2分） 所以抛物线C 的标准方程为24y x =．（4分） 评分说明：
1.若抛物线方程求错，则第（2）问不得分；
2.若只给出结论24y x =而没有步骤，则第（1）问只得2分，但不影响第（2）问得分. （2）由题意知，F (1,0)，直线m 的斜率不为0，可设直线m 的方程为1x ty =+，（5分）
联立方程得241
y x
x ty ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去x 并化简得2440y ty --=，（6分）
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)P x y ，则124y y t +=，124y y =-.（7分）
因为,A P 两点在抛物线C 上，所以2
00211
44y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，两式相减，得2
021014()y y x x -=-，
所以00111104y y k x x y y -=
=-+，同理可得220
4
k y y =+，（8分） 则1012212220022
100100101000
224(2)4(2)4(2)44
2()()(444)y y y y y y y y y y y y y y y y y y y t k y y y y k t ++++++===+++++=
=+-++++，（9分） 所以20004484y y y t t -++=+，即2
0(44)840t y y t +---=，(*)（10分） 因为22=(44)4(84)16(2)0t t t -++=+>∆，所以方程(*)有两个不同的解，（11分）
故满足122k k +=的点P 的个数为2.（12分） 评分说明：
若设直线m 的方程为(1)y k x =-，则按照本参考答案评分标准给分，但需要讨论直线m 斜率不存在的情况，否则扣1分. 22．（12分）
【解析】（1）当1a =时，2
1()cos 12
f x x x =+-，[0,)x ∈+∞， 则()sin f x x x '=-，（1分）
令()sin (0)h x x x x =-≥，则()1cos 0h x x '=-≥恒成立，（2分） 所以函数()h x 在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)0h x h ≥=，（3分） 所以()0f x '≥，所以函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，（4分） 所以函数()f x 的最小值为(0)0f =．（5分）
（2）由题可知当0a =且0x ≥时，sin cos 1e 1bx x x -+≤-恒成立， 即e sin cos 2bx x x ≥-+恒成立，（6分）
令1()e (0)bx t x x =≥，2()sin cos 2(0)t x x x x =-+≥，
则1()e (0)bx t 'x b x =≥，2()cos sin (0)t 'x x x x =+≥，所以1(0)t 'b =，2(0)1t '=， 又函数1()t x 与函数2()t x 的图象均过点(0,1)，所以1b ≥．（8分）
令()e sin cos 2(0)bx t x x x x =-+-≥，由（1）可知2
1cos 12
x x ≥-，且e e bx x ≥，
所以22()e sin 12e sin 122x x
x x t x x x ≥-+--=---，（9分）
令2
()e sin 1(0)2
x
x k x x x =---≥，则()e cos e 1x x k x x x x '=--≥--，（10分）
令()e 1(0)x p x x x =--≥，则()e 10x p'x =-≥，
所以函数()p x 在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)0p x p ≥=，所以()0k x '≥， 所以函数()k x 在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)0k x k ≥=，所以()0t x ≥，（11分） 即e sin cos 20bx x x -+-≥，即sin ()e 1bx x f x -≤-恒成立， 所以实数b 的取值范围为[1,)+∞．（12分） 评分说明：
第（1）问未给出正确求解过程，不影响第（2）问得分.。