三重积分练习题

三重积分练习题
第六讲三重积分、重积分应用习题课
教学目的使学生能更清楚进行三重积分计算时．在何种情况下用何种坐标计算，以便灵活
的进行三重积分的计算．使学生能方便地运用重积分进行曲面的面积，质心，转动恒量以及引力的计算
教学重点通过三重积分计算的强化使学生明确在三重积分计算时如何确定用何种坐标以及
各是如何化为三次积分．
教学难点柱面坐标与球面坐标所适用情况的区分与判定. 教学时数学时教学过程
一、知识回顾
1．三重积分的意义及物理模型．在直角坐标，柱面坐标，球面坐标下计算三重积分柱面坐标与球面坐标.
柱面坐标，球面坐标分别与直角坐标之关系. 直角坐标化柱面坐标，球面坐标的公式. 何时用何种坐标计算. 3．曲面的面积，物体的质心，转动惯量及引力的计算曲面的面积：关键在找曲面在坐标面的投影，这里问题是往何坐标面上投如何找投影区域
物理应用，注意利用密度为常数以及物体所占区域在坐标面上的对称性.
二、练习
1．将I=
zdv
?
分别表示成直角坐标，柱面坐标和球面坐标下
的三次积分，并选择其中一种计算出结果．其中?是由曲面z=
2?x?y
2
2
及z=x+y所围成的闭区域.
22
分析
为计算该三重积分，我们先把积分区域投影到某坐标
平面上，由于是由两张曲面z?
2?x?y
22
及z?x?y，而由这两个方程所组成的方
22
?z??z??程组极易消去z，我们把它投影到xoy面上．然后，为在指定的坐标
系下计算之，还应该先把?的边界曲面用相应的坐标表示，并找出各种坐标系下各个变量的取值范围，最后作代换
?z??22222z??解将?投影到xoy平面上，
由消去z得 =2-，
或=0，于是有 x+y=1．即知，?在xoy平面上的投影为圆域D：
22
x+y?1 ．
222222
为此在D内任取一点Q，过Q作平行于z轴的直线自下而上穿过?．穿入时碰
22
到的曲面为z?x?y，离开时碰到的曲面为z?
2?x?y
22
，这是因为x2+y2?1)
22
直角坐标系下，我们分直角坐标及柱面坐标，下边找z的变化范围从而化为三重积
22
22
分．因此再由D：x+y?1，有z?x?y?z?
2?x?y
，于是在直角坐标下，?
可表示为
?，y?x2?y2?z??
?
:
于是有
1
?x
2
2?x?y
22
I=?1
柱面坐标下
?dxdy
?1?x
2
x?y
2
?zdz
2
.
首先把?的表面方程用柱面坐标表示，这时z=x+y表示为z= ?，z=
2
2
2?x?y
22
表示为z=2??表示为
22
．再由投影区域D为x+y?1．故01，0?θ?2?．于是?可
?02?,??
?01,?2
2
??z?2??.??：?
将所给三重积分中的体积元素d?用d?=?d?d?dz去替换，有
2?
1
2??
2
I=
球面坐标下
zd?
?
=
z?d?d?dz
?
=
?d?
?d?
??
?
2
2
dz
.
cos?
用球面坐标代换两曲面的方程，得曲面z=xz=2?x?y 2
2
2
2
变为?=sin?；曲面
2
变为?=2．
22
由?在xoy平面上的投影为x+y?1知02?，下边找?的变化范围．
?
?
22
正z轴在?内，即?内有点P，使op与oz夹角为零，即?的下界为零．又曲面z=x+y
??
与xoy平面相切，故?的上界为2，于是02
再找?的变化范围．
原点在?的表面上，故?取到最小值为零．
为找?的上界，从原点出发作射线穿过?，由于?的表面由两张曲面所组成，因而?
22
??z?x?y，?22z?2?x?y的上界随相应的的不同而不同．为此在两曲面的交线上取一点A，故A所对应的
??
?
4．
?
cos?
2
当4
2时，r的上界由曲面r=sin?所给，故这时r ?
cos?sin?
2
?cot?csc?
．即
r的变化范围为
??
2,当0时，??4
?r??
?cot?，当时。

?42?0
因此
?
4
2
2?
2
?
2
cos?sin
2?
?d?
?d?
?rcos??rsin?dr?
?d?
?
?d?
4
?rcos??rsin?dr
2
I=．
由?的特点，故采用柱面坐标
计算比较简单，这时
2?
2?r
2
I=
?d?
?dr
?rzdz
r
2
?12
d?r??z
?20=0
2?1
2?rr
2
2
?77
?dr
?=2?24=12?．
小结计算三重积分时，欲用何种坐标，就要首先把积分区域的表面方程化成用该坐标表示，同时把被积函数中的变量与体积元素替换为该坐标下的形式．
将区域?向坐标平面作投影时，应考虑向哪个坐标平面更简单．
不要认为当积分区域为球体的一部分就应采用球面坐标．球面坐标所适用的积分区域一般为球，两球面所围的区域，或这两种区域被圆锥所截得的部分．本题是由旋转抛物面与球面所围成的区域，一般是不宜用球面坐标的．
2．计算三重积分
2
2
z
?
x?y?zd?
222
，其中?是由曲面x
2
+y
2
+z2=1及
z=3所围成的区域．
分析?为球面和圆锥面所围成的区域．故从积分区域的特点看，它适宜用球面坐标．同时，被积函数中含有因式x+y+z2，故从积分区域与被积函数两方面来看，应选用球面
坐标．
解在球面坐标下，球面x+y+z=1的方程为r=1，锥面z=3的方程为
2
2
2
22
22
3
tan?=3，即
??
?
6，又z轴的正向穿过?故?的下界为零，因此0
?
6．
222??x?y?z?1,
1?22
22?z?3
将?投影到xoy面，由方程组? 消去z得x+y=4．因此
02?．该锥体的顶点在原点，故r下界为零，由穿
线法可知r?1,故0?r?1. 于是 ?
2?
6
?
Zx?y?zdv
222
=
?
rcos?sin?drd?d?
4
=
?12
?
?d??sin?cos?d??
1
rdr
4
=2?
[sin
2
?]6[r]0?
s
1
s1
?
20．
小结当积分区域为由球面与锥角0所围成的球锥体时．若锥题的顶点为原点，且
Z轴正向穿过积分区域，则有00，且r的下界为零，上界由球面的方程所给出．
3．计算
?
dv,
22
其中?是由xoy平面上的曲线y=2x绕x轴旋转而成的曲面
2
与平面x=5所围成的闭区域
分析由第七章的知识知，?为由旋转抛物面2x=y?z与平面x=5所围成．遵循上题的小结2所说的原则由于从两方
程要消去x,我们将它投影到yoz平面，，不难求出，投影区域为圆域，再由于积分区域与球体无关，故采用柱面坐标，这时要注意把y,z用极坐标代换．
还应注意积分区域关于平面y=0,z=0皆对称，且被积函数关于y,z皆为偶函数．因此还应利用积分区域关于坐标平面的对称性与被积函数关于某相应变量的奇偶性先进行化简．
解曲线y=2x或x=2绕x轴旋转得的旋转抛物面方程为x=2,故?由抛
2
2
2
22
y
2
1
1
物面x=2与z=0所围成．
由于被积函数分别是y和z的偶函数，而积分区域关于平面y=0及z=0都对称，因此
22
?
dv
22
=4
?
,
dv
22
，其中?为?在第一卦限内的部分
,
由
1?22
x?,?
2?
?x?5?
,
知，?在yoz 平面上的投影为y?z?10．?在yoz平面上 22
??
0,?2??
?0,?2r??x?5.?
的投影为yoz平面上第一象限内的１／４个圆，因此有??：?2
于是
2
2
dv?
?
4
?,
dv?
22
4?p
??d?d?dx
2
?
,
=
)?d?
3
4?2d?
0?
?d?rdx
2
3
5
2
=2
?
?
2
当被积函数关于某坐标平面对称，同时被积函数是相应变量的奇或偶函数时，应首先将所给积分化简，其原则为?关于平面Z=0对称，f关于z
是奇函数时，积分
三重积分练习题
1．计算I?
ycosdxdydz，?
由抛物柱面y?，平面y?0,z?0,x?z?
?
?
2
所围区域。

2．计算I?3．
计算I?
区域。

，?为由x2?y2?z2?
1和z??）0
4．已知f连续，F[z2?f]dxdydz，?:0?z?h,x2?y2?t2，求：
?
F。

t?0t
xyz
5．设?为平面1与三个坐标平面围成的四面体区域，求
abc
F?和lim?
若又设a?b?c?h为定值，问a,b,c怎样取值时，IIzdxdydz；
?
abc2h4
,最大，并求此最大值。

41536
6．将I?
?
fdxdydz化为球坐标下的三次积分，其中?:x2?y2?z2?1, x?0,y?0。

7．设f具有连续导数，求lim
1t?0?t4
x2?y2?z2?t2
，若
2
y?2z绕z轴旋转一周形成的曲面8．计算Idxdydz，其中?为平面曲线
x?0
22
?
?
与平面z?8所围成的区域。

9．
计算I?
，其中?
为y?,x2?z2?1,y?1之间。

10．设??{|x?y?z?1,x?y?z?0}，计算三重积分： 222
x2?2y2?3z26?x3?2y3?3z3
I3dxdydz； Idxdydz3333
x?y?z3?x?y?z??
11．求I?
dv,?由x
?
2
?y2?z2,0?z?h所围立体。

12．计算下列三重积分
zln
Idxdydz，其中?为x2?y2?z2?1。

22
1?x?y?z?
I?I?
?e
2
?y2?z2)
dv,?由1?x2?y2?z2?4,x?0,y?0,z?0所围
222
edv,?:x?y?z?1。

?
x
10．解：分析本题中被积函数比较复杂，而积分区域具有关于x,y,z轮换不变性，所以可以利用积分值与积分变量名称无关这一特点进行计算。

x2y2z2
因为3?3?333333
x?y?zx?y?zx?y?z
所以
x2y2z2
原式=3?23dV?33dV?033333
x?y?zx?y?zx?y?z
1?x31?y31?z3
因为33333333
?3?x?y?z?3?x?y?z?3?x?y?z
所以
1?x31?y31?z3
原式=23???dV33333333
?3?x?y?z?3?x?y?z?3?x?y?z
1?x31?y31?z3=2[dV??]33333333
?3?x?y?z?3?x?y?z?3?x?y?z??4=2dV?2V??33
33?x?y?z?
12．解：
I?
?
rcos?ln2
rsin?drd?d?
1?r
2?0
=
?
?0
sin?cos?d??d??
10
?r3ln
dr?0?01?r
Ire
?
?
?
?r2
?r2sin?drd?d?
2
??2d??2d??e?r?r3dr?
2
?
4e
3
3
由对称性，知I?2
x2?y2?z2?1
edv?2?d??
z
?
2?0
d??ercos?r2sin?dr??2?
1
9?3
1? 化三重积分Ifdxdydz为三次积分? 其中积分区域?分别是?
?
由双曲抛物面xy?z及平面x?y?1?0? z?0所围成的闭区域?解积分区域可表示为
??{| 0?z?xy? 0?y?1?x? 0?x?1}? 于是 I??dx?
1?x02
dy?fdz?
xy
由曲面z?x?y2及平面z?1所围成的闭区域? 解积分区域可表示为
??{|x2?y2?z?1, ??x2?y??x2, ?1?x?1}? 于是I??dx?
?11
?x2??x
22
dy?2
2
1
x?y2
fdz?
由曲面z?x?2y及z?2?x2所围成的闭区域? 解曲积分区域可表示为
??{|x2?2y2?z?2?x2, ??x2?y??x2, ?1?x?1}? 于是I??dx?
?11
?x2??x2
dy?2
2?x2
x?2y2
fdz?
提示? 曲面z?x?2y与z?2?x2的交线在xOy面上的投影曲线为x2+y2=1?
x2?y2?1
由曲面cz?xy?2? z?0所围成的在第一卦限内的闭区域? ab
解曲积分区域可表示为
xy
??{|0?z?, 0?y?b2?x2, 0?x?a}?
ca于是 I??dx?
0a
xyba2?x2
adyc00
?
fdz?
提示? 区域?的上边界曲面为曲面cz?xy ? 下边界曲面为平面z?0?
2? 设有一物体? 占有空间闭区域??{|0?x?1? 0?y?1?
0?z?1}? 在点处的密度为??x?y?z? 计算该物体的质量?
解 Mdxdydz??dx?dy?dz??dx?dx?12?3?
0200222
3? 如果三重积分fdxdydz的被积函数f是三个函数f1、
?
f2、f3的乘积? 即f? f1?f2?f3? 积分区域??{|a?x?b? c?y?d? l?z?m}? 证明这个三重积分等于三个单积分的乘积? 即
f1f2f3dxdydz??f1dx?f2dy?f3dz?
?
a
c
l
bdm
证明
f1f2f3dxdydz??[?f2f3dz)dy]dx
?
bdm
acl
??[?f2?f3dz)dy]dx??[?f3dz)dy)]dx
acb
l
a
l
c
bdmbmd
??[dz)dy)f1]dx?dz)dy)?f1dx
a
l
c
l
c
a
mdmdb
??f1dx?f2dy?f3dz?
a
c
l
bdm
4? 计算xy2z3dxdydz? 其中?是由曲面z?xy? 与平面y?x? x?1和z?0所围
?
成的闭区域?
解积分区域可表示为
??{| 0?z?xy? 0?y?x? 0?x?1}? 于是
xyzdxdydz??0xdx?0ydy?0
23
1x
2
xy
?
zdz??xdx?
3
1x
4zxyy[]0dy2
1x1
?1?x5dx?y5dy?1?x12dx?1?
040280364
5? 计算
?
dxdydz
? 其中?为平面x?0? y?0? z?0? x?y?z?1所围成的四面体?
解积分区域可表示为
??{| 0?z?1?x?y? 0?y?1?x? 0?x?1}?
11?x1?x?ydxdydz1??dx?dy?dz 于是3000?
1
1?x
??dx?
[
11]dy?1[1?3?1x]dx ??028828
??
11?x1?x?ydxdydz1?dxdydz 提示? ???3???3000?
1
1?x
11?x111]dy 1?x?y
]dy?dx[?0?0?0228?22
1
258
??dx?
??[
1
111?3?1x]dx ?x
?1y]1dx?[0?0288?28
15
?1ln?3x?1x2]10 ??81628
6? 计算xyzdxdydz? 其中?为球面x2?y2?z2?1及
三个坐标面所围成的在
?
第一卦限内的闭区域?
解积分区域可表示为
??{|0?z??x2?y2, 0?y??x2, 0?x?1} 于是
xyzdxdydz??0dx?0
?
1?x2
dy?
?x2?y2
xyzd z
??dx?
1?x2
1xydy11??x2dx?1?
08248
7? 计算xzdxdydz? 其中?是由平面z?0? z?y? y?1以及抛物柱面y?x2所
?
围成的闭区域?
解积分区域可表示为
??{| 0?z?y? x2?y?1? ?1?x?1}?
于是
xzdxdydz??xdx?2dy?zdz??xdx?21y2dy 1x0?1x2?
1
1
y
11
?1?xdx?0? ?1
1
8? 计算zdxdydz? 其中?是由锥面z?hx2?y2与平面z?h所
R?围成的闭区域?
解当0?z?h时? 过作平行于xOy面的平面? 截得立体?的截面为圆
2
z2? 于是 Dz? x2?y2?Rz)2? 故Dz的半径为Rz? 面积为?Rhhh
?Rzdxdydz??zdzdxdy2?0??h?
h
Dz
2
?0
h
z3dz??Rh?
22
9? 利用柱面坐标计算下列三重积分?
zdv? 其中?是由曲面z?2?x2?y2及z?x2?y2所围成的闭区域?
?
解在柱面坐标下积分区域?可表示为 02?? 01? ?2?z?2??2? 于是
zdv??dd??
?
2?12??2
00?2
1
zdz?2??1?d?
02
1
d??7??
012
dv? 其中?是由曲面x2?y2?2z及平面z?2所围成的闭区域?
?
解在柱面坐标下积分区域?可表示为
?2
?z?2?02?? 02?
于是dv??2??d?d?dz??d3d?12dz
?
?
2?22
00
2
?
??d??d8d??16??
000323
10? 利用球面坐标计算下列三重积分?
2
2?2?
dv? 其中?是由球面x2?y2?z2?1所围成的闭区域? ?
解在球面坐标下积分区域?可表示为 02??
0 0?r?1? 于是
222
r4?sin?drd?d? dv
?
??d??sin?d??r4dr?4??
0005
zdv? 其中闭区域?由不等式x2?y2?2?a2? x2?y2?z 所确定?
?
2??1
解在球面坐标下积分区域?可表示为 02?, 0, 0?r?2aco?s?
4于是zdv????rcos??r2sin?drd?d??
?
?
?co?s?14d??2??4sin04
?
?co5s?d??7?a4? ?8?a4?4sin011? 选用适当的坐标计算下列三重积分?
xydv? 其中?为柱面x2?y2?1及平面z?1? z?0? x?0? y?0所围成的在第
?
?
一卦限内的闭区域?
解在柱面坐标下积分区域?可表示为 0, 0???1, 0?z?1?
2于是
xydvcos???sin???d?d?dz ???
?
?
?co?sd3d??dz?1? ??2sin0008 1
1
?
别解? 用直角坐标计算。