求曲线的方程

M 满足的几何条件。
y
解：建系如图，设 M ( x，y)，A(o, a) (a为常数)
则 | MA | | MB | 作 MN BC 于 N
A
M是ABC 的外心 MN 垂直平分BC
BN NC 1 BC b(定长) 2 2 2 2 又 在Rt BMN 中 BM BN MN b2 y 2
3. △ABC的顶点B、C的坐标分别是(0 ,0)和(4 , 0), AB边 上中线的长为3，求顶点A的轨迹方程. 解: 设点A(x , y) , 线段AB中点为M , x y 则 M ( , ) , | CM | 3 , 2 2
y A

x y 2 ( 4) ( 0)2 3 , 2 2
C
y
B
H
o
k AB 6 1 5 直线AB方程为： 31 2 y 1 5 ( x 1) 即 5 x 2 y 3 0 2
5x 2 y 3 52 22
A
x
CH
又 AB ( 3 1) 2 (6 1) 2 29
1 29 5 x 2 y 3 3 即 5x 2 y 3 6 2 29 C . 5 x 2 y 9 0 或 5 x 2 y 3 0 为所求顶点 的轨迹方程
例7 已知△ABC的顶点A是定点，边BC为长4，BC在定直线L上 滑动，BC边上的高为3，求△ABC的外心M的轨迹方程。
分析：首先考虑怎样建 立直角坐标系，注意到 BC在定直线 L 上移动， 边 可选 L 为 x 轴，再使 y 轴过定点 A，这样求出的方程可以 最简。 其次 M 是ABC外心，它到ABC三顶点的距离相等，可 作为动点
| AE |2 | ME |2 | CF |2 | MF |2
(3 x y )2 (3 x y )2 4 即 16 Nhomakorabea10 10
化简得 xy 10 故动圆圆心的轨迹是 xy 10.
M 满足的几何条件。
y
解：建系如图，设 M ( x，y)，A(0，3)
则 | MA | | MB | 作 MN BC 于 N
M是ABC 的外心 MN 垂直平分BC
A
.M
B
oN
| BC | 4 B( x 2 , 0) , C ( x 2 , 0)
( x 2 x) 2 (0 y ) 2 x 2 ( y 3) 2
求曲线方程的一般步骤： （1）建立适当的坐标系，用 (x，y) 表示曲线上 任意一点M的坐标；
（2）写出动点满足的关系式(动点的集合); （3）用坐标x,y表示关系式，即列出方程 f(x,y)=0;
（4）化简方程 f(x,y)= 0;
（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线 上的点 .
说 明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤 （5）可以省略不写，如有特殊情况，可予以说明。根据情 况，也可以省略步骤（2），直接列出曲线方程 .
x y 2
2 2
x 2 y 2 4 即为所求的轨迹的方程 .
2. 已知点M与x轴的距离和点M与点F(0 , 4)的距离相等, 求点M的轨迹方程. 解: 设点M(x , y)是所求轨迹上任意一点， 则
| y | ( x 0) 2 ( y 4) 2
即 x 2 8 y 16 0 为所求的轨迹的方程 .
M
BO C x
( x 8)2 y 2 36 ( y 0) 即
为所求的轨迹的方程 .
（教材习题2.1B组第2题）一动圆截直线3x－y=0和 3x＋y=0所得弦长分别为8,4，求动圆圆心M的轨迹方 程. 解： 如图，设动圆圆心M(x, y)， 由于动圆截直线3x－y=0和3x＋y=0 所得弦分别为AB，CD， | AB | 8,| CD | 4 过点M分别做直线3x－y=0和3x＋y=0 则 的垂线， 垂足分别为E,F， | AE | 4,| CF | 2 | 3x y | | 3x y | | ME | ,| MF | , 10 10 连接MA，MC， | MA || MC |
解：设 P ( x，y ) ，则
APO BPO
y
P

PA PB AO BO

( x 2) 2 y 2 ( x 1)2 y 2 2 1
A
o
B
x
即 ( x 2)2 y 2 4 ( y 0)
为所求点P 轨迹方程 .
0 0 例4 已 知 点 A( 2 ， ) ，B(1， ) ， 动 点P 不 在 x 轴 上 ， 且 满 足 APO BPO (O为坐标原点，求点 的轨迹方程 ) P .
( x 2)2 y 2 4 ( y 0) 为所求点P 轨迹方程 .
例 6 在 △ ABC 中 ， 已 知 A （ 1 ， 1 ） 、 B （ 3 ， 6 ） 且
△ABC的面积等于3，求顶点C的轨迹方程。
设 ) 解： C ( x，y，作CH AB于H
则 1 AB CH 3 2
解2： 设 P ( x，y ) ， 则
APO BPO
tanAPO tanBPO
y
P
k PO k PA k PB k PO x o 即 B A 1 k PO k PA 1 k PB k PO y y y y x x 2 x 1 x 即 ( x 2)2 y 2 4 y y y y 1 1 x x2 x 1 x 当 x 1 时， x轴， P(1 , 3 )也满足 x 2)2 y 2 4 PB 此时 (
5. 若已知定角 , 常以定角的顶点为原点 , 定角的角分线为 x 轴建
立直角坐标系 . 由于坐标系的建立不同 , 同一曲线在不同坐标系中的方程也不相
同 , 但它们始终表示同一曲线 .
0 0 例4 已 知 点 A( 2 ， ) ，B(1， ) ， 动 点P 不 在 x 轴 上 ， 且 满 足 ) P . APO BPO (O为坐标原点，求点 的轨迹方程
1. 若条件中只出现一个定点 , 常以定点为原点建立直角坐标系 ;
2. 若已知两定点 , 常以两定点的中点为原点 , 两定点所在的直线
为 x 轴建立直角坐标系 ； 4. 若已知一定点和一定直线 , 常以点到直线的垂线段的中点为原点 , 以点到直线的垂线的反向延长线为 x 轴建立直角坐标系 ;
3. 若已知两条互相垂直的直线 , 则以它们为坐标轴建立直角坐标系；
又 AM x 2 ( y a 2 ) 且 AM BM
2
.M
B
oN
C
x
x2 ( y a)2 b2 y2
即 x2 2ay a2 b2 0 为所求 M 的轨迹方程 .
1. 求到坐标原点的距离等于2的点的轨迹方程. 解: 设点M(x , y)是所求轨迹上任意一点， 则 | MO | 2 化简 即
C
x
. 即 x 2 6 y 5 0 为所求M 的轨迹方程
例8 已知△ABC的顶点A固定，其对边BC为定长2b，当BC沿一 定直线L上移动时，求△ABC的外心M的轨迹方程。
分析：首先考虑怎样建 立直角坐标系，注意到 BC在定直线 L 上移动， 边 可选 L 为 x 轴，再使 y 轴过定点 A，这样求出的方程可以 最简。 其次 M 是ABC外心，它到ABC三顶点的距离相等，可 作为动点