第4讲 正投影基本知识(二)建筑

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例题 判断点C是否在线段AB上。
① a b c ②
a
c
●
x
a
c
b
o b
x
a
o
c b
点C在直 线AB上
点C不在 直线AB上
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例题 判断点K是否在线段AB上。
a k● b
a
●
k
b
x
a k● b
因k不在ab上， 故点K不在AB上。
另一判断法?
应用定比定理
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四）、直线的迹点
②
c c
a
d
a b d
b c
b d a 如何判断？
对于特殊位置直线， 只有两个同面投影互相 平行，空间直线不一定 平行。 求出侧面投影后可知： AB与CD不平行。
求出侧面投影
⒉ 两直线相交
V a c k C b d K D d k c
交点是两直 线的共有点
b B c a
⒈ 两直线平行
b a A B c C D d V
投影特性：
空间两直线平 行，则其各同面投 影必相互平行，反 之亦然。
H
x
a b
c
d
例1：判断图中两条直线是否平行。
①
a b d c
x
a
c b d
对于一般位置直 线，只要有两个同面 投影互相平行，空间 两直线就平行。
AB//CD
例2：判断图中两条直线是否平行。
k
d
x
A a
o
b H
x
a
c k d b
o
判别方法：
若空间两直线相交，则其同面投影必 相交，且交点的投影必符合空间一点的投 影规律。
例3：过C点作水平线CD与AB相交。
b
c● a k d
x
a c k
●
o
d b
先作正面投影
思考：如果给出CD的长度，解题 过程有何变化？
⒊ 两直线交叉
d
a
AB | ZA-B |


AB
ab
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求直线的实长及对正面投影面的夹角 角
V b′ B a′ AB | YA-B |

b′
x
B1
A | YA-B | a AB a' b' b
o
x
a′ b
o
a' b' AB a
| YA-B |
| YA-B |
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求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角
垂直于某一投影面
一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
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⑴ 投影面平行线 水平线
a a b a b
实长 a
b
α γ
正平线
a b a b
侧平线
β
a 实长
α
b
β
a
γ
b
b
a
b
实长
与H面的夹角:α 与V面的角:β 与W面的夹角: γ
投 影 特 性：
① 在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面倾角的实大。
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三、直线上的点 ⒈ 点的投影在直线的同面投影上。 ⒉ 点分线段成定比，点的投影必分线段的投影 成定比——定比定理。 四）、两直线的相对位置 ⒈ 平行 同面投影互相平行。 ⒉ 相交 同面投影相交，交点是两直线的共有点， 且符合空间一个点的投影规律。 ⒊ 交叉（交错） 同面投影可能相交，但“交点”不符合空 间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一 对重影点的投影。
二 直 第三节 点、线、面的投影 Z 线 a
● ● ●
一）、直线的投影 b 确定：两点确定一条直线，将 X O 两点的同面投影用直线连接，就 a 得到直线的同面投影。 b 直线与投影面的相对位置 B YH A
●
● ● ●
a
●
b Yw
●
B
M● B●
●
A● A●
●
α
●
a≡b≡m
b a●
b
a●
直线垂直于投影面 投影重合为一点 积 聚 性
迹点——直线与投影面的交点
M（水平迹点）——直线与H面的交点
m'在OX轴上，m在直线上
N （正面迹点）——直线与V面的交点
n在OX轴上，n'在直线上
S （侧面迹点）——直线与W面的交点
s在OYH轴上， s'在OZ轴
上
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五）、两直线的相对位置
空间两直线的相对位置分为： 平行、相交、交叉(错)、垂直
a
b c bc=BC ab
AB
c
b
|yA-yB|
a
小 结
重点掌握：
★点与直线的投影特性，尤其是特殊位置 直线的投影特性、直角三角形法。 ★点与直线及两直线的相对位置的判断方 法及投影特性。 ★定比定理。 ★直角定理，即两直线垂直时的投影特性。
一)、点的投影规律 ① aa⊥OX轴 aa⊥OZ轴 ② aax= aaz=y=A到V面的距离 aax= aay=z=A到H面的距离 aay= aaz=x=A到W面的距离
② 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。
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⑵ 投影面垂直线
铅垂线
a
正垂线
c(d)
●
侧垂线
e f e(f)
●
a
b
d c
b
●
d
a(b)
c
e
f
投影特性:
① 在其垂直的投影面上， 投影有积聚性。
② 另外两个投影， 反映线段实长。且垂直 于相应的投影轴。
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二 ）、一般位置线段的实长 及其与投影面的夹角
a f
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例5 以最短线KM连接AB，确定M点，并求出 KM实长。
k k k
a X
b X
a
m
b X
a
m
b
a
a
m
a
m M0
k
b
k
b
k
LKM
b
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例6 过点E作线段AB、CD的公垂线EF。 f′ b′ e′
c′ x e b a d a′ d′ o
c
f
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[例题7] 作三角形ABC，ABC为直角，使BC在MN 上，且BCAB =23。
直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=ABcosα
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直线在三个投影面中的投影特性
正平线（平行于Ｖ面）
投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面） 平行于某一投影面而
水平线（平行于Ｈ面） 统称特殊位置直线 与其余两投影面倾斜
投影面垂直线
正垂线（垂直于Ｖ面） 侧垂线（垂直于Ｗ面） 铅垂线（垂直于Ｈ面）
a
c'
1(2 ) 3 4
●
为什么？ 投影特性： 两直线相交吗？
b
●
●
c
●
2
●
b d
a
1 3(4 )
●
Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点， Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。
★ 同面投影可能相交， 但 “交点”不符合空间 一个点的投影规律。 ★ “交点”是两直线上 的一 对重影点的投影， 用其可帮助判断两直线 的空间位置。
二）、各种位置直线的投影特性
⒈ 一般位置直线
三个投影与各投影轴都倾斜。 利用直角三角形法求投影、实长、倾角
⒉ 投影面平行线
在其平行的投影面上的投影反映线段实长 及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相 应的投影轴。
⒊ 投影面垂直线
在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。 另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。
b a
z
a
b
投影特性：
yw
x
a
b
yH
三个投影都缩短。 即: 都不反映空间线段 的实长及与三个投影面 夹角的实大，且与三根 投影轴都倾斜。
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求直线的实长及对水平投影面的夹角角
V b′ B | ZA-B | a' a' x b′ AB | ZA-B |

ab
x
A a
o A1
b
o
b
| ZA-B |
三）、属于直线的点
判别方法：
◆ 若点在直线上, 则点
V c
C A
b
B
的投影必在直线的同面投 a 影上。并将线段的同面投 影分割成与空间相同的比 X 例。即：
o
b H
AC/CB=ac/cb= ac / cb
◆若点的投影有一个不 在直线的同面投影上， 则 该点必不在此直线上。
a
c
定比定理
直线在H面上的 投影互相垂直
b
a
c
x
a
.
b c
垂直相交的两直线的投影
a b
A
B c
C
c a b
x
a
o
c
b
投影特性: a'b'∥ox, ∠bac＝90°
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交叉垂直的两直线的投影
AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac
例4 过点A作EF线段的垂线AB
b′
f′
e′ x e
b
a′
o
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四个基本作图问题
1、已知直线的两投影， 求直线与投影面的夹角和线段的实长。 2、已知直线的一投影及其与投影面的夹角， 求直线的投影。 3、已知线段的一投影及其实长， 求线段的投影。 4、已知线段的实长及其与投影面的夹角， 求直线的投影。
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| ZA-B |
AB | ZA-B |

ab
ab
a
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a ●
X
Z
az
O
●
a
V
ZLeabharlann a●az●
ax
ay
Y
X
ax
A O
●
a
W
a
●
Y
ay
a
●
ay
H
点的投影规律:
Y
① aa ⊥OX轴 aaz = aay = XA（A到W面的距离） ② aa⊥OZ轴 aax =aa y = ZA （ A到H面的距离）
③aax= aaz=y
（A到V面的距离）
第四讲 正投影基本知识（二）
⒋ 两直线垂直相交（或垂直交叉）
定理：相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投 影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。
B A b a
证明：设 因 C
c H
直角边BC//H面 BC⊥AB BC⊥Bb BC∥bc 所以 BC⊥ABba平面 故 bc ⊥ABba平面 因此 bc⊥ab 即 ∠abc为直角
五）、相互垂直的两直线的投影特性 ⒈ 两直线同时平行于某一投影面时，在该 投影面上的投影反映直角。
⒉ 两直线中有一条平行于某一投影面时， 在该投影面上的投影反映直角。
⒊ 两直线均为一般位置直线时， 在三个投影面上的投影都不 反映直角。
直角定理
复习：教材P45～P54 预习：教材 P55～P64 作业： 《园林工程制图习题集》 P11～P14