2014-2015年甘肃省嘉峪关一中高二(上)期末数学试卷(理科)及答案

2014-2015学年甘肃省嘉峪关一中高二（上）期末数学试卷（理
科）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）椭圆4x2+y2=4的准线方程是（）
A．B．C．D．x=
2．（5分）如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，
①BM与ED平行；
②CN与BE是异面直线；
③CN与BM成60°角；
④DM与BN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是（）
A．①②③B．②④C．③④D．②③④
3．（5分）已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β=c，那么直线c一定（）
A．与a，b都相交
B．只能与a，b中的一条相交
C．至少与a，b中的一条相交
D．与a，b都平行
4．（5分）已知条件p：|x﹣1|＜2，条件q：x2﹣5x﹣6＜0，则p是q的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件
5．（5分）已知p：“a=b”是“ac=bc”充要条件；q：“a＜5”是“a＜3”的必要不充分
条件，则下列判断中，错误的是（）
A．p或q为真，非q为假B．p或q为真，非p为真
C．p且q为假，非p为假D．p且q为假，p或q为真
6．（5分）设椭圆（m＞0，n＞0）的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（）
A．B．
C．D．
7．（5分）顶点在原点，且过点（﹣4，4）的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣4x B．x2=4y
C．y2=﹣4x或x2=4y D．y2=4x或x2=﹣4y
8．（5分）已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定定点M与点A、B、C一定共面的是（）
A．B．
C．D．
9．（5分）设α∈（0，），则方程x2sinα+y2cosα=1表示的曲线为（）A．焦点在y轴上的椭圆B．焦点在y轴上的双曲线
C．焦点在x轴上的椭圆D．焦点在x轴上的双曲线
10．（5分）如图所示，在四面体P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，AB=BC=CA=PC，那么二面角B﹣AP﹣C的余弦值为（）
A．B．C．D．
11．（5分）双曲线的离心率e∈（1，2），则k的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣3，0）C．（﹣12，0）D．（﹣60，﹣12）
12．（5分）我们把由半椭圆与半椭圆合成的
曲线称作“果圆”（其中a2=b2+c2，a＞b＞c＞0）．如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1、A2和B1、B2是“果圆”与x，y轴的交点，若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为（）
A．B．C．5，3D．5，4
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．（5分）命题“∀x∈R，x2+2x+2＞0”的否定为．
14．（5分）以（1，﹣1）为中点的抛物线y2=8x的弦所在直线方程为．15．（5分）已知，（两两互相垂直），那么=．
16．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC1⊥A1C．有下列条件：
①AB=AC=BC；②AB⊥AC；③AB=AC．其中能成为BC1⊥AB1的充要条件的是（填
上该条件的序号）．
三、解答题：（共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知命题p：c2＜c，和命题q：∀x∈R，x2+4cx+1＞0且p∨q为真，p∧q为假，求实数c的取值范围．
18．（12分）抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）
的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为（，
），求抛物线与双曲线方程．
19．（12分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．求证：（1）C1O∥面AB1D1；
（2）A1C⊥面AB1D1．
20．（12分）如图所示，已知圆O1与圆O2外切，它们的半径分别为3、1，圆C 与圆O1、圆O2外切．
（1）建立适当的坐标系，求圆C的圆心的轨迹方程；
（2）在（1）的坐标系中，若圆C的半径为1，求圆C的方程．
21．（12分）如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点．
（Ⅰ）证明：直线MN∥平面OCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离．
22．（12分）如图，已知F1、F2分别为椭圆的上、下焦点，其中F1也是抛物线的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）已知点P（1，3）和圆O：x2+y2=b2，过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A，B，在线段AB上取一点Q，满足：，（λ≠0且λ≠±1），
求证：点Q总在某条定直线上．
2014-2015学年甘肃省嘉峪关一中高二（上）期末数学试
卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）椭圆4x2+y2=4的准线方程是（）
A．B．C．D．x=
【解答】解：把椭圆4x2+y2=4转化为标准方程：，
∴a2=4，b2=1，c2=3，
∴椭圆4x2+y2=4的准线方程是：
y=±=±=±．
故选：C．
2．（5分）如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，
①BM与ED平行；
②CN与BE是异面直线；
③CN与BM成60°角；
④DM与BN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是（）
A．①②③B．②④C．③④D．②③④
【解答】解：由题意画出正方体的图形如图：
显然①②不正确；③CN与BM成60°角，即∠ANC=60°
正确；④DM⊥平面BCN，所以④正确；
故选：C．
3．（5分）已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β=c，那么直线c一定（）
A．与a，b都相交
B．只能与a，b中的一条相交
C．至少与a，b中的一条相交
D．与a，b都平行
【解答】解：∵异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β=c
∴直线c与a、b可都相交，也可只与一条相交，故A、B错误；
如果c与a，b均不相交，则直线c与a，b均平行，∴a∥b，与a，b异面矛盾，故C正确，D不正确；
故选：C．
4．（5分）已知条件p：|x﹣1|＜2，条件q：x2﹣5x﹣6＜0，则p是q的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件
【解答】解：条件p：|x﹣1|＜2即﹣1＜x＜3，
条件q：x2﹣5x﹣6＜0即﹣1＜x＜6，
∵{x|﹣1＜x＜6}⊃{x|﹣1＜x＜3}，
∴p是q的充分不必要条件．
故选：B．
5．（5分）已知p：“a=b”是“ac=bc”充要条件；q：“a＜5”是“a＜3”的必要不充分条件，则下列判断中，错误的是（）
A．p或q为真，非q为假B．p或q为真，非p为真
C．p且q为假，非p为假D．p且q为假，p或q为真
【解答】解：p：“a=b”⇒“ac=bc”，反之不成立，例如取：a=2，b=1，c=0，虽然满足ac=bc，但是a≠b，因此：“a=b”是“ac=bc”充分不必要条件，因此p是假命题；
q．由“a＜3”⇒“a＜5”，反之不成立，因此：“a＜5”是“a＜3”的必要不充分条件，因此q是真命题．
∴p或q为真，非q为假；p或q为真，非p为真；p且q为假，p或q为真，判定正确，即A．B．D．正确；
而C．p且q为假，非p为假．是假命题．
故选：C．
6．（5分）设椭圆（m＞0，n＞0）的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵抛物线的焦点为（2，0），椭圆焦点在x轴上，排除A、C，
由排除D，
故选：B．
7．（5分）顶点在原点，且过点（﹣4，4）的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣4x B．x2=4y
C．y2=﹣4x或x2=4y D．y2=4x或x2=﹣4y
【解答】解：∵抛物线的顶点在原点，且过点（﹣4，4），
∴设抛物线的标准方程为x2=2py（p＞0）或y2=﹣2px（p＞0），
将点（﹣4，4）的坐标代入抛物线的标准方程x2=2py（p＞0）得：16=8p，
∴p=2，
∴此时抛物线的标准方程为x2=4y；
将点（﹣4，4）的坐标代入抛物线的标准方程y2=﹣2px（p＞0），同理可得p=2，∴此时抛物线的标准方程为y2=﹣4x．
综上可知，顶点在原点，且过点（﹣4，4）的抛物线的标准方程是x2=4y或y2=﹣4x．
故选：C．
8．（5分）已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定定点M与点A、B、C一定共面的是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：由共面向量定理可得：若定点M与点A、B、C一定共面，则存在实数x，y，使得，
化为=+y，
A．C．中的系数不满足和为1，而B的可以化为：=，因此OM平行与平面ABC，不满足题意，舍去．
而D中的系数：=1，可得定点M与点A、B、C一定共面．
故选：D．
9．（5分）设α∈（0，），则方程x2sinα+y2cosα=1表示的曲线为（）A．焦点在y轴上的椭圆B．焦点在y轴上的双曲线
C．焦点在x轴上的椭圆D．焦点在x轴上的双曲线
【解答】解：∵α∈（0，），
∴0＜sinα＜cosα，
∴＞，
∴方程x2sinα+y2cosα=1表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，
故选：C．
10．（5分）如图所示，在四面体P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，AB=BC=CA=PC，那么二面角B﹣AP﹣C的余弦值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：设AB=BC=CA=PC=a．
知平面PAC⊥平面ABC，取AC的中点D连接BD，PD，
知BD⊥AC，故D为B点在平面PAC的投影．而△PAD为△PAB在平面PAC的投影．
△PAD的面积为：S==，
△PAB中，PA=PB=，AB=a．
由余弦定理，解得cos∠APB==．
从而sin∠APB=．
△PAB的面积为S′==，
设二面角B﹣AP﹣C为α，
由投影定理得cosα===．
故选：B．
11．（5分）双曲线的离心率e∈（1，2），则k的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣3，0）C．（﹣12，0）D．（﹣60，﹣12）
【解答】解：∵双曲线的离心率e∈（1，2），
∴双曲线标准方程为：﹣=1∴k＜0，
∴1＜e2＜4，1＜＜4，﹣12＜k＜0，
故选：C．
12．（5分）我们把由半椭圆与半椭圆合成的
曲线称作“果圆”（其中a2=b2+c2，a＞b＞c＞0）．如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1、A2和B1、B2是“果圆”与x，y轴的交点，若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为（）
A．B．C．5，3D．5，4
【解答】解：，，∴b=1，
∴，得，即，b=1．
故选：A．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．（5分）命题“∀x∈R，x2+2x+2＞0”的否定为∃x∈R，x2+2x+2≤0．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈R，x2+2x+2＞0”的否定为：命题“∃x∈R，x2+2x+2≤0”．
故答案为：∃x∈R，x2+2x+2≤0．
14．（5分）以（1，﹣1）为中点的抛物线y2=8x的弦所在直线方程为4x+y﹣3=0．【解答】解：由题意可得，弦所在直线斜率存在，设弦所在直线方程为y+1=k
（x﹣1），
代入抛物线的方程可得ky2﹣8y﹣8﹣8k=0，由弦中点（1，﹣1），可得y1+y2==﹣2，
求得，k=﹣4，故弦所在直线方程为4x+y﹣3=0，
故答案为：4x+y﹣3=0．
15．（5分）已知，（两两互相垂直），那么=﹣65．
【解答】解：∵，
，
∴把上面两个式子相加得到，
，
∴==﹣65，
故答案为：﹣65．
16．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC1⊥A1C．有下列条件：
①AB=AC=BC；②AB⊥AC；③AB=AC．其中能成为BC1⊥AB1的充要条件的是（填
上该条件的序号）①③．
【解答】解：若①AB=AC=BC，如图取M，N分别是B1C1，BC的中点，可得AM ⊥BC，A1N⊥B1C1，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，可得AM，A1N都垂直于侧面B1C1BC，
由此知AM，A1N都垂直于线BC1，又BC1⊥A1C．结合图形知BC1⊥CN
又由M，N是中点及直三棱柱的性质知B1M∥CN，故可得BC1⊥B1M，
再结合AM垂直于线BC1，及图形知BC1⊥面AMB1，
故有BC1⊥AB1，
故①能成为BC1⊥AB1的充要条件
同理③也可
对于条件②，其不能证得BC1⊥AB1，故不为BC1⊥AB1的充要条件
综上①③符合题意
故答案为①③
三、解答题：（共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知命题p：c2＜c，和命题q：∀x∈R，x2+4cx+1＞0且p∨q为真，p∧q为假，求实数c的取值范围．
【解答】解：由命题p为真命题，可得c2＜c，解得0＜c＜1．
由命题q为真命题，可得△=16c2﹣4＜0，解得﹣＜c＜．
∵pⅤq为真，p∧q为假，故p和q一个为真命题，另一个为假命题．
若p是真命题，且q是假命题，可得≤c＜1．
若p是假命题，且q是真命题，可得﹣＜c≤0．
综上可得，所求的实数c的取值范围为[，1）∪（﹣，0]．
18．（12分）抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为（，
），求抛物线与双曲线方程．
【解答】解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p=2c．设抛物线方程为y2=4c•x，
∵抛物线过点（，），∴6=4c•．
∴c=1，故抛物线方程为y2=4x．
又双曲线﹣=1过点（，），
∴﹣=1．又a2+b2=c2=1，∴﹣=1．
∴a2=或a2=9（舍）．
∴b2=，
故双曲线方程为：4x2﹣=1．
19．（12分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．求证：（1）C1O∥面AB1D1；
（2）A1C⊥面AB1D1．
【解答】证明：（1）连接A1C1，设A1C1∩B1D1=O1，连接AO1，
∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，
∴A1ACC1是平行四边形，
∴A1C1∥AC且A1C1=AC，
又O1，O分别是A1C1，AC的中点，
∴O1C1∥AO且O1C1=AO，
∴AOC1O1是平行四边形，
∴C1O∥AO1，AO1⊂面AB1D1，C1O⊄面AB1D1，
∴C1O∥面AB1D1；
（2）∵CC1⊥面A1B1C1D1∴CC1⊥B1D!，
又∵A1C1⊥B1D1，∴B1D1⊥面A1C1C，即A1C⊥B1D1，
∵A1B⊥AB1，BC⊥AB1，又A1B∩BC=B，
AB1⊥平面A1BC，又A1C⊂平面A1BC，
∴A1C⊥AB1，又D1B1∩AB1=B1，
∴A1C⊥面AB1D1
20．（12分）如图所示，已知圆O1与圆O2外切，它们的半径分别为3、1，圆C 与圆O1、圆O2外切．
（1）建立适当的坐标系，求圆C的圆心的轨迹方程；
（2）在（1）的坐标系中，若圆C的半径为1，求圆C的方程．
【解答】解：（1）如图，以O1O2所在的直线为x轴，以O1O2的中垂线
所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．设圆C的圆心
为C（x，y），半径为r，由|CO1|﹣|CO2|=（r+3）﹣（r+1）=2，
得圆C的圆心的轨迹是以O1（﹣2，0），O2（2，0）为焦点，
定长为2的双曲线，设它的方程为．由2a=2，得a=1，
又c=2，∴b2=c2﹣a2=3．又点（1，0）不合题意，且|CO1|﹣|CO2|=2＞0，知x ＞1．
∴圆C的圆心的轨迹方程是（x＞1）．
（2）令C（x，y），由圆C与圆O1、O2相切得|CO1|=4，|CO2|=2，
故，解得，
∴圆C的方程为．
21．（12分）如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点．
（Ⅰ）证明：直线MN∥平面OCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离．
【解答】解：方法一（综合法）
（1）取OB中点E，连接ME，NE
∵ME∥AB，AB∥CD，∴ME∥CD
又∵NE∥OC，∴平面MNE∥平面OCD∴MN∥平面OCD
（2）∵CD∥AB，∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）
作AP⊥CD于P，连接MP
∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP
∵，∴，，
∴
所以AB与MD所成角的大小为．
（3）∵AB∥平面OCD，
∴点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP，过点A作AQ⊥OP于点Q，∵AP⊥CD，OA⊥CD，
∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD．
又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，∵，，
∴，所以点B到平面OCD的距离为．
方法二（向量法）
作AP⊥CD于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系：
A（0，0，0），B（1，0，0），，，
O（0，0，2），M（0，0，1），
（1），，
设平面OCD的法向量为n=（x，y，z），则•=0，•=0
即
取，解得
∵•=（，，﹣1）•（0，4，）=0，
∴MN∥平面OCD．
（2）设AB与MD所成的角为θ，
∵
∴，
∴，AB与MD所成角的大小为．
（3）设点B到平面OCD的距离为d，则d为在向量=（0，4，）上的投影的绝对值，
由，得d==
所以点B到平面OCD的距离为．
22．（12分）如图，已知F1、F2分别为椭圆的上、下焦点，其中F1也是抛物线的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）已知点P（1，3）和圆O：x2+y2=b2，过点P的动直线l与圆O相交于不同
的两点A，B，在线段AB上取一点Q，满足：，（λ≠0且λ≠±1），
求证：点Q总在某条定直线上．
【解答】解：（1）解法一：令M为（x0，y0），因为M在抛物线C2上，故，①
又，则②
由①②解得，
椭圆C1的两个焦点为F1（0，1），F2（0，﹣1），点M在椭圆上，由椭圆定义，得2a=|MF1|+|MF2|=
∴a=2，又c=1，∴b2=a2﹣c2=3
∴椭圆C1的方程为．
解法二：同上求得M，而点M在椭圆上，故有，即
，
又c=1，即b2=a2﹣1，解得a2=4，b2=3∴椭圆C1的方程为．
（2）证明：方法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y）
由，可得（1﹣x1，3﹣y1）=﹣λ（x2﹣1，y2﹣3），
即
由，可得（x﹣x1，y﹣y1）=λ（x2﹣x，y2﹣y），
⑤×⑦得，⑥×⑧得
两式相加，得
又点A，B在圆x2+y2=3上，∴，且λ≠±1
即x+3y=3，故点Q总在直线x+3y=3上
方法二：
由，可得（1﹣x1，3﹣y1）=﹣λ（x2﹣1，y2﹣3），∴，
由，可得（x﹣x1，y﹣y1）=λ（x2﹣x，y2﹣y），∴，
∴，∴（*）
当斜率不存在时，由特殊情况得到，
当斜率存在时，设直线为y=k（x﹣1）+3，
∴，
代入（*）得，而y=k（x﹣1）+3，消去k，得x+3y=3
而满足方程，∴Q在直线x+3y=3上．。