2013年高考数学-北京理

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2021年普通高等学校招生全国统一考试
数
学〔理〕〔卷〕
本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上
作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一局部〔选择题共40分〕
一、
选择题共8小题，每题5分，共40分。

在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

〔1〕集合{}1,0,1A =-，{}|11B x x =-≤<，那么A
B =
〔A 〕{}0〔B 〕{}1,0-〔C 〕{}0,1 〔D 〕{}1,0,1- 〔2〕在复平面内，复数()2
2i -对应的点位于 〔A 〕第一象限〔B 〕第二象限
〔C 〕第三象限 〔D 〕第四象限
〔3〕“ϕπ=〞是“曲线()sin 2y x ϕ=+过坐标原点〞的 〔A 〕充分而不必要条件〔B 〕必要而不充分条件
〔C 〕充分必要条件〔D 〕既不充分也不必要条件
〔4〕执行如下图的程序框图，输出的S 值为 〔A 〕1〔B 〕2
3
〔C 〕
1321〔D 〕610987
〔5〕函数()f x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲 线x y e =关于y 轴对称，那么()f x = 〔A 〕1x e +〔B 〕1x e -
〔C 〕1x e -+〔D 〕1x e --
〔6〕假设双曲线22
221x y a b -=
那么其渐近线方程
为 〔A 〕2y x =±
〔B
〕y =
〔C 〕1
2
y x =±
〔D
〕y = 〔7〕直线l 过抛物线2:4C x y =的焦点且与y 轴垂直，那么l 与C
所围成的图形的面积等于
〔A 〕
43〔B 〕2〔C 〕8
3
〔D
〔8〕设关于x ，y 的不等式组210
00x y x m y m -+>⎧⎪
+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点()00,P x y ，满足
0022x y -=，求得m 的取值范围是
〔A 〕4,3⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭
〔B 〕1,3⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭
〔C 〕2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 〔D 〕5,3⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭
第二局部〔非选择题共110分〕
二、填空题共6小题，每题5分，共30分。

〔9〕在极坐标系中，点2,6π⎛⎫
⎪⎝⎭
到直线sin 2ρθ=的距离等于
___________．
〔10〕假设等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，那么公比
q =____；前n 项和n S =____．
〔11〕如图，AB 为圆O 的直径，P A 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ．假设3PA =，:9:16PD DB =，那么PD =___________；
AB =___________．
〔12〕将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全局部给4人，每人至少1张．如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是___________．
〔13〕向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如下图．假设c =λa +μb 〔λ，μ∈R 〕，那么
λ
μ
=___________． 〔14〕如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上．点P 到直线CC 1的距离的最小值为___________． 三、解答题共6小题，共80分。

解容许写出相应的文字说明，演算步骤或证明过程。

〔15〕〔本小题共13分〕
在△ABC 中，3a =
，b =2B A ∠=∠． 〔Ⅰ〕求cos A 的值；〔Ⅱ〕求c 的值．
A 1
〔16〕〔本小题共13分〕
下列图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
空气污染指数14日
13日12日11日9日日期
〔Ⅰ〕求此人到达当日空气重度污染的概率；〔Ⅱ〕设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望；〔Ⅲ〕由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？〔结论不要求证明〕
〔17〕〔本小题总分值14分〕
如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA C C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AA C C ，3AB =，5BC =．
〔Ⅰ〕求证：1AA ⊥平面ABC ；
〔Ⅱ〕求证二面角111A BC B --的余弦值；〔Ⅲ〕证明：在线段1BC 上存在点D ，使得1AD A B ⊥，并求
1
BD
BC 的值．
〔18〕〔本小题共13分〕设L 为曲线ln :x
C y x
=
在点()1,0处的切线．〔Ⅰ〕求L 的方程；〔Ⅱ〕证明：除切点()1,0之外，曲线C 在直线L 的下方．
C 1
B 1
A 1
C
B
A
〔19〕〔本小题共14分〕A ，B ，C 是椭圆2
2:14x W y +=上的三个点，O 是坐标原点．〔Ⅰ〕
当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；〔Ⅱ〕当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．
〔20〕〔本小题共13分〕
{}n a 是由非负整数组成的无穷数列．设数列前n 项的最大值为n A ，第n 项之后各项1n a +，2n a +，…的最小值记为n B ，n n n d A B =-．
〔Ⅰ〕假设{}n a 为2，1，4，3，2，1，4，3，…是一个周期为4的数列〔即对任意n ∈N *，4n n a a +=〕
， 写出1d 、2d 、3d 、4d 的值；〔Ⅱ〕设d 是非负整数．证明：()1,2,3,n d d n =-=的充
分必要条件是{}n a 是公差为d 的
等差数列；〔Ⅲ〕证明：假设12a =，()11,2,3,n d n ==，那么{}n a 的项只能是1或者
2，且有无穷多项
为1．
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数学〔理〕〔卷〕参考答案
一、选择题〔共8小题，每题5分，共40分〕
〔1〕B 〔2〕D 〔3〕A 〔4〕C 〔5〕D 〔6〕B 〔7〕C
〔8〕C
二、填空题〔共6小题，每题5分，共30分〕 〔9〕1
〔10〕2122n +-
〔11〕9
54
〔12〕96 〔13〕4
〔14
三、解答题〔共6小题，共80分〕 〔15〕〔共13分〕
解：〔Ⅰ〕因为3a =
，b =2B A ∠=∠， 所以在△ABC
中由正弦定理得3sin A =
．
所以
2sin cos sin A A A =
故cos A =
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知cos A =
sin A ． 又因为2B A ∠=∠，所以21cos 2cos 13
B A =-=．
所以sin B =． 在△ABC 中()sin sin C A B =+
sin cos cos sin A B A B
=+=所以sin 5sin a C
c A ==． 〔16〕〔共13分〕
解：设A i 表示事件“此人于3月i 日到达该市〞〔i=1，2，…，13〕．
根据题意，()1
13
i P A =
，且().i j A A i j =∅≠
〔Ⅰ〕设B 为事件“此人到达当日空气重度污染〞，那么58.
B A A =
所以()()5
82.13
P B P A A ==
〔Ⅱ〕由题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2，且
()()
3
67
111P X P A A A A == ()()()()367114,13P A P A P A P A =+++=
()()
1
2
12
132P X P A A A A == ()()()()1212134,13P A P A P A P A =+++=
()()()51112.13P X P X P X ==-=-==
所以X 的分布列为：
故X 的期望54412
012.13131313
EX =⨯
+⨯+⨯=〔Ⅲ〕
从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．
〔17〕〔共14分〕
解：〔Ⅰ〕因为11AAC C 是正方形，所以1AA AC ⊥． 因为11ABC AAC C ⊥平面平面，且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ，
所以1AA ⊥平面ABC ．
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知1AA AC ⊥，1AA ⊥AB ．
由题知AB =3，BC =5，AC =4，所以AB AC ⊥． 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -，那么()0,3,0B ，()10,0,4A ，()10,3,4B ，()14,0,4C ．
设平面11A BC 的法向量为(),,x y z n ，那么 111
0,
0.A B AC ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩n n
即340,
40.y z x -=⎧⎨=⎩
令z =3，那么x =0，y =4，所以()0,4,3=n ．
同理可得平面11BB C 的法向量为()3,4,0=m ．所以
16cos ,.25
⋅=
=⋅n m n m n m
由题知二面角111A BC B --为锐角，
所以二面角111A BC B --的余弦值为
16
.25
〔Ⅲ〕设点D (),,x y z 是直线BC 1上一点，且1.BD BC λ= 所以()(),3,4,3,4x y z λ-=-．
解得4,33,4.x y z λλλ==-=
所以()4,33,4.
AD λλλ=-
由10AD A B ⋅=，即9250λ-=， 解得925
λ=． 因为
[]9
0,125∈，所以在线段BC 1上存在点D ，使得1AD A B ⊥．
此时19.25BD BC λ==
〔18〕〔共13分〕 解：〔Ⅰ〕设()ln x f x x =，那么()21ln 'x f x x
-=． 所以()'11f =．
所以L 的方程为1y x =-．〔Ⅱ〕令()()1g x x f x =--，那么除切点之外，
曲线C 在直线L 的下方等价于 ()()001g x x x ∀>≠，＞．
()g x 满足()1=0g ，且
()()221ln 1=
x x
g x f x x -+''=-． 当0＜x ＜1时，210ln 0x x -＜，＜，所以()0g x '＜，故()g x 单调递减；
当x ＞1时，210ln 0x x -＞，＞，
所以()0g x '＞，故()g x 单调递减．
所以()()()1=001.
g x g x x ∀>≠，＞
所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方． 〔19〕〔共14分〕
解：〔Ⅰ〕椭圆2
2:14x W y +=的右顶点B 的坐标为〔2，0〕．
因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．
所以可设A 〔1，m 〕，代入椭圆方程得21
14
m +=，即m =
所以菱形OABC 的面积是11
2222
OB AC m ⋅=⨯⨯=
〔Ⅱ〕假设四边形OABC 为菱形．
因为点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为
()0,0.
y kx m k m =+≠≠
由2244,
.y m x y kx =+⎧+=⎨⎩
消去y 并整理得
()2
2
2148440.k x
kmx m +++-=
设()11,A x y ，()22,C x y ，那么
12121222
42142214x x y y x x km m
,k m .k k +++=-=⋅+=++ 所以AC 的中点为
2241414km m M ,.k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭
因为M 为AC 和OB 的交点，所以直线OB 的斜率为1
4.k
-
因为114k k ⎛⎫⋅-≠- ⎪⎝⎭
，所以AC 与OB 不垂直．
所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．
所以当点B 不是
W 的顶点时，判断四边形OABC 不可能是菱形． 〔20〕〔共13分〕
解：〔Ⅰ〕121d d ==，343d d ==．
〔Ⅱ〕〔充分性〕因为{}n a 是公差为d 的等差数列，且d ≥0，所以
12n a a a ≤≤…≤≤….
因此n n A a =，1n n B a +=，()11,2,3,
n n n d a a d n +=-=-=．
〔必要性〕因为()01,2,3,
n d d n =-=≤，所以.n n n n A B d B =+≤
又因为n n a A ≤，1n n a B +≥，
所以+1n n a a .≤
于是，=n n A a ，1=.n n B a +
因此1n n n n n a a B A d d +-=-=-=，
即{}n a 是公差为d 的等差数列．
〔Ⅲ〕因为12a =，1n d =，所以11=2A a =，1111B A d =-=． 故对任意n ≥1，a n ≥B 1=1．
假设{}()2n a n ≥不存在大于2的项．
设m 为满足a m ＞2的最小正整数， 那么2m ≥，并且对任意1≤k ＜m ，a k ≤2． 又因为12a =，所以A m -1=2，且A m =a m ＞2．
于是21=1m m m B A d =--＞，{}1min 2m m m B a ,B .-=≥
故111220m m m d A B ---=--=≤，与11m d -=矛盾． 所以对于任意n ≥1，a n ≤2=a 1，
所以A n =2．
故21 1.
n n n B A d =-=-=
因此对于任意正整数n ，存在m 满足m ＞n ，且1m a =，即数列{}n a 有无
穷多项为1．。