高等数学第五章第3节定积分的换元与部分积分
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
b
证
则
设 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，
a f ( x )dx F (b) F (a ),
令 ( t ) F [ ( t )],
第 五 章 定 积 分
dF dx f ( x ) ( t ) f [( t )]( t ), ( t ) dx dt 所以 ( t )是 f [ ( t )] ( t )的一个原函数.
0 0 0
f (sin x )dx xf (sin x )dx,
0
xf (sin x )dx
2 0
f (sin x )dx.
- 18 -
第三节
定积分的积分换元法与分部积分法
0
第 五 章 定 积 分
x sin x sin x dx dx 2 2 2 0 1 cos x 1 cos x 1 d (cos x ) 2 2 0 1 cos x
所以
f [ ( t )] ( t )dt ( ) ( ),
F ( ( )) F ( ( )) F (b ) F (a )
a f ( x )dx
b
f [ ( t )] ( t )dt
-3-
第三节
定积分的积分换元法与分部积分法
a f ( x )dx a f ( x )dx 0
例7的几何解释
第 五 章 定 积 分
y
a
0
a
f ( x )dx 0.
y
f ( x)
a
o
a x
f ( x)
aHale Waihona Puke o偶函数a
x
奇函数
- 13 -
第三节
定积分的积分换元法与分部积分法
1
例8
计算 1
1
2 x 2 x cos x dx . 2 1 1 x
- 10 -
第三节
定积分的积分换元法与分部积分法
a
例6 计算 解
第 五 章 定 积 分
0
1 dx . 2 2 x a x
( a 0)
令 x a sin t , xat , 2 原式
2 0
dx a cos tdt ,
x 0 t 0,
a cos t dt 2 2 a sin t a (1 sin t )
0
100
0
| sin x | dx
100 2 sin xdx 100 2 cos x 0 200 2
- 16 -
第三节
定积分的积分换元法与分部积分法
2
例10 若
（1）
f ( x ) 在 [0,1] 上连续，证明
2
0
0
（ 2）
第 五 章 定 积 分
x sin x 由此计算 0 1 cos 2 x dx 证 （1）设 x t , dx dt , 2 x 0 t , x t 0, 2 2 0 2 sin t dt 0 f (sin x )dx 2 f 2
1 x cos x 2x2 dx dx 1 2 2 1 1 x 1 1 x
解 原式 1
第 五 章 定 积 分
偶函数
奇函数
40
1
2 2 x2 1 x (1 1 x ) dx 4 dx 2 2 0 1 1 x 1 (1 x )
40 (1 1 x )dx 4 40
a 0
a
0
a
0
f ( x )dx ,
① f ( x ) 为偶函数，则 f ( x ) f ( x ),
a f ( x )dx a f ( x )dx 0
- 12 -
a
0
a
f ( x )dx 20 f ( x )dx;
a
第三节
定积分的积分换元法与分部积分法
② f ( x ) 为奇函数，则 f ( x ) f ( x ),
f (cos t )dt f (cos x )dx;
0 0
- 17 2 2
xf (sin x )dx f (sin x )dx 0 2
f (sin x )dx f (cos x )dx
0
第三节
定积分的积分换元法与分部积分法
（2）设 x t dx dt ,
-5-
第三节
1 0
定积分的积分换元法与分部积分法
例2 求 x 2 1 x 2 dx. 解 令 x sint , dx cos tdt ,
x 0 t 0, x 1 t
第 五 章 定 积 分
2
原式
2 sin2 t cos 2 tdt 0
,
1 2 (1 cos 4t )dt 8 0 1 2 1 2 dt cos 4tdt 8 0 8 0
所以
T
f ( t )dt f ( t )dt
0
- 15 -
T
第三节
定积分的积分换元法与分部积分法
几何解释
y
第 五 章 定 积 分
o
T
T
x
由于 f ( x ) 1 cos 2 x 2 | sin x | 是以 为周期的 连续函数, 所以
0
100
1 cos 2 xdx 2
2
1
1
1 x 2 dx
单位圆的面积
4 .
- 14 -
第三节
定积分的积分换元法与分部积分法
例9 设 f ( x ) 是以 T 为周期的连续函数， 为任
一定数，证明
第 五 章 定 积 分
T
f ( t )dt f ( t )dt
0
T
并计算 证
T
T
0
100
第 五 章 定 积 分
2 t 11 1 原式 2tdt 2 dt 1 1 t 1 1 t 2 2 1 2 dt 2 dt 2t 1 2 2 ln(1 t ) 1 2 1 1 1 t
2( 2 1) 2(ln(1 2) ln 2)
2 2 2 2ln(1 2) 2ln 2
2 1 2 1 t sin 4t 8 0 32 0
16
-6-
第三节
1
定积分的积分换元法与分部积分法
1 例3 求 dx. 0 1 ex 2t 2 x 2 解 令 1 e t , x ln(t 1), dx 2 dt , t 1
第 五 章 定 积 分
x 0 t 2, x 1 t 1 e ,
第三节
定积分的积分换元法与分部积分法
第三节 定积分的换元积分法 与分部积分法
第 五 章 定 积 分
一 定积分的换元积分法
二 定积分的分部积分法
-1-
第三节
定积分的积分换元法与分部积分法
一 定积分的换元积分法
定理1 假设
（1） f ( x ) 在[a , b]上连续；
第 五 章 定 积 分
（2）函数 x ( t ) 在[ , ](或[ , ])上是单调的且有 连续导数；
0
1 6 2 1 cos x 6 6 0
-8-
第三节
1
定积分的积分换元法与分部积分法
例5 求 x 3 x 2 1dx.
0
2 x tan t , dx sec t , x 0 t 0, 解I 令 x 1 t , 4
第 五 章 定 积 分
原式 4 tan 3 t sec3 tdt 4 (sec2 t 1) sec2 td sec t
1 cos 2 xdx.
0 T T T
f ( t )dt f ( t )dt 0 f ( t )dt
令t T x
f ( t )dt
T
f ( t )dt
0
0
f ( x T )dx f ( x )dx
0
f ( t )dt
解I 令 t cos x, dt sin xdx ,
第 五 章 定 积 分
x t 0, 2
x 0 t 1,
0 5
6 0
0
2
t 1 cos x sin xdx 1 t dt . 61 6
5
解II 原式 2 cos5 xd cos x
1 1) 2 0
31 x 2 )2 0
1 1 ( x 2 1) 2 d ( x 2
第 五 章 定 积 分
1 2 0
1
3 ( x 2 1) 2 d ( x 2
1)
1 (1 5
51 x 2 )2 0
1 (1 3
4 1 2 1 2 2 5 5 3 3 2 (1 2 ) 15
例7 当 f ( x ) 在 [ a , a ]( a 0) 上连续，且有 ① f ( x ) 为偶函数，则 ② f ( x ) 为奇函数，则
第 五 章 定 积 分
a f ( x )dx 20 a f ( x )dx 0
a
a
a
a
f ( x )dx
证
a f ( x )dx a f ( x )dx 0 f ( x )dx, 0 在 a f ( x )dx 中令 x t , 0 0 a f ( x )dx a f ( t )dt f (t )dt
原式
1 e 2
2t dt 2 t ( t 1)
1 e 2
1 e 2
2 dt 2 ( t 1)
t 1 ln t 1
2 ln( 1 e 1) 2 ln( 2 1) 1
-7-
第三节
定积分的积分换元法与分部积分法
例4 计算
0
2
cos 5 x sin xdx.
arctan(cos x ) 0 2
2 ( ) . 4 2 4 4
- 19 -
b
说明 (1) 在计算定积分 f ( x )dx 时, 如果令 x ( t ), 则
a
第 五 章 定 积 分
(2) 用 x ( t ) 把变量 x 换成新变量t 时，积分限 也相应的改变. (3) 求出 f [ ( t )] ( t )的一个原函数( t ) 后，不必 象计算不定积分那样再要把( t ) 变换成原变量 x 的函 数，而只要把新变量t 的上、下限分别代入( t ) 然后相 减就行了.
（3）当 t 在区间[ , ](或[ , ])上变化时， x ( t ) 的值在[a , b]上变化，且 ( ) a 、 ( ) b ，
则有
a f ( x )dx
b
f [ ( t )] ( t )dt
-2-
第三节
定积分的积分换元法与分部积分法
0 0
1 5 1 3 4 4 2 2 2 1 1 ( sec t sec t ) 5 3 5 3 5 3 0 2 (1 2 ) 15
-9-
第三节
定积分的积分换元法与分部积分法
2
解II
0 x x 1dx 1 ( x 2 1 1) 0
3
1
x 2 1xdx
2 0
cos t 1 2 dt sin t cos t 2 0
1 1 ln sin t cos t 2 2 2
- 11 -
2 0
1 cos t sin t dt sin t cos t . 4
第三节
定积分的积分换元法与分部积分法
x 0 t ,
0
x t 0,
第 五 章 定 积 分
0 xf (sin x )dx ( t ) f [sin( t )]dt
( t ) f (sin t )dt ,
0
0 xf (sin x )dx
0
f (sin t )dt tf (sin t )dt
b
a
f ( x ) dx f ( ( t )) ( t )dt
-4-
第三节
1
定积分的积分换元法与分部积分法
1 dx . 例1 求 0 1 1 x
令 1 x t2, x t 2 1, x 0 t 1, x 1 t 2, 解
2
dx 2tdt ,
证
则
设 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，
a f ( x )dx F (b) F (a ),
令 ( t ) F [ ( t )],
第 五 章 定 积 分
dF dx f ( x ) ( t ) f [( t )]( t ), ( t ) dx dt 所以 ( t )是 f [ ( t )] ( t )的一个原函数.
0 0 0
f (sin x )dx xf (sin x )dx,
0
xf (sin x )dx
2 0
f (sin x )dx.
- 18 -
第三节
定积分的积分换元法与分部积分法
0
第 五 章 定 积 分
x sin x sin x dx dx 2 2 2 0 1 cos x 1 cos x 1 d (cos x ) 2 2 0 1 cos x
所以
f [ ( t )] ( t )dt ( ) ( ),
F ( ( )) F ( ( )) F (b ) F (a )
a f ( x )dx
b
f [ ( t )] ( t )dt
-3-
第三节
定积分的积分换元法与分部积分法
a f ( x )dx a f ( x )dx 0
例7的几何解释
第 五 章 定 积 分
y
a
0
a
f ( x )dx 0.
y
f ( x)
a
o
a x
f ( x)
aHale Waihona Puke o偶函数a
x
奇函数
- 13 -
第三节
定积分的积分换元法与分部积分法
1
例8
计算 1
1
2 x 2 x cos x dx . 2 1 1 x
- 10 -
第三节
定积分的积分换元法与分部积分法
a
例6 计算 解
第 五 章 定 积 分
0
1 dx . 2 2 x a x
( a 0)
令 x a sin t , xat , 2 原式
2 0
dx a cos tdt ,
x 0 t 0,
a cos t dt 2 2 a sin t a (1 sin t )
0
100
0
| sin x | dx
100 2 sin xdx 100 2 cos x 0 200 2
- 16 -
第三节
定积分的积分换元法与分部积分法
2
例10 若
（1）
f ( x ) 在 [0,1] 上连续，证明
2
0
0
（ 2）
第 五 章 定 积 分
x sin x 由此计算 0 1 cos 2 x dx 证 （1）设 x t , dx dt , 2 x 0 t , x t 0, 2 2 0 2 sin t dt 0 f (sin x )dx 2 f 2
1 x cos x 2x2 dx dx 1 2 2 1 1 x 1 1 x
解 原式 1
第 五 章 定 积 分
偶函数
奇函数
40
1
2 2 x2 1 x (1 1 x ) dx 4 dx 2 2 0 1 1 x 1 (1 x )
40 (1 1 x )dx 4 40
a 0
a
0
a
0
f ( x )dx ,
① f ( x ) 为偶函数，则 f ( x ) f ( x ),
a f ( x )dx a f ( x )dx 0
- 12 -
a
0
a
f ( x )dx 20 f ( x )dx;
a
第三节
定积分的积分换元法与分部积分法
② f ( x ) 为奇函数，则 f ( x ) f ( x ),
f (cos t )dt f (cos x )dx;
0 0
- 17 2 2
xf (sin x )dx f (sin x )dx 0 2
f (sin x )dx f (cos x )dx
0
第三节
定积分的积分换元法与分部积分法
（2）设 x t dx dt ,
-5-
第三节
1 0
定积分的积分换元法与分部积分法
例2 求 x 2 1 x 2 dx. 解 令 x sint , dx cos tdt ,
x 0 t 0, x 1 t
第 五 章 定 积 分
2
原式
2 sin2 t cos 2 tdt 0
,
1 2 (1 cos 4t )dt 8 0 1 2 1 2 dt cos 4tdt 8 0 8 0
所以
T
f ( t )dt f ( t )dt
0
- 15 -
T
第三节
定积分的积分换元法与分部积分法
几何解释
y
第 五 章 定 积 分
o
T
T
x
由于 f ( x ) 1 cos 2 x 2 | sin x | 是以 为周期的 连续函数, 所以
0
100
1 cos 2 xdx 2
2
1
1
1 x 2 dx
单位圆的面积
4 .
- 14 -
第三节
定积分的积分换元法与分部积分法
例9 设 f ( x ) 是以 T 为周期的连续函数， 为任
一定数，证明
第 五 章 定 积 分
T
f ( t )dt f ( t )dt
0
T
并计算 证
T
T
0
100
第 五 章 定 积 分
2 t 11 1 原式 2tdt 2 dt 1 1 t 1 1 t 2 2 1 2 dt 2 dt 2t 1 2 2 ln(1 t ) 1 2 1 1 1 t
2( 2 1) 2(ln(1 2) ln 2)
2 2 2 2ln(1 2) 2ln 2
2 1 2 1 t sin 4t 8 0 32 0
16
-6-
第三节
1
定积分的积分换元法与分部积分法
1 例3 求 dx. 0 1 ex 2t 2 x 2 解 令 1 e t , x ln(t 1), dx 2 dt , t 1
第 五 章 定 积 分
x 0 t 2, x 1 t 1 e ,
第三节
定积分的积分换元法与分部积分法
第三节 定积分的换元积分法 与分部积分法
第 五 章 定 积 分
一 定积分的换元积分法
二 定积分的分部积分法
-1-
第三节
定积分的积分换元法与分部积分法
一 定积分的换元积分法
定理1 假设
（1） f ( x ) 在[a , b]上连续；
第 五 章 定 积 分
（2）函数 x ( t ) 在[ , ](或[ , ])上是单调的且有 连续导数；
0
1 6 2 1 cos x 6 6 0
-8-
第三节
1
定积分的积分换元法与分部积分法
例5 求 x 3 x 2 1dx.
0
2 x tan t , dx sec t , x 0 t 0, 解I 令 x 1 t , 4
第 五 章 定 积 分
原式 4 tan 3 t sec3 tdt 4 (sec2 t 1) sec2 td sec t
1 cos 2 xdx.
0 T T T
f ( t )dt f ( t )dt 0 f ( t )dt
令t T x
f ( t )dt
T
f ( t )dt
0
0
f ( x T )dx f ( x )dx
0
f ( t )dt
解I 令 t cos x, dt sin xdx ,
第 五 章 定 积 分
x t 0, 2
x 0 t 1,
0 5
6 0
0
2
t 1 cos x sin xdx 1 t dt . 61 6
5
解II 原式 2 cos5 xd cos x
1 1) 2 0
31 x 2 )2 0
1 1 ( x 2 1) 2 d ( x 2
第 五 章 定 积 分
1 2 0
1
3 ( x 2 1) 2 d ( x 2
1)
1 (1 5
51 x 2 )2 0
1 (1 3
4 1 2 1 2 2 5 5 3 3 2 (1 2 ) 15
例7 当 f ( x ) 在 [ a , a ]( a 0) 上连续，且有 ① f ( x ) 为偶函数，则 ② f ( x ) 为奇函数，则
第 五 章 定 积 分
a f ( x )dx 20 a f ( x )dx 0
a
a
a
a
f ( x )dx
证
a f ( x )dx a f ( x )dx 0 f ( x )dx, 0 在 a f ( x )dx 中令 x t , 0 0 a f ( x )dx a f ( t )dt f (t )dt
原式
1 e 2
2t dt 2 t ( t 1)
1 e 2
1 e 2
2 dt 2 ( t 1)
t 1 ln t 1
2 ln( 1 e 1) 2 ln( 2 1) 1
-7-
第三节
定积分的积分换元法与分部积分法
例4 计算
0
2
cos 5 x sin xdx.
arctan(cos x ) 0 2
2 ( ) . 4 2 4 4
- 19 -
b
说明 (1) 在计算定积分 f ( x )dx 时, 如果令 x ( t ), 则
a
第 五 章 定 积 分
(2) 用 x ( t ) 把变量 x 换成新变量t 时，积分限 也相应的改变. (3) 求出 f [ ( t )] ( t )的一个原函数( t ) 后，不必 象计算不定积分那样再要把( t ) 变换成原变量 x 的函 数，而只要把新变量t 的上、下限分别代入( t ) 然后相 减就行了.
（3）当 t 在区间[ , ](或[ , ])上变化时， x ( t ) 的值在[a , b]上变化，且 ( ) a 、 ( ) b ，
则有
a f ( x )dx
b
f [ ( t )] ( t )dt
-2-
第三节
定积分的积分换元法与分部积分法
0 0
1 5 1 3 4 4 2 2 2 1 1 ( sec t sec t ) 5 3 5 3 5 3 0 2 (1 2 ) 15
-9-
第三节
定积分的积分换元法与分部积分法
2
解II
0 x x 1dx 1 ( x 2 1 1) 0
3
1
x 2 1xdx
2 0
cos t 1 2 dt sin t cos t 2 0
1 1 ln sin t cos t 2 2 2
- 11 -
2 0
1 cos t sin t dt sin t cos t . 4
第三节
定积分的积分换元法与分部积分法
x 0 t ,
0
x t 0,
第 五 章 定 积 分
0 xf (sin x )dx ( t ) f [sin( t )]dt
( t ) f (sin t )dt ,
0
0 xf (sin x )dx
0
f (sin t )dt tf (sin t )dt
b
a
f ( x ) dx f ( ( t )) ( t )dt
-4-
第三节
1
定积分的积分换元法与分部积分法
1 dx . 例1 求 0 1 1 x
令 1 x t2, x t 2 1, x 0 t 1, x 1 t 2, 解
2
dx 2tdt ,