(浙江专用)2021高考数学二轮复习精准提分第三篇渗透数学思想,提升学科素养(二)分类与整合思想、转

2分类与整合思想、转化与化归思想
一、概念、定理分类整合
概念、定理分类整合即利用数学中的根本概念、定理对研究对象进展分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{a n }的前n 项和公式等，然后分别对每类问题进展解决．解决此问题可以分解为三个步骤：分类转化、依次求解、汇总结论．汇总结论就是对分类讨论的结果进展整合． 1．假设一条直线过点(5,2)，且在x 轴，y 轴上截距相等，那么这条直线的方程为( ) A ．x ＋y －7＝0 B ．2x －5y ＝0
C ．x ＋y －7＝0或2x －5y ＝0
D ．x ＋y ＋7＝0或2y －5x ＝0 答案 C
解析 设该直线在x 轴，y 轴上的截距均为a ，当a ＝0时，直线过原点，此时直线方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0；当a ≠0时，设直线方程为x a ＋y
a
＝1，求得a ＝7，那么直线方程为x ＋y －7＝0.
2．S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n －2，那么S 5－S 4的值为( ) A ．8 B ．10 C ．16 D ．32
答案 D
解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－2，解得a 1＝2. 因为S n ＝2a n －2，
当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2，
两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1，
那么数列{a n }为首项为2，公比为2的等比数列，那么S 5－S 4＝a 5＝25
＝32.
3．集合A ＝⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
－1，12，B ＝{x |mx －1＝0，m ∈R }，假设A ∩B ＝B ，那么所有符合条件的实数
m 组成的集合是( )
A ．{0，－1,2}
B.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
－12，0，1
C ．{－1,2} D.⎩
⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12
答案 A
解析 因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .假设B 为∅，那么m ＝0；
假设B ≠∅，那么－m －1＝0或1
2m －1＝0，解得m ＝－1或2.综上，m ∈{0，－1,2}．应选A.
4．函数f (x )＝x |x －a |－a ，a ∈R ，假设对任意x ∈[3,5]，f (x )≥0恒成立，那么实数a 的取值范围是________． 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，94∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫254，＋∞ 解析 因为对任意x ∈[3,5]，f (x )≥0恒成立，所以f (x )min ≥0. 当a ≤0时，对任意x ∈[3,5]，f (x )＝x |x －a |－a ≥0恒成立；
当a >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－x 2
＋ax －a ，x <a ，
x 2
－ax －a ，x ≥a .
易知f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，a 2上单调递增，在⎝ ⎛⎭
⎪⎫a
2，a 上
单调递减，在[a ，＋∞)上单调递增．
当0<a <3时，f (x )min ＝f (3)＝3(3－a )－a ≥0，解得a ≤94，所以0<a ≤9
4；
当3≤a ≤5时，f (x )min ＝f (a )＝－a ≥0，解得a ≤0，不符合题意； 当a >5时，f (x )min ＝min{3(a －3)－a ，5(a －5)－a }≥0，
解得a ≥254，所以a ≥254.综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，94∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫254，＋∞.
二、图形位置、形状分类整合
5．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，那么它的体积为( ) A.83
3
B ．4 3
C.239
D ．43或
83
3
答案 D
解析 当6是下底面周长，4是三棱柱的高时， 体积V ＝2×3×1
2
×4＝43；
当4是下底面周长，6是三棱柱的高时，
体积V ＝43×233×12×6＝83
3
.
6．变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，y ≥2x ，
kx －y ＋1≥0
表示的是一个直角三角形围成的平面区域，
那么实数k 等于( ) A ．－1
2
B.12
C ．0
D ．0或－1
2
答案 D
解析 不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧ x ≥0，y ≥2x ，
kx －y ＋1≥0
表示的可行域如图阴影局部所示(含边界)，由图可知，
假设要使不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，y ≥2x ，
kx －y ＋1≥0
表示的平面区域是直角三角形，只有当直线y ＝kx ＋1
与直线x ＝0或y ＝2x 垂直时才满足．
结合图形可知斜率k 的值为0或－1
2
.
7．双曲线的离心率为23
3，那么其渐近线方程为______．
答案 y ＝±3x 或y ＝±
33
x 解析 由e ＝c a ＝23
3，
得c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝43
，那么a 2＝3b 2
. 假设双曲线焦点在x 轴上，那么渐近线方程为y ＝±
3
3
x . 假设双曲线焦点在y 轴上，那么渐近线方程为y ＝±3x .
8．抛物线y 2
＝4px (p >0)的焦点为F ，P 为其上的一点，O 为坐标原点，假设△OPF 为等腰三
角形，那么这样的点P 的个数为________． 答案 4
解析 当|PO |＝|PF |时，点P 在线段OF 的中垂线上，此时，点P 的位置有两个；当|OP |＝|OF |时，点P 的位置也有两个；对|FO |＝|FP |的情形，点P 不存在．事实上，F (p ，0)，假设设P (x ，y )，那么|FO |＝p ，|FP |＝(x －p )2
＋y 2
， 假设(x －p )2
＋y 2
＝p ，那么有x 2
－2px ＋y 2
＝0， 又∵y 2
＝4px ，∴x 2
＋2px ＝0，解得x ＝0或x ＝－2p ，
当x ＝0时，不构成三角形．当x ＝－2p (p >0)时，与点P 在抛物线上矛盾． ∴符合要求的点P 有4个． 三、含参问题分类整合
9．实数a ，x ，a >0且a ≠1，那么“a x
>1〞的充要条件为( ) A ．0<a <1，x <0 B ．a >1，x >0 C ．(a －1)x >0 D ．x ≠0
答案 C
解析 由a x >1知，a x >a 0，当0<a <1时，x <0；当a >1时，x >0.故“a x
>1〞的充要条件为“(a －1)x >0〞．
10．假设函数f (x )＝ax 2
＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)，那么实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1] B ．[－1，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(0，＋∞)
答案 B
解析 方法一 当a ＝0时，f (x )＝4x －3在[0,2]上为增函数，最大值为f (2)，满足题意． 当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2
＋4x －3＝a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋2a 2－3－4a ，其对称轴为x ＝－2a
.
当a >0时，f (x )＝ax 2
＋4x －3在[0,2]上为增函数，最大值为f (2)，满足题意．
当a <0时，只有当－2a
≥2，即－1≤a <0时，f (x )＝ax 2
＋4x －3在[0,2]上为增函数，最大值
为f (2)，满足题意．
综上，当a ≥－1时，函数f (x )＝ax 2
＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)．应选B. 方法二 由f (x )＝ax 2
＋4x －3，得f ′(x )＝2ax ＋4， 要使函数f (x )＝ax 2
＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)，
需使f (x )＝ax 2
＋4x －3在[0,2]上为增函数，那么f ′(x )＝2ax ＋4≥0在[0,2]上恒成立， 当x ＝0时成立，当x ≠0时，由x ∈(0,2]，得a ≥－2
x
，
因为－2
x
在(0,2]上的最大值为－1，所以a ≥－1.
综上，当a ≥－1时，函数f (x )＝ax 2
＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)．应选B.
11．设函数f (x )＝x 2
－ax ＋a ＋3，g (x )＝ax －2a ，假设存在x 0∈R ，使得f (x 0)<0和g (x 0)<0同时成立，那么实数a 的取值范围为( ) A ．(7，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(6，＋∞) C ．(－∞，－2) D ．(－∞，－2)∪(7，＋∞)
答案 A
解析 由f (x )＝x 2
－ax ＋a ＋3知，f (0)＝a ＋3，fx 0∈R ，使得f (x 0)<0，所以Δ＝a 2
－4(a ＋3)>0，解得a <－2或ag (x )＝ax －2a 的图象恒过点(2,0)，故当a >6时，作出函数f (x )和
g (x )的图象如图1所示，当a <－2时，作出函数f (x )和g (x )的图象如图2所示．
由函数的图象知，当a >6时，假设g (x 0)<0，那么x 0<2， ∴要使f (x 0)<0，那么需⎩⎪⎨
⎪
⎧
a >6，f (2)<0，
解得a >7.
当a <－2时，假设g (x 0)<0，那么x 0>2，此时函数f (x )＝x 2
－ax ＋a ＋3的图象的对称轴x ＝
a
2<－1，
故函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫a
2，＋∞上为增函数， 又f (1)＝4，∴f (x 0)<0不成立． 综上，实数a 的取值范围为(7，＋∞)．
一、特殊与一般的转化
一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而到达成批处
1．据统计某超市两种蔬菜A ，B 连续n 天价格分别为a 1，a 2，a 3，…，a n 和b 1，b 2，b 3，…，
b n ，令M ＝{m |a m ＜b m ，m ＝1,2，…，n }，假设M 中元素个数大于34
n ，那么称蔬菜A 在这n 天
的价格低于蔬菜B 的价格，记作：A ＜B ，现有三种蔬菜A ，B ，C ，以下说法正确的选项是( ) A ．假设A ＜B ，B ＜C ，那么A ＜C
B ．假设A ＜B ，B ＜
C 同时不成立，那么A ＜C 不成立 C ．A ＜B ，B ＜A 可同时不成立
D ．A ＜B ，B ＜A 可同时成立 答案 C
解析 特例法：例如蔬菜A 连续10天价格分别为1,2,3,4，…，10，蔬菜B 连续10天价格分别为10,9，…，1时，A ＜B ，B ＜A 同时不成立，应选C.
2．过抛物线y ＝ax 2
(a >0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点．假设线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，那么1p ＋1
q
等于( )
A ．2a B.12a C ．4a D.4
a
答案 C
解析 抛物线y ＝ax 2(a >0)的标准方程为x 2
＝1a y (a >0)，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a .
过焦点F 作直线垂直于y 轴，那么|PF |＝|QF |＝1
2a ，
∴1p ＋1
q
＝4a .
3．函数f (x )＝(a －3)x －ax 3
在[－1,1]上的最小值为－3，那么实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1]
B ．[12，＋∞)
C ．[－1,12]D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，12 答案 D
解析 当a ＝0时，函数f (x )＝－3x ，x ∈[－1,1]，显然满足条件，故排除A ，B ； 当a ＝－32时，函数f (x )＝32x 3－92x ，f ′(x )＝92x 2－92＝92(x 2
－1)，
当－1≤x ≤1时，f ′(x )≤0，所以f (x )在[－1,1]上为减函数， 所以f (x )min ＝f (1)＝32－9
2
＝－3，满足条件，故排除C.
综上，选D.
4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，假设a ，b ，c 成等差数列，那么
cos A ＋cos C
1＋cos A cos C ＝________. 答案 45
解析 令a ＝b ＝c ，那么△ABC 为等边三角形，且cos A ＝cos C ＝1
2，代入所求式子，得
cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝12＋121＋12×12＝45
.
二、命题的等价转化
将题目条件或结论进展转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决.一般包括数与形的转化，正与反的转化，常量与变量的转化，图形形体及位置的转化.
5．假设对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫m
2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，
那么实数m 的取值范围是________．
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－373，－5 解析 g ′(x )＝3x 2
＋(m ＋4)x －2，假设g (x )在区间(t ，3)上总为单调函数，那么①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t ，3)上恒成立．由①得3x 2
＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x 在x ∈(t ，3)上恒成立，∵函数y ＝2x －3x 在(t ，3)上为减函数，∴m ＋4≥2t
－3t
恒成立，那么m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2
x
－3x 在x ∈(t ，3)上恒成立，∵函数
y ＝2x －3x 在(t ，3)上为减函数，那么m ＋4≤23－9，即m ≤－37
3
.∴函数g (x )在区间(t ，3)上总不为单调函数时m 的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－373，－5.
6.如下图，三棱锥P －ABC ，PA ＝BC ＝234，PB ＝AC ＝10，PC ＝AB ＝241，那么三棱锥P －
ABC 的体积为( )
A ．40
B ．80
C ．160
D ．240
答案 C
解析 因为三棱锥P －ABC 的三组对棱两两相等，那么可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如下图)，把三棱锥P －ABC 补成一个长方体AEBG －FPDC ，
可知三棱锥P －ABC 的各棱分别是此长方体的面对角线． 不妨令PE ＝x ，EB ＝y ，EA ＝z ，
那么由，可得⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2
＝100，x 2＋z 2
＝136，
y 2＋z 2＝164，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝6，y ＝8，
z ＝10.
从而知V P －ABC ＝V AEBG －FPDC －V P －AEB －V C －ABG －V B －PDC －V A －FPC ＝V AEBG －FPDC －4V P －AEB ＝6×8×10－4×1
6
×6×8×10＝160.
7．对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式x 2
＋px >4x ＋p －3成立的x 的取值范围是________________．
答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞) 解析 设f (p )＝(x －1)p ＋x 2
－4x ＋3， 那么当x ＝1时，f (p )＝0，所以x ≠1.
f (p )在[0,4]上恒为正等价于⎩⎪⎨
⎪
⎧
f (0)>0，f (4)>0，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
(x －3)(x －1)>0，x 2
－1>0，
解得x >3或x <－1.
8．如果实数x ，y 满足等式(x －2)2
＋y 2
＝1，那么
y ＋3
x －1
的取值范围是________． 答案 ⎣⎢⎡⎭
⎪⎫43，＋∞ 解析 设k ＝
y ＋3x －1
，那么y 表示点P (1，－3)和圆(x －2)2＋y 2
＝1上的点的连线的斜率(如图)．从图中可知，当过P 的直线与圆相切时斜率取最值，此时对应的直线斜率分别为k PB 和k PA ，其中k PB 不存在．由圆心C (2,0)到直线y ＝kx －(k ＋3)的距离|2k －(k ＋3)|
k 2＋1＝r ＝1，
解得k ＝43，所以y ＋3x －1的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫43，＋∞.
三、 函数、方程、不等式之间的转化
函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟〞，解决方程、不等式的问题需要函数的帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的协作. 9．偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0，假设f (x －1)>0，那么x 的取值范围为________． 答案 (－1,3)
解析 ∵f (x )是偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0， ∴不等式f (x －1)>0等价于f (|x －1|)>f (2)， 即|x －1|<2，那么－1<x <3， ∴x 的取值范围是(－1,3)．
10．在平面直角坐标系xOy 中，A (－12,0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上，假设PA →·PB →
≤20，那么点P 的横坐标的取值范围是________． 答案 [－52，1]
解析 方法一 因为点P 在圆O ：x 2
＋y 2
＝50上， 所以设P 点坐标为(x ，±50－x 2
)(－52≤x ≤52)． 因为A (－12,0)，B (0,6)，
所以PA →＝(－12－x ，－50－x 2)或PA →＝(－12－x ，50－x 2
)， PB →
＝(－x ，6－50－x 2)或PB →＝(－x ，6＋50－x 2)．因为PA →·PB →
≤20，先取P (x ，50－x 2)
进展计算，
所以(－12－x )·(－x )＋(－50－x 2
)(6－50－x 2
)≤20，即2x ＋5≤50－x 2
. 当2x ＋5<0，即x <－5
2时，上式恒成立．
当2x ＋5≥0，即x ≥－52时，(2x ＋5)2≤50－x 2
，
解得－5
2
≤x ≤1，故x ≤1.
同理可得P (x ，－50－x 2
)时，x ≤－5.
又－52≤x ≤52，所以－52≤x ≤1. 故点P 的横坐标的取值范围为[－52，1]． 方法二 设P (x ，y )，
那么PA →＝(－12－x ，－y )，PB →
＝(－x ，6－y )． ∵PA →·PB →
≤20，
∴(－12－x )·(－x )＋(－y )·(6－y )≤20， 即2x －y ＋5≤0.
如图，作圆O ：x 2
＋y 2
＝50，直线2x －y ＋5＝0与⊙O 交于E ，F 两点，
∵P 在圆O 上且满足2x －y ＋5≤0， ∴点P 在EDF 上．
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋y 2
＝50，2x －y ＋5＝0得F 点的横坐标为1，
又D 点的横坐标为－52，
∴P 点的横坐标的取值范围为[－52，1]．
11．函数f (x )＝x 3
＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数．对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，那么实数x 的取值范围为________．
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23，1
解析 由题意知，g (x )＝3x 2
－ax ＋3a －5， 令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2
－5(－1≤a ≤1)． 对－1≤a ≤1，恒有g (x )<0，即φ(a )<0，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
3x 2
－x －2<0，3x 2
＋x －8<0，解得－2
3
<x <1.
故当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0. 12．函数f (x )＝ln x ．假设不等式mf (x )≥a ＋x 对所有m ∈[0,1]，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1e ，e 2都成立，那么实数a 的取值范围为________． 答案 (－∞，－e 2
]
解析 由题意得，a ≤m ln x －x 对所有的m ∈[0,1]，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 2都成立， 令H (m )＝ln x ·m －x ，m ∈[0,1]，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 2是关于m 的一次函数，
因为x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1e ，e 2，所以－1≤ln x ≤2，
所以⎩⎪⎨
⎪
⎧
ln x ·0－x ≥a ，ln x ·1－x ≥a ，
所以⎩⎪⎨
⎪
⎧
a ≤－x ，a ≤ln x －x ，
所以⎩⎪⎨
⎪
⎧
a ≤－e 2
，a ≤(ln x －x )min .
令g (x )＝ln x －x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
e ≤x ≤e 2，所以g ′(x )＝1－x x ，
所以函数g (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1e ，1上是增函数，在[]1，e 2上是减函数，
所以g (x )min ＝g (e 2)＝2－e 2，所以a ≤2－e 2.综上知a ≤－e 2
.
1．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，那么( ) A ．a 1a 8>a 4a 5 B ．a 1a 8<a 4a 5 C ．a 1＋a 8>a 4＋a 5 D ．a 1a 8＝a 4a 5
答案 B
解析 取特殊数列1,2,3,4,5,6,7,8，显然只有1×8<4×5成立，即a 1a 8<a 4a 5. 2．假设函数f (x )＝x 2
－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，那么实数a 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－2
答案 B
解析 ∵函数f (x )的图象为开口向上的抛物线， ∴函数的最大值在区间端点处取得． ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ， 当f (0)为最大值时，
⎩
⎪⎨
⎪⎧ －a ＝1，4－3a ≤1，无解；
当f (2)为最大值时，
⎩
⎪⎨
⎪⎧
4－3a ＝1，－a ≤1，解得a ＝1.
综上，实数a 的值为1.
3．过双曲线x 2
－y 2
2＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ，B 两点，假设|AB |＝4，那么这样
的直线l 有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条
答案 C
解析 因为双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，所以当直线l 与双曲线左、右两支各有一个交点时，过双曲线的右焦点一定有两条直线满足要求； 当直线l 与实轴垂直时，由3－y 2
2
＝1，解得y ＝2或y ＝－2，
所以此时线段AB 的长度是4，即只与双曲线右支有两个交点的所截弦长为4的直线仅有一条．
综上可知，有3条直线满足|AB |＝4.
4．数列{a n }的前n 项和S n ＝p n
－1(p 是常数)，那么数列{a n }是( ) A ．等差数列
B ．等比数列
C ．等差数列或等比数列
D ．以上都不对
答案 D
解析 ∵S n ＝p n
－1，
∴a 1＝p －1，a n ＝S n －S n －1＝(p －1)p
n －1
(n ≥2)，
当p ≠1且p ≠0时，{a n }是等比数列； 当p ＝1时，{a n }是等差数列；
当p ＝0时，a 1＝－1，a n ＝0(n ≥2)，此时{a n }既不是等差数列也不是等比数列．
5.如图，在棱长为5的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，EF 是棱AB 上的一条线段，且EF ＝2，点Q 是A 1D 1的中点，点P 是棱C 1D 1上的动点，那么四面体PQEF 的体积( )
A ．是变量且有最大值
B ．是变量且有最小值
C ．是变量且有最大值和最小值
D ．是常数 答案 D
解析 点Q 到棱AB 的距离为常数，所以△EFQ 的面积为定值．由C 1D 1∥EF ，C 1D 1⊄平面EFQ ，
EF ⊂平面EFQ ，可得棱C 1D 1∥平面EFQ ，所以点P 到平面EFQ 的距离是常数，于是可得四面
体PQEF 的体积为常数．
6．设点P (x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y －3≤0，x －y ＋1≥0，
x ≥1，
y ≥1，
那么y x －x
y
的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞
B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，32 C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，1 D ．[－1,1]
答案 B
解析
作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y －3≤0，x －y ＋1≥0，
x ≥1，
y ≥1
所表示的可行域，如图阴影局部所示(包括边
界)，其中A (2,1)，B (1,2)，令t ＝y x
，f (t )＝t －1
t
，根据t 的几何意义可知，t 为可行域内
的点与坐标原点连线的斜率，连接OA ，OB ，显然OA 的斜率12最小，OB 的斜率2最大，即1
2≤tf (t )
＝t －1t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增，故－32≤f (t )≤32，即y x －x y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，32.
7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
ln x ，x ＞0，m
x ，x <0，假设f (x )－f (－x )＝0有四个不同的实根，那么m 的取值
范围是( ) A ．(0,2e) B ．(0，e)
C ．(0,1) D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，1e
答案 D
解析 假设m ≤0，那么f (x )＝f (－x )只可能有2个实根，所以m ＞0， 假设f (x )＝f (－x )有四个实根，根据对称性可知当x ＞0时，
ln x ＝－m
x
有两个实根，即－m ＝x ln x 有两个实根，设y ＝x ln x ，x >0，那么y ′＝ln x ＋1， 令ln x ＋1＝0，解得x ＝1e ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，y ′<0，函数单调递减，当x ＞1e 时，y ′>0，函数单调递增，所以当x ＝1e 时，y ＝x ln x 有最小值－1e ，即－1e <－m <0，即0<m <1
e ，应选D.
8．函数f (x )＝x (e x －e －x )－cos x 的定义域为[－3,3]，那么不等式f (x 2
＋1)>f (－2)的解集为( )
A ．[－2，－1]
B ．[－2，2]
C ．[－2，－1)∪(1，2]
D ．(－2，－1)∪(1，2)
答案 C
解析 因为f (－x )＝－x (e －x
－e x )－cos(－x )＝x (e x －e －x
)－cos x ＝f (x )，所以函数f (x )为
偶函数，令g (x )＝x ⎝
⎛⎭⎪⎫e x －1e x ，易知g (x )在[0,3]上为增函数，令h (x )＝－cos x ，易知h (x )
在[0,3]上为增函数，故函数f (x )＝x (e x －e －x )－cos x 在[0,3]上为增函数，所以f (x 2
＋1)>f (－2)可变形为f (x 2
＋1)>f (2)，所以2<x 2
＋1≤3，解得－2≤x <－1或1<x ≤2，故不等式f (x 2
＋1)>f (－2)的解集为[－2，－1)∪(1，2]． 9．在等比数列{a n }中，a 3＝32，S 3＝9
2，那么a 1＝________.
答案 3
2
或6
解析 当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，S 3＝3a 1＝9
2，显然成立．
当q ≠1时，由a 3＝32，S 3＝9
2
，
得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1
q 2＝3
2， ①a 1
(1＋q ＋q 2
)＝9
2
，②
由①②，得1＋q ＋q 2
q
2
＝3， 即2q 2
－q －1＝0，
所以q ＝－12或q ＝1(舍去)．当q ＝－12时，a 1＝a 3
q 2＝6.
综上可知，a 1＝3
2
或a 1＝6.
10．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 2
4＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．P ，F 1，F 2是一个直角三角形
的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，那么|PF 1|
|PF 2|的值为________．
答案 7
2
或2
解析 假设∠PF 2F 1＝90°， 那么|PF 1|2
＝|PF 2|2
＋|F 1F 2|2
， 又|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25， 所以|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，所以|PF 1||PF 2|＝7
2.
假设∠F 1PF 2＝90°，那么|F 1F 2|2
＝|PF 1|2
＋|PF 2|2
， 所以|PF 1|2
＋(6－|PF 1|)2
＝20，且|PF 1|>|PF 2|， 所以|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以|PF 1|
|PF 2|＝2.
综上知，|PF 1||PF 2|＝7
2
或2.
11．(2021·浙江)向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，那么|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________． 答案 4 2 5
解析 设a ，b 的夹角为θ， ∵|a |＝1，|b |＝2，
∴|a ＋b |＋|a －b |＝(a ＋b )2
＋(a －b )2
＝5＋4cos θ＋5－4cos θ. 令y ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ， 那么y 2
＝10＋225－16cos 2θ. ∵θ∈[0，π]，∴cos 2
θ∈[0,1]， ∴y 2
∈[16,20]，
∴y ∈[4,25]，即|a ＋b |＋|a －b |∈[4,25]． ∴|a ＋b |＋|a －b |的最小值是4，最大值是2 5.
12．椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，假设椭圆上存在点P 使得∠F 1PF 2
＝120°，那么椭圆C 离心率的取值范围是______________． 答案 ⎣⎢
⎡⎭
⎪⎫
32，1
解析 当点P 在短轴端点时，∠F 1PF 2到达最大值， 即∠F 1BF 2≥120°时，椭圆上存在点P 使得∠F 1PF 2＝120°， 当∠F 1BF 2＝120°时，e ＝c a ＝sin60°＝
32
，
而椭圆越扁，∠F 1BF 2才可能越大， 椭圆越扁，那么其离心率越接近1， 所以椭圆C 离心率的取值范围是⎣⎢
⎡⎭
⎪⎫
32，1.。