ch7 傅里叶变换
傅里叶变换原理
傅里叶变换原理傅里叶变换是一种将时域信号转化为频域信号的数学工具，它可以将复杂的信号分解为一系列简单的正弦和余弦函数的叠加。
傅里叶变换的原理基于基本的频谱分析原理，它以法国数学家约瑟夫·傅里叶的名字命名，傅里叶在19世纪初提出了这一数学工具。
\[ X(f)=\int_{-\infty}^\infty x(t) \cdot e^{-i2\pi ft} \, dt \]其中，\(x(t)\)是原始信号的时域表示，\(X(f)\)是傅里叶变换后的频域表示，\(f\)是频率，\(i\)是虚数单位。
傅里叶变换的核心思想是信号可以分解为不同频率的正弦和余弦函数的叠加。
傅里叶变换可以将时域信号表示为频域上的幅度和相位信息。
幅度表示信号在不同频率的成分的强度，相位表示信号在不同频率成分上的相对位置。
通过傅里叶变换，我们可以得到一个信号的频谱图，从而更好地理解信号的频率特性和谐波内容。
第一个角度是将信号表示为不同频率的正弦和余弦函数的线性组合。
根据欧拉公式，任意一个信号都可以表示为正弦和余弦函数的和。
傅里叶变换就是将信号通过积分的方式拆解成一系列不同频率的正弦和余弦函数。
第二个角度是将信号视为频域上的一系列频率成分。
傅里叶变换通过对信号的积分运算，可以将信号在时域的变化转化为频域上的幅度和相位信息。
通过傅里叶变换，我们可以更加清晰地看到信号在不同频率上的成分分布情况。
傅里叶变换的原理可以帮助我们理解信号的频谱特性和谐波内容。
例如，傅里叶变换可以将复杂的音频信号分解为基频和谐波的组合，从而帮助我们理解声音的音调和音色。
傅里叶变换也可以用于信号处理和通信领域，例如滤波器的设计和频谱分析等。
在实际应用中，傅里叶变换通常通过快速傅里叶变换（FFT）算法来实现。
FFT算法是一种高效的计算傅里叶变换的方法，它可以极大地提高计算速度和效率。
总结起来，傅里叶变换是一种将时域信号转化为频域信号的数学工具，它可以将复杂的信号分解为一系列简单的正弦和余弦函数的叠加。
傅里叶变换原理
傅里叶变换原理
傅里叶变换是一种数学工具，用于将一个函数（通常是时域上的函数）转换为另一个函数（通常是频域上的函数）。
傅里叶变换的原理包括两个核心思想：信号可以表示为不同频率的正弦波的叠加，以及通过计算信号与不同频率正弦波之间的相关性来获得频谱信息。
一维连续时域信号在傅立叶域的变换公式可以表示为：
F(w) = ∫[从-∞到+∞] f(t) * e^(-j*w*t) dt
其中，F(w)表示频域信号，f(t)表示时域信号，e^(-j*w*t)表示
复指数函数，w表示角频率。
傅里叶变换的逆变换公式可以表示为：
f(t) = 1/2π ∫[从-∞到+∞] F(w) * e^(j*w*t) dw
其中，f(t)表示时域信号，F(w)表示频域信号，e^(j*w*t)表示
复指数函数，w表示角频率。
傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信系统等领域广泛应用。
通过将信号从时域转换到频域，可以分析信号的频率成分、滤波、降噪等。
同时，傅里叶变换也可以通过逆变换将频域信号转换回时域，实现信号的还原和复原。
除了一维傅里叶变换，还存在二维和多维傅里叶变换，用于处理二维图像和多维信号。
二维傅里叶变换可以将二维图像转换到频域进行图像增强、滤波等处理，多维傅里叶变换可以对多
维信号进行频域分析。
总之，傅里叶变换是一种重要的数学工具，能够将时域信号转换到频域，通过分析频域信号可以获得信号的频率成分和特征，广泛应用于信号处理和图像处理领域。
傅里叶变换公式范文
傅里叶变换公式范文傅里叶变换是一种重要的数学工具，可以将时域上的函数转换为频域上的函数。
它是以法国数学家傅立叶的名字命名的，经常被应用于信号处理、图像处理、通信系统等领域。
傅里叶变换的公式是傅里叶变换的基础，下面将详细介绍傅里叶变换公式。
首先，我们来看连续傅里叶变换（CTFT）的公式。
对于一个连续时间域上的函数x(t)，其连续傅里叶变换为：X(f) = ∫[−∞,∞] x(t)e^(-j2πft) dt其中，X(f)表示频域上的函数，t表示时间，f表示频率，j表示虚数单位。
连续傅里叶变换的核心思想是将一个时域上的函数分解成多个不同频率的正弦和余弦波的叠加。
类似地，对于离散时间域上的函数x[n]，其离散傅里叶变换为：X(k) = Σ[from n=0 to N-1] x(n)e^(-j2πkn/N)其中，X(k)表示频域上的函数，n表示离散时间，k表示频率，N表示采样点数。
离散傅里叶变换通过将一个离散时间域上的函数分解成多个不同频率的离散正弦和余弦波的叠加，实现了信号在频域上的表示。
傅里叶逆变换公式是傅里叶变换的反向过程，可以将频域上的函数还原为时域上的函数。
连续傅里叶逆变换的公式为：x(t) = ∫[−∞,∞] X(f)e^(j2πft) df离散傅里叶逆变换的公式为：x(n) = 1/N Σ[from k=0 to N-1] X(k)e^(j2πkn/N)傅里叶逆变换的核心思想是将频域上的函数通过反向变换，还原到时域上的函数。
傅里叶变换的公式展示了时域和频域之间的转换关系。
通过傅里叶变换，我们可以将时域上的函数转换为频域上的函数，使得信号的频率特性更加明确。
同时，傅里叶逆变换也可以将频域上的函数还原为时域上的函数，实现信号的恢复和分析。
通过傅里叶变换公式，我们可以对信号进行频谱分析、滤波、降噪等操作，广泛应用于数字信号处理、通信系统等领域。
它不仅提供了一种数学工具，还为我们理解信号的频率特性和时域特性提供了一种数学框架。
傅里叶变换的说明
傅里叶变换的说明傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，它在信号处理、图像处理、物理学等领域中都有广泛的应用。
它的原理是将一个信号分解成一系列基础频率的正弦波，从而可以更好地理解和处理信号。
傅里叶变换的概念可以追溯到18世纪末，由法国数学家傅里叶提出。
他发现，任何周期信号都可以表示为一系列正弦波的叠加。
这就像是将复杂的音乐分解成各个音符的组合一样，通过傅里叶变换，我们可以将信号分解成不同的频率成分。
傅里叶变换的数学表示形式是一个积分表达式，但在这里我们不使用数学公式来描述。
相反，我们用通俗易懂的语言来解释它的原理。
想象一下，你正在演奏一首美妙的钢琴曲。
你每按下一个键，琴弦就会振动，发出特定的频率。
通过傅里叶变换，我们可以将这个复杂的振动信号分解成许多不同频率的正弦波。
每个正弦波都有不同的振幅和相位，它们的叠加就形成了你演奏的音乐。
傅里叶变换的优点之一是它可以帮助我们理解信号的频率特性。
通过分析信号的频谱，我们可以确定信号中的主要频率成分。
这对于音频处理、图像处理和通信系统设计非常重要。
例如，在音频中，我们可以通过傅里叶变换找到音乐的主旋律和和声部分，从而更好地进行音频合成和音频压缩。
除了频率分析之外，傅里叶变换还可以在信号处理中进行滤波操作。
通过选择特定的频率范围，我们可以去除杂乱的信号成分，从而改善信号的质量。
这在图像处理中尤为重要，可以帮助我们去除图像中的噪声和干扰，提高图像的清晰度和对比度。
虽然傅里叶变换在数学上可能有些复杂，但它的应用却非常广泛。
从音频处理到图像处理，从物理学到通信系统，傅里叶变换都扮演着重要的角色。
它帮助我们理解和处理各种信号，使得我们能够更好地了解和利用自然界中的各种波动现象。
傅里叶变换是一种强大而有用的数学工具，它在各个领域中都有广泛的应用。
通过将复杂的信号分解成简单的正弦波，我们可以更好地理解和处理各种信号。
傅里叶变换的原理虽然有些抽象，但它的应用却非常实际。
无论是在科学研究中还是在工程实践中，傅里叶变换都为我们提供了强大的工具，帮助我们更好地理解和利用信号。
傅里叶变换的原理及应用
傅里叶变换的原理及应用傅立叶变换是数学分析中一种重要的方法，它将一个函数或信号分解成一系列的正弦和余弦函数的加权和。
傅立叶变换的原理是基于傅立叶级数的展开和函数的内积的概念。
傅立叶变换的原理可以通过以下公式表示：F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dt其中，F(ω)表示频域上的函数，f(t)表示时域上的函数，e^(-jωt)是复指数函数，ω是角频率。
这个公式将一个函数f(t)变换到它的频域表示F(ω)。
可以看到，傅立叶变换是一个连续函数转换到另一个连续函数的过程。
傅立叶变换的应用非常广泛，下面列举一些常见的应用：1. 信号处理：傅立叶变换可以将时域上的信号转换到频域上，通过分析信号在不同频率的成分，可以进行滤波、降噪、频率分析等操作，用于音频、图像、视频等信号处理领域。
2. 通信系统：傅立叶变换在通信系统中起到了重要作用。
通过将信号转换到频域上，可以方便地进行调制、解调、频率选择、频率多路复用等操作，提高通信质量和系统性能。
3. 图像处理：傅立叶变换可以应用于图像处理领域，通过对图像进行傅立叶变换，可以将图像的频域特征提取出来，用于图像增强、边缘检测、图像压缩等处理。
4. 数字信号处理：傅立叶变换在数字信号处理中也得到广泛应用。
通过将数字信号转换到频域上，可以进行数字滤波、谱分析、频谱估计等处理，用于音频处理、雷达信号处理等领域。
5. 量子力学：傅立叶变换在量子力学中也有重要的应用。
量子力学中的波函数可以通过傅立叶变换来表示，可以揭示波函数的能量分布、位置分布等信息。
6. 广义函数：傅立叶变换还可以用于处理广义函数，例如狄拉克δ函数。
通过傅立叶变换，可以将广义函数转换成正常的函数来进行处理。
总之，傅立叶变换是一种非常重要的数学工具，它可以将信号从时域转换到频域上，揭示出信号的频谱特征。
它在信号处理、通信系统、图像处理、量子力学等领域都有广泛应用。
它的原理基于正弦和余弦函数的复合，通过将函数分解成不同频率的成分来进行分析和处理。
常用傅里叶变换表
常用傅里叶变换表在数学和工程领域中，傅里叶变换是一种极其重要的工具，它能够将复杂的时域信号转换为频域表示，从而帮助我们更好地理解和分析各种信号的特性。
而常用傅里叶变换表则为我们提供了一系列常见函数的傅里叶变换结果，方便我们在实际应用中快速查找和使用。
首先，让我们来了解一下什么是傅里叶变换。
简单来说，傅里叶变换是一种数学变换，它将一个函数从时域（以时间为变量）转换到频域（以频率为变量）。
通过这种转换，我们可以将一个信号分解为不同频率的正弦和余弦波的组合，从而揭示出信号中所包含的频率成分。
在常用傅里叶变换表中，有一些基本的函数及其对应的傅里叶变换值得我们熟悉。
单位冲激函数（也称为狄拉克δ函数）是一个非常特殊的函数。
它在某一时刻有一个无限大的值，而在其他时刻的值都为零。
其傅里叶变换是常数 1。
这意味着单位冲激函数包含了所有频率的成分，且各个频率成分的幅度相同。
单位阶跃函数，它在 t ＜ 0 时取值为 0，在t ≥ 0 时取值为 1。
其傅里叶变换是 1 ／（jω) ＋πδ(ω) ，其中 j 是虚数单位，ω 是角频率，δ(ω) 是狄拉克δ函数。
正弦函数sin(ω₀t) 的傅里叶变换是jπδ(ω ω₀) δ(ω ＋ω₀) 。
这表明正弦函数只包含两个频率成分，即±ω₀。
余弦函数cos(ω₀t) 的傅里叶变换是πδ(ω ω₀) ＋δ(ω ＋ω₀) 。
指数函数 e^（jω₀t) 的傅里叶变换是2πδ(ω ω₀) 。
矩形脉冲函数，即在某个时间段内取值为 1，其他时间段为 0 的函数，其傅里叶变换是一个 sinc 函数。
这些常见函数的傅里叶变换在信号处理、通信、控制工程等领域有着广泛的应用。
例如，在通信系统中，我们需要对信号进行调制和解调。
调制过程可以看作是将原始信号与一个高频载波信号相乘，而解调过程则需要通过傅里叶变换将调制后的信号转换到频域，然后提取出原始信号的信息。
在图像处理中，傅里叶变换可以用于图像的滤波、增强和压缩等操作。
傅里叶变换和拉普拉斯变换公式总结
傅里叶变换和拉普拉斯变换公式总结
傅里叶变换和拉普拉斯变换是信号处理和控制系统中常用的数学工具，它们可以将时域信号转换为频域信号，从而方便分析和处理。
傅里叶变换：
时域信号：f(t)
傅里叶变换：F(ω) = ∫[from -∞ to +∞] f(t) e^(-jωt) dt 逆变换：f(t) = 1/2π ∫[from -∞ to +∞] F(ω) e^(jωt)
dω
傅里叶变换可以将时域信号分解为不同频率的正弦和余弦函数的叠加，从而方便分析信号的频谱特性。
拉普拉斯变换：
时域信号：f(t)
拉普拉斯变换：F(s) = ∫[from 0 to +∞] f(t) e^(-st) dt
逆变换：f(t) = 1/2πj ∫[from α-j∞ to α+j∞] F(s)
e^(st) ds
拉普拉斯变换是傅里叶变换在复平面上的推广，可以处理包括指数衰减和增长的信号，并且在控制系统和信号处理中有着更广泛的应用。
在工程中，傅里叶变换和拉普拉斯变换常用于分析信号的频谱特性、系统的稳定性和动态响应等问题。
同时，它们也是许多数字信号处理和控制系统设计的基础。
因此，掌握傅里叶变换和拉普拉斯变换的原理和公式，对于工程领域的专业人士来说是非常重要的。
傅里叶变换 讲解
傅里叶变换讲解傅里叶变换是基于信号的频域分析方法，被广泛应用于信号处理、图像处理、通信等领域。
它是法国数学家傅里叶在19世纪提出的一种数学变换方法。
在介绍傅里叶变换之前，我们先来了解一下频域和时域的概念。
在时域中，信号是按照时间变化的，我们可以观察信号的振幅、相位等特性。
而在频域中，信号是按照频率变化的，我们可以观察信号的频率成分、频谱分布等特性。
傅里叶变换的核心思想是将一个时域信号分解成若干个不同频率的正弦和余弦波形成的谐波的叠加。
通过傅里叶变换，我们可以将信号从时域转换到频域，得到信号的频谱图或频域表示。
傅里叶变换的数学表达式为：F(ω) = ∫[f(t) * e^(-jωt)] dt其中，F(ω)表示信号在频率ω处的频谱；f(t)表示时域信号；e^(-jωt)为复指数函数；∫表示积分运算。
傅里叶变换不仅可以将信号从时域转换到频域，还可以通过反变换将信号从频域转换回时域。
这使得我们可以对信号进行频谱分析、滤波、卷积等处理操作，进一步理解和提取信号的特征。
在实际应用中，傅里叶变换有多种形式，常见的有连续傅里叶变换（CTFT）、离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）等。
其中，FFT是一种高效的离散傅里叶变换算法，广泛应用于数字信号处理领域。
通过FFT算法，我们可以快速计算信号的频谱，加速信号处理的速度。
傅里叶变换在信号处理领域有着广泛的应用。
例如，在音频处理中，我们可以通过傅里叶变换将音频信号转换到频域，从而实现音频的谱分析、音频合成等功能。
在图像处理中，我们可以通过傅里叶变换进行图像滤波、图像压缩等操作。
在通信领域，傅里叶变换可以帮助我们理解信号的频率特性，优化信号的传输和接收过程。
总之，傅里叶变换是一种非常重要的信号处理方法，通过将信号从时域转换到频域，可以帮助我们对信号进行更深入的分析和处理。
掌握傅里叶变换的原理和应用，对于从事信号处理相关工作的人员具有重要的指导意义。
傅里叶变换 原理
傅里叶变换原理傅里叶变换是一种重要的数学工具，它在信号处理、图像处理、通信等领域有着广泛的应用。
傅里叶变换的原理是通过将一个信号分解成多个不同频率的正弦波的叠加来描述信号。
傅里叶变换的基本思想是将一个信号分解成一系列不同频率的正弦波的叠加。
这些正弦波被称为频谱成分，每个频谱成分都有自己的频率、振幅和相位。
通过傅里叶变换，我们可以将信号从时域转换到频域，从而更好地理解和处理信号。
在傅里叶变换中，信号可以是连续的（连续时间信号）或离散的（离散时间信号）。
对于连续时间信号，傅里叶变换可以表示为积分形式；对于离散时间信号，傅里叶变换可以表示为求和形式。
不同形式的傅里叶变换在数学上有不同的定义，但它们都遵循同样的基本原理。
傅里叶变换的原理可以通过以下步骤来理解和应用：1. 将信号表示为正弦波的叠加。
根据傅里叶变换的原理，任何一个周期信号都可以表示为不同频率和振幅的正弦波的叠加。
这是因为正弦波是唯一具有确定频率和振幅的周期函数。
2. 分解信号的频谱成分。
通过傅里叶变换，我们可以将信号分解成一系列不同频率的正弦波的叠加。
这些频谱成分描述了信号在频域上的特性，可以帮助我们理解信号的频率分布和能量分布。
3. 变换信号的表示形式。
傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域。
在频域中，信号的表示形式更加直观和方便，可以帮助我们更好地分析和处理信号。
例如，在频域中可以很容易地找到信号的主要频率成分，并进行滤波或增强处理。
4. 逆变换还原信号。
傅里叶变换不仅可以将信号从时域转换到频域，还可以将信号从频域转换回时域。
这个过程称为傅里叶逆变换，可以通过逆变换将信号从频域表示还原为时域表示。
傅里叶变换在很多领域都有着广泛的应用。
在信号处理中，傅里叶变换可以用于滤波、频谱分析和信号重构等方面。
在图像处理中，傅里叶变换可以用于图像压缩、图像增强和图像分析等方面。
在通信中，傅里叶变换可以用于信号调制、信道估计和信号解调等方面。
傅里叶变换是一种重要的数学工具，通过将信号分解成多个不同频率的正弦波的叠加来描述信号。
傅里叶变换方法
傅里叶变换方法一、傅里叶变换方法简介傅里叶变换是一种分析信号的数学工具，可以将一个时间域函数转换成一个频率域函数。
它是由法国数学家约瑟夫·傅里叶在19世纪初提出的，并且在现代通信、图像处理、声音处理等领域有广泛应用。
二、离散傅里叶变换（DFT）方法1. 离散傅里叶变换的定义离散傅里叶变换（DFT）是一种将有限长度序列转换为具有相同长度的离散频率序列的算法。
它可以用于数字信号处理中，例如数字滤波器设计、频谱分析等。
2. DFT算法步骤DFT算法步骤如下：a. 将输入序列拆分成偶数和奇数部分。
b. 对偶数和奇数部分进行递归计算DFT。
c. 将两个部分合并为一个序列，并进行后续计算。
d. 重复上述步骤，直到得到最终结果。
3. DFT算法实现DFT算法可以使用FFT（快速傅里叶变换）来实现。
FFT是一种高效的计算DFT的方法，可以大大提高计算速度。
FFT算法的实现可以使用C语言、Python等编程语言。
三、傅里叶变换在信号处理中的应用1. 信号滤波傅里叶变换可以将时域信号转换为频域信号，从而可以进行滤波操作。
例如，对于一段音频信号，我们可以使用傅里叶变换将其转换为频谱图，并通过滤波器来过滤掉不需要的频率成分。
2. 图像处理在图像处理中，傅里叶变换可以用于图像增强、去噪等操作。
例如，在图像增强中，我们可以对原始图像进行傅里叶变换，然后通过调整频率域的值来增强图像的对比度和清晰度。
3. 声音处理在声音处理中，傅里叶变换可以用于声音压缩、降噪等操作。
例如，在声音压缩中，我们可以对原始声音进行傅里叶变换，并通过删除一些低幅度的频率成分来减小文件大小。
四、总结以上是关于傅里叶变换方法的简介以及在信号处理中的应用。
DFT是一种常见的计算离散频谱的方法，并且可以使用FFT算法来提高计算速度。
在实际应用中，傅里叶变换可以用于信号滤波、图像处理、声音处理等领域，具有广泛的应用前景。
傅里叶变换结果解释
傅里叶变换结果解释傅里叶变换（Fourier Transform）是一种数学方法，用于将时域信号转换为频域信号。
它是数学家约瑟夫·傅里叶（Jean-Baptiste Joseph Fourier）在19世纪提出的，是信号处理领域中非常重要的基本工具。
傅里叶变换不仅可以将信号分解成一系列正弦和余弦函数的叠加，还可以在频域中对信号进行分析和处理。
傅里叶变换的数学表示为：F(ω) = ∫f(t)·e^(-iωt) dt其中，F(ω)表示频域中的复数表示，f(t)表示时域中的函数，ω是角频率，e是自然对数的底数。
傅里叶变换将f(t)从时域映射到频域，得到的结果可以反映信号在不同频率上的能量分布情况。
傅里叶变换的结果可以通过频谱图来表示，频谱图是将频率和幅度绘制在坐标轴上的图形。
频谱图可以提供关于信号频率成分的重要信息。
傅里叶变换的结果解释如下：1. 频率分量分析：傅里叶变换将信号分解为一系列不同频率的正弦和余弦波。
通过分析变换结果中的频率分量，可以了解信号中不同频率成分的贡献程度。
频率分量越高，代表信号中包含的高频信号越多。
2. 能量分布：傅里叶变换的结果反映了信号在不同频率上的能量分布情况。
在频谱图上，幅度越大代表该频率上的能量越强。
可以通过观察傅里叶变换结果的幅度谱，在频域中找到信号的主要频率成分。
3. 频域滤波：傅里叶变换可以用于频域滤波，即通过在频谱图上调整幅度谱，实现对信号中特定频率的滤波操作。
通过抑制或增强特定频率成分，可以对信号进行去噪、降噪、增强等操作。
4. 逆变换：傅里叶变换之后，可以进行逆变换将信号从频域回变为时域。
逆变换结果与原始信号相同，但可能存在微小的误差。
逆变换使得我们可以在频域对信号进行处理后，再将其还原到时域进行进一步的分析或应用。
总结起来，傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学方法，其结果可以通过频谱图来表示。
通过观察傅里叶变换的频率分量、能量分布以及进行频域滤波和逆变换等操作，我们可以深入理解信号的特性和结构，为信号处理、图像处理、通信等领域提供基础工具和方法。
傅里叶变换理解
傅里叶变换理解傅里叶变换是一种数学工具，它可以将一个信号分解成不同频率的正弦波。
这个工具在信号处理、图像处理、音频处理等领域中得到了广泛的应用。
在这篇文章中，我们将以傅里叶变换为标题，来探讨它的原理和应用。
傅里叶变换的原理是基于正弦波的周期性和可叠加性。
任何一个周期性信号都可以表示为一系列正弦波的叠加。
这些正弦波的频率、振幅和相位不同，它们的叠加形成了原始信号。
傅里叶变换就是将这个过程反过来，将一个信号分解成不同频率的正弦波。
傅里叶变换的公式是：F(ω) = ∫f(t)e^(-iωt)dt其中，F(ω)表示频率为ω的正弦波的振幅和相位，f(t)表示原始信号，e^(-iωt)表示频率为ω的正弦波。
这个公式可以理解为将原始信号f(t)与不同频率的正弦波e^(-iωt)做内积，得到频率为ω的正弦波的振幅和相位。
傅里叶变换的应用非常广泛。
在信号处理中，傅里叶变换可以用来分析信号的频谱，找出信号中的频率成分。
在图像处理中，傅里叶变换可以用来分析图像的频谱，找出图像中的纹理和边缘。
在音频处理中，傅里叶变换可以用来分析音频的频谱，找出音频中的音调和音色。
除了傅里叶变换，还有一种变换叫做离散傅里叶变换（DFT）。
DFT 是将傅里叶变换应用到离散信号上的一种方法。
DFT的公式是：X(k) = ∑n=0^(N-1)x(n)e^(-i2πnk/N)其中，X(k)表示频率为k的正弦波的振幅和相位，x(n)表示离散信号，N表示信号的长度。
DFT可以用来分析数字信号的频谱，找出数字信号中的频率成分。
傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，它可以将一个信号分解成不同频率的正弦波。
这个工具在信号处理、图像处理、音频处理等领域中得到了广泛的应用。
我们可以通过傅里叶变换来分析信号的频谱，找出信号中的频率成分，从而更好地理解和处理信号。
傅里叶变换的11个性质公式
傅里叶变换的11个性质公式傅里叶变换的11个性质公式是傅立叶变换的基本性质，由他们可以推出其它性质。
其中包括线性性质、有穷性质、周期性质、旋转性质、折叠性质、应变性质、平移性质、对称性质、频域算子性质、滤波性质、压缩性质等共11条。
1、线性性质：如果x(t)和y(t)是两个信号，则有：X(ω)=F[x(t)]，Y(ω)=F[y(t)]，则有：X(ω)+Y(ω)=F[x(t)+y(t)]；αX(ω)=F[αx(t)]；X(ω)*Y(ω)=F[x(t)*y(t)]。
2、有穷性质：如果x(t)是有穷的，则X(ω)也是有穷的。
3、周期性质：如果x(t)在周期T内无穷重复，则X(ω)也在周期2π/T内无穷重复。
4、旋转性质：X(ω-ω0) = F[x(t)e^(-jω0t)]，即信号x(t)经过相位旋转成x(t)e^(-jω0t)，其傅里叶变换也会经过相位旋转成X(ω-ω0)。
5、折叠性质：X(ω+nω0)=F[x(t)e^(-jnω0t)]，即信号x(t)经过频率折叠后变为x(t)e^(-jnω0t)，其傅里叶变换也会经过频率折叠成X(ω+nω0)。
6、应变性质：X(aω)=F[x(at)]，即信号x(t)经过时间应变成x(at)，其傅里叶变换也会经过频率应变成X(aω)。
7、平移性质：X(ω-ω0) = F[x(t-t0)]，即信号x(t)经过时间平移成x(t-t0)，其傅里叶变换也会经过频率平移成X(ω-ω0)。
8、对称性质：X(-ω) = X*(-ω)，即傅里叶变换的实部和虚部对称。
9、频域算子性质：X(ω)Y(ω)=F[h(t)*x(t)]，即傅里叶变换不仅可以表示信号，还可以表示系统的频域表示，即h(t)*x(t)，其傅里叶变换为X(ω)Y(ω)。
10、滤波性质：H(ω)X(ω)=F[h(t)*x(t)]，即傅里叶变换可以用来表示滤波器的频域表示，即h(t)*x(t)，其傅里叶变换为H(ω)X(ω)。
傅里叶变换的原理以及应用
傅里叶变换的原理以及应用1. 傅里叶变换的原理傅里叶变换是一种数学变换，将一个函数表示为不同频率的正弦和余弦波的线性组合。
它可以将一个时域的函数转换为频域的函数，揭示了信号在频域上的组成成分。
傅里叶变换的数学表达式为：F(w) = ∫[f(t) * e^(-jwt)] dt其中，F(w)表示函数在频域上的表示，f(t)表示函数在时域上的表示，e^(-jwt)是复指数函数。
傅里叶变换的原理可以简单总结为以下几点： - 任何连续周期函数都可以由一组正弦和余弦函数构成。
- 傅里叶变换将函数从时域转换到频域，将函数分解为不同频率的成分。
- 傅里叶变换可以用于信号处理、图像处理、音频处理等领域。
2. 傅里叶变换的应用傅里叶变换在各个领域都有广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用案例。
2.1 信号处理傅里叶变换在信号处理领域有着重要的作用，可以将时域信号转换为频域信号，从而提取出信号的频率特征。
通过傅里叶变换，我们可以分析信号的频谱特征，如频率分布、幅度和相位信息等。
这对于音频信号处理、图像处理等都有重要的应用。
例如，在音频处理中，我们可以利用傅里叶变换将音频信号转换为频域信号，进而实现音频的滤波、降噪、音频识别等功能。
2.2 图像处理傅里叶变换在图像处理领域也有广泛的应用。
通过将图像进行傅里叶变换，我们可以将图像转换到频域，在频域上进行操作，如去除图像中的噪声、增强图像的细节等。
傅里叶变换在图像压缩、图像识别、图像恢复等方面也有重要的应用。
2.3 通信系统傅里叶变换在通信系统中也起到了重要的作用。
在通信系统中，我们需要传输不同频率的信号，而傅里叶变换可以将信号分解为不同频率的成分，从而实现信号的调制和解调。
在调制过程中，我们可以通过选择不同的频率成分来实现不同的调制方式，如调幅、调频、调相等。
在解调过程中，我们可以通过傅里叶变换将信号从频域转换到时域，恢复出原始信号。
2.4 音频与视频压缩傅里叶变换在音频和视频压缩中也有着重要的应用。
傅里叶变换的原理及应用
傅里叶变换的原理及应用1. 引言傅里叶变换是一种重要的数学工具，它可以将一个复杂的函数分解成多个简单的正弦和余弦函数的和。
本文将介绍傅里叶变换的原理及其在各个领域的应用。
2. 傅里叶变换的原理傅里叶变换是以法国数学家傅里叶的名字命名的，它的基本思想是任何周期函数都可以表示为一系列正弦和余弦函数的和。
傅里叶变换可以将一个函数表示为频域的复数函数，其中频域表示了不同频率成分的相对强度。
3. 傅里叶变换的数学表达式傅里叶变换的数学表达式如下：F(k) = ∫[f(x) * e^(-2πikx)] dx其中，F(k) 是频域的复数函数，f(x) 是时域的函数，k 是频域的变量。
4. 傅里叶变换的应用傅里叶变换在信号处理、图像处理、物理学、工程学等领域有广泛的应用。
4.1 信号处理傅里叶变换在信号处理中被广泛应用，特别是在频域滤波和频谱分析方面。
它可以将一个时域信号转换为频域信号，从而更好地理解信号的频率特性。
4.2 图像处理傅里叶变换在图像处理中也起到重要的作用。
它可以将图像从空域转换到频域，从而进行图像增强、图像滤波等操作。
傅里叶变换在图像压缩、图像分析等领域也有广泛的应用。
4.3 物理学傅里叶变换在物理学中被广泛应用于波动方程的求解、频率分析、光学等领域。
例如，傅里叶光学利用傅里叶变换来解释光的衍射、干涉等现象。
4.4 工程学傅里叶变换在工程学中有许多应用，例如在电力系统的谐波分析中，可以利用傅里叶变换将电压和电流信号转换到频域进行分析和研究。
此外，傅里叶变换还被用于图像和音频的压缩算法中。
5. 傅里叶变换的计算方法傅里叶变换具有两种计算方法，一种是连续傅里叶变换（CTFT），另一种是离散傅里叶变换（DFT）。
CTFT主要用于连续信号，而DFT主要用于离散信号。
6. 结论本文介绍了傅里叶变换的原理及其在各个领域的应用。
傅里叶变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、图像处理、物理学和工程学等领域。
常见傅里叶变换对照表
常见傅里叶变换对照表一、傅里叶变换简介1.1 什么是傅里叶变换傅里叶变换是一种将函数从时域（时间域）转换到频域（频率域）的数学技术。
它可以将一个信号表示成若干不同频率的正弦波的叠加，从而揭示信号的频谱特征。
傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信等领域广泛应用。
1.2 傅里叶级数与傅里叶变换的区别傅里叶级数只适用于周期信号，它将周期信号分解为一系列正弦和余弦函数的叠加。
而傅里叶变换则适用于非周期信号，它将非周期信号分解为连续的频谱成分。
1.3 傅里叶变换的基本公式傅里叶变换的基本公式如下：∞(t)⋅e−jωt dtF(ω)=∫f−∞其中，F(ω)表示信号f(t)在频率ω处的复幅，j为虚数单位。
二、时域与频域的对应关系2.1 时域和频域的意义时域表示信号随时间变化的情况，主要包括信号的幅度、相位等信息；频域则表示信号在不同频率上的成分及其对应的幅度、相位等信息。
2.2 原始信号与频域成分的对应关系原始信号在频域中可表示为若干个频率分量的叠加，傅里叶变换将原始信号转换为频域成分，每个频域成分对应一个复数值，表示该频率上的幅度和相位。
2.3 时域与频域之间的转换时域信号可以通过傅里叶变换转换为频域信号，频域信号可以通过傅里叶逆变换还原回时域信号，二者之间存在一一对应的关系。
三、常见傅里叶变换对照表3.1 常见信号及其频域表示下表列举了一些常见信号的时域表示和频域表示。
信号名称时域表示频域表示单频正弦信号Asin(ω0t+ϕ)Aδ(ω−ω0)+Aδ(ω+ω0)周期方波信号B0,B1,...,B n B0δ(ω)+B1δ(ω−ω0)+...+B nδ(ω−nω0)高斯脉冲信号f(t)=1√2πσ−t22σ2F(w)=e−σ2w22矩形脉冲信号f(t)={1,当−T2<t<T20,其他情况F(w)=T⋅sinc(T2w)3.2 常见运算及其在频域中的对应关系下表列举了一些常见运算及其在频域中的对应关系。
傅里叶变换原理
傅里叶变换原理
1傅里叶变换
傅里叶变换（又称法国数学家Joséph Fourier1807）是一种重要的数学方法，用于将连续信号从时域变换到频域分析，其目的是测量连续信号中各个频率分量的幅值和相位，即把一个复杂的变化随时间的信号变换为简单的相位和频率组合体，在信号的处理、控制、通信、制造等领域中有着广泛的应用。
2主要原理
傅里叶变换的基本原理是，一个任意的连续函数可以由其周期函数的无限级数来表示，要表示的信号的时域x(t)在频域X(ω)是单位幅值正弦和余弦函数的加权叠加：
X(ω)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}{a_n*cos(n\omega t)}+
\sum_{n=1}^{\infty}{b_n*sin(n\omega t)}
其中a_0是dc分量，a_n和b_n是正弦和余弦函数的有效应力，ω是角速度，t表示时间。
3应用
傅里叶变换使任意连续函数可以转换成周期函数的级数，有利于分析固定频率组成信号的有效应力/幅值，因此有着广泛的应用。
例如，用于发电机的转速调节，用于进行语音的加密等；同时，也可以应用于降噪等更多的领域。
4总结
傅里叶变换是非常重要的一项数学方法，其将任意连续信号从时域变换为频域，通过计算各个数字信号成分的加权值，并计算相应加权值的平均数值，可以更好的描述信号的特征，有着广泛的应用。
傅里叶变换及其性质课件
应用
频移性质在信号调制和解调中非常有 用，例如在通信系统中的振荡器设计 和频率调制。
共轭性质
共轭性质
若 $f(t)$ 的傅里叶变换为 $F(omega)$，则 $f(-t)$ 的傅里叶 变换为 $overline{F(-omega)}$。
05
傅里叶变换的扩展
离散傅里叶变换
定义
离散傅里叶变换（DFT）是一种将离散时间信号转换为频域表示的方法。它将一个有限长 度的离散时间信号序列通过数学运算转换为复数序列，表示信号的频域特征。
性质
离散傅里叶变换具有线性、时移性、频移性、共轭对称性和周期性等性质。这些性质使得 离散傅里叶变换在信号处理、图像处理、数字通信等领域得到广泛应用。
度和相位信息。
02 03
信号处理
傅里叶变换在信号处理中有着广泛的应用，如滤波、去噪、压缩等。通 过对信号进行傅里叶变换，可以提取出信号中的特征信息，实现信号的 分类、识别和分类。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中也有着重要的应用，如图像滤波、图像增强、 图像压缩等。通过对图像进行傅里叶变换，可以提取出图像中的特征信 息，实现图像的分类、识别和分类。
傅里叶变换的分类
离散傅里叶变换（DFT）
对时间域或空间域的信号进行离散采样，然后对离散的采样值进行傅里叶变换 。DFT广泛应用于数字信号处理和图像处理等领域。
快速傅里叶变换（FFT）
一种高效计算DFT的算法，能够在 $O(Nlog N)$ 的时间内计算出 $N$ 个采样 值的 DFT，大大提高了计算效率。FFT广泛应用于信号处理、图像处理等领域 。
傅里叶变换横坐标转换公式
傅里叶变换横坐标转换公式嘿，伙计们！今天我们来聊聊傅里叶变换这个神奇的东西。
你们知道吗，傅里叶变换就像一个超级厉害的翻译家，可以把一个信号从一种形式转换成另一种形式。
而且，它的横坐标转换公式简直就是它的“身份证”，让我们可以轻松地找到信号在时间和频率上的位置。
我们来了解一下什么是傅里叶变换。
傅里叶变换是一种将信号从时域(时间)转换到频域(频率)的方法。
换句话说，它可以帮助我们找到信号中的各种不同频率的成分。
这对于很多应用来说都非常有用，比如音频处理、图像处理等等。
现在，我们来看一下傅里叶变换的横坐标转换公式。
这个公式有点复杂，但是只要我们用心去理解，就会发现它其实很简单。
我们需要知道什么是复数。
复数就是既有实部又有虚部的数，比如3+4i。
在这个公式中，我们要用到两个复数：cos(ωt)和i*sin(ωt)。
其中，ω是角频率，t是时间。
好了，现在我们把这个公式分成两部分来讲解。
第一部分是关于实部的：F_re(t)=∫[f(t)·e^(-jωt)]dt。
这个积分看起来有点难懂，但是我们可以用一个简单的方法来计算它。
我们可以把e^(-jωt)看作是一个复指数函数，它的模长是1。
然后，我们可以把这个函数乘以f(t),得到一个新的函数g(t)。
我们对g(t)进行积分，就可以得到F_re(t)。
第二部分是关于虚部的：F_im(t)=∫[f(t)·e^(jωt)]dt。
这里的积分方法和上面一样，只不过我们需要把e^(jωt)看作是一个复指数函数的共轭。
然后，我们用同样的方法计算F_im(t)。
我们把实部和虚部加在一起，就得到了傅里叶变换的结果：F(ω)=sqrt(Re(F_re(t))^2+Im(F_im(t))^2)。
这个公式告诉我们，信号在某个频率上的强度是由它的实部和虚部共同决定的。
如果实部和虚部都很大，那么信号在这个频率上的强度就会很大；反之亦然。
傅里叶变换的横坐标转换公式是一个非常重要的工具，它可以帮助我们找到信号在时间和频率上的位置。
傅里叶变换基础知识
傅里叶变换基础知识《傅里叶变换基础知识：一场充满惊喜的数学冒险》嘿，大家好啊！今天咱就来聊聊傅里叶变换基础知识，这可真是一个相当有趣又神奇的领域啊！想象一下，傅里叶变换就像是一把神奇的钥匙，能打开一个我们平时难以察觉到的神秘世界的大门。
它是数学中的一个小精灵，虽然有时候有点让人摸不着头脑，但一旦你懂它了，就会发现它带来的惊喜实在太多了！你知道吗？傅里叶变换就像是一个音乐大师，能把一段复杂的声音分解成各种不同的音符。
比如说，我们听到的美妙音乐，其实就是由各种不同频率的声波组合而成的。
而傅里叶变换呢，就能帮我们把这些复杂的声波给拆解开来，让我们清楚地看到到底都有哪些频率的声波在里面捣鼓。
是不是很厉害？刚开始接触傅里叶变换的时候，我那叫一个头大啊！看着那些公式和概念，感觉自己就像是掉进了一个数学的迷宫里，怎么转都转不出来。
但是，随着逐步深入学习，我慢慢找到了一些门道。
比如说，理解傅里叶变换就像是学骑自行车，一开始你可能会摇摇晃晃，甚至摔倒好几次，但只要你坚持，慢慢地你就能掌握平衡，然后骑着车到处跑啦！一开始那些复杂的概念和公式就像是眼前的小山坡，看着很难跨越，但当你不断努力，一点一点地爬上去，就会发现后面的路越来越平坦。
而且，一旦你掌握了傅里叶变换，你就会发现它在很多领域都大有用处。
不管是信号处理啦，图像处理啦，还是通信领域等等，都有它的身影。
就像你有了一把万能钥匙，可以打开很多不同的宝藏箱子。
我还记得我第一次用傅里叶变换解决了一个实际问题的时候，那心里别提多开心了！就像是自己突然变成了一个超级英雄，拯救了世界一样。
从那以后，我对傅里叶变换的兴趣就越来越浓厚，不断地去探索它的更多奥秘。
当然啦，学习傅里叶变换可不是一件容易的事儿，需要我们有足够的耐心和毅力。
但是，只要我们坚持下去，就一定能在这场充满惊喜的数学冒险中收获满满。
总之呢，傅里叶变换基础知识就像一个隐藏在数学世界里的宝藏，等着你去挖掘。
所以，别害怕那些复杂的概念和公式，勇敢地踏上这场冒险之旅吧！相信我，你一定会被它的神奇所吸引，收获到意想不到的惊喜和快乐！。
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(2) 求质量为 的质点的密度 1 .
解： (1)
1
f (t)
1
ρ(t ) =
ε
, 0≤ t ≤ε
ε
0, 其他
o
ε
t
-16-
工程数学---------积分变换
(2)
lim , t = 0 1
ε →0
ρ(t ) =
即
ε
1
f (t)
ε
0, t ≠ 0
∞, t = 0
ρ(t ) =
0, t ≠ 0
工程数学---------积分变换
工程数学---------积分变换
-7-
1 +∞ +∞ f (t) = f (τ )e− jωτ dτ e jωt dω 2π ∫－∞ ∫－∞
1 +∞ 1 = cosωτ dτ e jωt dω 2π ∫−∞ ∫−1
sin ω jωt = ∫ e dω π −∞ ω 1
1 +∞ jωt ∫−∞ 1⋅ e dω = δ (t) 2π
所以有
∫
+∞
−∞
1⋅ e− jωt d t = 2πδ(ω)
即1与2πδ(ω) 也构成一个傅氏变换对 .
工程数学---------积分变换
-24-
同理δ (t − t0 ) 与e− jωt0 , e jω0t 与2πδ(ω − ω0 ) 也分别构成
2
工程数学---------积分变换
-6-
例1. 利用傅氏积分定理证明
π
2
4
,| t |< 1
∫
+∞
sin ω cosωt
0
ω
π dω = ,| t |= 1
0,| t |> 1
1 | t |≤ 1 证: 设 f (t) = , 由傅氏积分定理得 0 | t |> 1
1 +∞ +∞ f (t) = f (τ )e− jωτ dτ e jωt dω 2π ∫－∞ ∫－∞
∫
+∞
−∞
+∞
f (t)e
e e
− jω t
d t= ∫
+∞
0
e−(β + jω)t d t
=∫
−βt − jωt
0
1 −( β + jω t ) +∞ e dt = − 0 β + jω
1 β − jω = = 2 β + jω β + ω2
工程数学---------积分变换
-11-
1 +∞ jω t f (t) = ∫−∞ F(ω)e dω 2π
2 − 2
dt
τ
F(ω)
−
τ o
2
τ
2
t
E − jωt 2 = e τ − jω − 2 2E ωτ = sin ω 2
工程数学---------积分变换
o
2π
τ
4π
τ
6π
τ
ω
-15-
3.单位脉冲函数及其 Fourier 变换 单位脉冲函数及其 引例1. 引例 (1) 求质量为，长度为 的均匀细棒的线密度 1 ε .
∞, t = 0
δ (t )
1
δ (t ) =
0, t ≠ 0
∫
+∞
o
−∞
δ (t) d t = 1
t
那么称函数δ(t) 为单位脉冲函数 单位脉冲函数. 那么称函数
工程数学---------积分变换
-20-
定义2： 定义 ： 如果对于一个无穷次可 微的函数 f (t ),满足
∫
其中
+∞
−∞
δ (t) f (t)d t = lim ∫ δε (t) f (t)d t
o
ε
t
-17-
某一瞬时(设为 设为t 引例2. 设在原来电流为零的电路中， 某一瞬时 设为 =0) 引例 设在原来电流为零的电路中， 进入一个单位电量的脉冲， 进入一个单位电量的脉冲， 确定电路上的电流 i(t). 表示上述电路中的电量函数, 解：以 q(t) 表示上述电路中的电量函数 则
0, q(t) = 1,
β 2 + ω2
o o
工程数学---------积分变换
ω
ω
-14-
作如图所示的单个矩形脉冲的频谱图. 例2. 作如图所示的单个矩形脉冲的频谱图 解： 单个矩形脉冲的频谱函数为: 单个矩形脉冲的频谱函数为:
F(ω) = ∫
∞ −∞
τ
fபைடு நூலகம்(t )
E
f (t)e− jωt d t
− jωt
= ∫ τ Ee
+∞
=
π∫
2
+∞
sin ω
0
ω
cosωt dω
工程数学---------积分变换
-8-
π 2 ,| t |< 1 +∞ sin ω cos ωt π dω = ,| t |= 1 ∫0 ω 4 0, | t |> 1
特别地， 特别地，当 t = 0 时，
∫
+∞
sin ω
工程数学---------积分变换
(n = 1, 2, 3,L) (n = 0,±1, ± 2 ,L)
-5-
2. Fourier 积分 若 f (t) 在 (-∞, +∞) 上满足条件 ∞ ∞ 上满足条件: (1) f (t)在任一有限区间上满足狄氏条件， f (t) 连续 在任一有限区间上满足狄氏条件， 在任一有限区间上满足狄氏条件 即 或只有有限个第一类间断点，只有有限个极值点； 或只有有限个第一类间断点，只有有限个极值点； (2) f (t)在无限区间 ∞, +∞)上绝对可积 在无限区间(-∞ ∞ 上绝对可积 上绝对可积, 在无限区间 则有
傅氏变换或象函数; F(ω) 叫做 f (t) 的傅氏变换或象函数
f (t) 叫做 F (ω) 的傅氏逆变换或象原函数 傅氏逆变换或象原函数.
工程数学---------积分变换
-10-
例1. 求函数
0 f (t) = −β t e
t <0 t ≥0
(β > 0)
积分表达式. 的 Fourier 变换和 Fourier 积分表达式 解: F(ω) =
0
ω
dω =
π
2
.
工程数学---------积分变换
-9-
§2 Fourier变换 变换
1. Fourier变换 变换
F(ω) = ∫
+∞ −∞
f (t)e− jωt d t
+∞
1 f (t) = 2π
∫
−∞
F(ω)e jω t dω
记作
F(ω) =F [ f (t)]
f (t) =F
−1
[F(ω)]
ε →0 −∞
+∞
δε (t)
1
1 / ε 0 ≤ t ≤ ε δε (t ) = 其它 0
函数, 称 δε(t) 的弱极限为 δ-函数 记为δ (t). 函数
ε
o
ε
t
工程数学---------积分变换
-21-
性质
(1) 设 f (t )为无穷次可微的函数， 为无穷次可微的函数， 则
∫ ∫
f (t ) = e−β t u(t )
称为 f (t) 的振幅频谱， 的振幅频谱 幅角ϕ(ω)称为 频谱， f(t)的相位频谱. 如例 中的单边指数 ( )的相位频谱. 如例1中的单边指数 衰减函数， 其频谱分别为： 衰减函数， 其频谱分别为：
F(ω) = 1
o
ϕ(ω) = − arctan
t
ω β
1 +∞ β − jω jωt = ∫−∞ β 2 +ω2 e dω 2π
1 +∞ β − jω = ∫−∞ β 2 +ω2 (cosω t + j sinω t)dω 2π
=
π ∫0
1
+∞
β cosω t + ω sin ω t dω 2 2 β +ω
工程数学---------积分变换
-12-
f (0 − 0) + f (0 + 0) 1 若t = 0, 上式右端等于 = 2 2
+∞
−∞
δ (t) f (t) d t = f (0)
一般地， 一般地，
+∞ −∞
δ (t − t0 ) f (t) d t = f (t0 )
(2) δ (t )是偶函数，即 是偶函数，
δ (t ) = δ (−t )
工程数学---------积分变换
-22-
(3)
∫
t
−∞
d δ (t)d t = u(t), u(t) = δ (t ). dt
a
b
变为另一函数类B中的函数 F (τ ), 这里 K (t ,τ ) 是一个确 变为另一函数类 中的函数 定的二元函数，通常称为该积分变换的核 F 积分变换的核． 定的二元函数，通常称为该积分变换的核． (τ ) 称为
f (t ) 的像函数或简称为像，f (t )称为 F (τ )的原函数． 原函数． 像函数或简称为 或简称为像
于是
0 π +∞ β cos ω t + ω sin ω t dω = 2 2 ∫0 β +ω 2β t π e−
t <0 t =0 t >0
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