2025届广东省佛山市南海中学高考仿真卷数学试卷含解析

2025届广东省佛山市南海中学高考仿真卷数学试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（ ） A ．82
B ．8
C ．42
D ．4
2．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式1
()3
V S S S S h =++下下上上•）. A ．2寸
B ．3寸
C ．4寸
D ．5寸
3．已知数列{}n a 中，12a =，1
1
1n n a a -=-(2n ≥)，则2018a 等于（ ） A ．
12
B ．12
-
C ．1-
D ．2
4．5
()(2)x y x y +-的展开式中3
3
x y 的系数为( ) A ．－30
B ．－40
C ．40
D ．50
5．已知i 为虚数单位，若复数12z i =+，15z z ⋅=，则||z = A ．1 B ．5 C ．5
D ．55 6．用数学归纳法证明，则当时，左端应在
的基础上加上（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若对任意的()0,x ∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立，记()23m n +的最小值为(),f m n ，则(),f m n 最大值为（ ）
A ．1
B ．
1
e
C ．
2
1e D
8．已知()
A ，)
B
，P 为圆221x y +=上的动点，AP PQ =，过点P 作与AP 垂直的直线l 交直线QB
于点M ，若点M 的横坐标为x ，则x 的取值范围是（ ）
A ．1x ≥
B ．1x >
C ．2x ≥
D ．x ≥
9．设函数()()ln 1f x x =-的定义域为D ，命题p ：x D ∀∈，()f x x ≤的否定是（ ） A ．x D ∀∈，()f x x > B ．0x D ∃∈，()00f x x ≤ C ．x D ∀∉，()f x x >
D ．0x D ∃∈，()00f x x >
10．在平面直角坐标系xOy 中，锐角θ顶点在坐标原点，始边为x 轴正半轴，终边与单位圆交于点P m ⎫
⎪⎪⎝⎭
，则
sin 24πθ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭（ ）
A ．
10
B ．
10
C ．
10
D
11．已知关于x sin 2x x m π⎛⎫
+-= ⎪⎝⎭
在区间[)0,2π上有两个根1x ，2x ，且12x x π-≥，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．10,2⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
B ．[)1,2
C ．[)0,1
D ．[]0,1
12．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B R = C ．{|1}A
B x x =>
D ．A
B =∅
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量,a b 满足1a b ⋅=-，()
23a a b -=，则a =______________.
14． “直线l 1：10ax y ++=与直线l 2：430x ay ++=平行”是“a ＝2”的_______条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）．
15．设,x y 满足约束条件001030x y x y x y >⎧⎪>⎪⎪
-+>⎨⎪+-<⎪⎪⎩
，则2z x y =-的取值范围为__________.
16．设变量x ，y 满足约束条件20
24030x y x y y -+≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，则目标函数2z x y =-的最小值为______．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）2018年9月，台风“山竹”在我国多个省市登陆，造成直接经济损失达52亿元.某青年志愿者组织调查了某地区的50个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的数据分成五组：[0,2000]，(2000,4000]，
(4000,6000]，(6000,8000]，(8000,10000]（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图.
（1）试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这50户并且损失超过4000元的农户中随机抽取2户进行重点帮扶，设抽出损失超过8000元的农户数为X ，求X 的分布列和数学期望. 18．（12分）已知抛物线2
4C y x =：的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点M ，点P 在抛物线上，直线PF 与抛物线C 交
于另一点A .
（1）设直线MP ，MA 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k +常数；
（2）①设PMA ∆的内切圆圆心为(,)G a b 的半径为r ，试用r 表示点G 的横坐标a ； ②当PMA ∆的内切圆的面积为
1
2
π时，求直线PA 的方程.
在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为2
12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建
立极坐标系，且曲线C
的极坐标方程为4πρθ⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
. （1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
（2）设直线l 上的定点P 在曲线C 外且其到C
，试求点P 的坐标. 20．（12分）n S 是数列{}n a 的前n 项和，且21122
n n a S n n -=-. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若25n a
n n b a =-，求数列{}n b 中最小的项.
21．（12分）已知函数()tan sin 2202f x x a x x x π⎛⎫
=+-≤< ⎪⎝
⎭
． （1）若0a =，求函数()f x 的单调区间； （2）若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．
22．（10分）已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的两个焦点是1F ，2F
，)
M
在椭圆C 上，且124MF MF +=，
O 为坐标原点，直线l 与直线OM 平行，且与椭圆交于A ，B 两点.连接MA 、MB 与x 轴交于点D ，E .
（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求证：OD OE +为定值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【解析】
将直线方程1y x =-代入抛物线方程，根据根与系数的关系和抛物线的定义即可得出FA FB -的值． 【详解】
F （1，0），故直线AB 的方程为y ＝x ﹣1，联立方程组241
y x
y x ⎧=⎨=-⎩，可得x 2﹣6x+1＝0，
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由根与系数的关系可知x 1+x 2＝6，x 1x 2＝1． 由抛物线的定义可知：|FA|＝x 1+1，|FB|＝x 2+1， ∴||FA|﹣|FB||＝|x 1﹣x 2|
==
故选C ． 【点睛】
本题考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，属于中档题． 2、B 【解析】
试题分析：根据题意可得平地降雨量2221
9(106)
33
14πππ
⨯⨯+==，故选B.
考点：1.实际应用问题；2.圆台的体积. 3、A 【解析】
分别代值计算可得，观察可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，问题得以解决. 【详解】
解：∵12a =，1
1
1n n a a -=-
(2n ≥)， 211122
a ∴=-
=， 3121a =-=-， 41(1)2a =--=，
511122
a =-
=， …，
∴数列{}a 是以3为周期的周期数列，
201836722=⨯+， 2018212
a a ∴==
， 故选：A. 【点睛】
本题考查数列的周期性和运用：求数列中的项，考查运算能力，属于基础题. 4、C 【解析】
先写出()5
2x y -的通项公式，再根据3
3
x y 的产生过程，即可求得.
【详解】
对二项式()5
2x y -，
其通项公式为()
()
()555155221r
r
r
r
r r
r r r T C x y C x y ---+=-=-
5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数
是()5
2x y -展开式中23x y 的系数与32
x y 的系数之和. 令3r =，可得23x y 的系数为()3
32
52140C -=-；
令2r =，可得3
2
x y 的系数为()2
2352180C -=；
故5()(2)x y x y +-的展开式中33
x y 的系数为804040-=. 故选：C. 【点睛】
本题考查二项展开式中某一项系数的求解，关键是对通项公式的熟练使用，属基础题. 5、B 【解析】 由15z z ⋅=可得15z z =，所以
1555
5||2i ||||5
z z +====，故选B ． 6、C 【解析】
首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n 1=
时，当n=k+1时左端应在n=k 的基础上加上的式子，可以分别
使得n=k ，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k 时等式的左端，即可得到答案．
当n=k 时，等式左端=1+1+…+k 1，
当n=k+1时，等式左端=1+1+…+k 1+k 1+1+k 1+1+…+（k+1）1，增加了项（k 1+1）+（k 1+1）+（k 1+3）+…+（k+1）1． 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查数学归纳法，属于中档题./ 7、C 【解析】
对任意的()0,x ∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立，因为ln (23)x m x n ≤++，对()0,x ∈+∞恒成立，可得230m +>，令ln (23)y x m x n =-+-，可得1
(23)y m x
'=-+，结合已知，即可求得答案. 【详解】
对任意的()0,x ∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立
∴ln (23)x m x n ≤++，对()0,x ∈+∞恒成立， ∴230m +>
令ln (23)y x m x n =-+-，
可得1
(23)y m x
'=
-+ 令0y '=，得1
23
x m =
+ 当1
23
x m >+，0y '<
当1
023x m <<
+0y '> ∴123x m =+，max 1
ln
1023
y n m =--≤+，123n m e --+≥ 故1(23)(,)n n
m n f m n e ++≥=
11(,)n n
f m n e
+-'=
令110n n
e
+-=，得 1n = ∴当1n >时，(,)0f m n '<
当1n <，(,)0f m n '>
∴当1n =时，max 21(,)f m n e
=
本题主要考查了根据不等式恒成立求最值问题，解题关键是掌握不等式恒成立的解法和导数求函数单调性的解法，考查了分析能力和计算能力,属于难题. 8、A 【解析】
由题意得2MB MA BQ OP -==，即可得点M 的轨迹为以A ，B 为左、右焦点，1a =的双曲线，根据双曲线的性质即可得解. 【详解】
如图，连接OP ，AM ，
由题意得22MB MA BQ OP -===，
∴点M 的轨迹为以A ，B 为左、右焦点，1a =的双曲线，
∴1x ≥.
故选：A.
【点睛】
本题考查了双曲线定义的应用，考查了转化化归思想，属于中档题. 9、D 【解析】
根据命题的否定的定义，全称命题的否定是特称命题求解. 【详解】
因为p ：x D ∀∈，()f x x ≤是全称命题， 所以其否定是特称命题，即0x D ∃∈，()00f x x >.
【点睛】
本题主要考查命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 10、A 【解析】
根据单位圆以及角度范围，可得m ，然后根据三角函数定义，可得sin ,cos θθ，最后根据两角和的正弦公式，二倍角公式，简单计算，可得结果. 【详解】
由题可知：2
2
1m +=⎝⎭
，又θ为锐角
所以0m >，m =
根据三角函数的定义：25
5sin ,cos 55
θθ 所以4sin 22sin cos 5θθθ==
223
cos 2cos sin 5
θθθ=-=-
由sin 2sin 2cos cos 2sin 444
πππ
θθθ⎛⎫
+
=+ ⎪⎝
⎭
所以43sin 24525210
πθ⎛⎫
+=⨯-= ⎪
⎝
⎭ 故选：A 【点睛】
本题考查三角函数的定义以及两角和正弦公式，还考查二倍角的正弦、余弦公式，难点在于公式的计算，识记公式，简单计算，属基础题. 11、C 【解析】
先利用三角恒等变换将题中的方程化简，构造新的函数2sin()6
y x π
=+，将方程的解的问题转化为函数图象的交点问
题，画出函数图象，再结合12x x π-≥，解得m 的取值范围. 【详解】
由题化简得3sin cos x x m +=，2sin()6
m x π
=+，
作出2sin()6
y x π
=+
的图象，
又由12x x π-≥易知01m ≤<． 故选：C. 【点睛】
本题考查了三角恒等变换，方程的根的问题，利用数形结合法，求得范围.属于中档题. 12、A 【解析】
∵集合{|31}x B x =< ∴{}|0B x x =< ∵集合{|1}A x x =<
∴{}|0A B x x ⋂=<，{}|1A B x x ⋃=< 故选A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1 【解析】
首先根据向量的数量积的运算律求出2
a ，再根据2
a a =计算可得；
【详解】
解：因为()
23a a b -=， 所以2
23a a b -= 又1a b =- 所以21a = 所以2
故答案为：1 【点睛】
本题考查平面向量的数量积的运算，属于基础题. 14、必要不充分 【解析】
先求解直线l 1与直线l 2平行的等价条件，然后进行判断. 【详解】
“直线l 1：10ax y ++=与直线l 2：430x ay ++=平行”等价于a ＝±2，
故“直线l 1：10ax y ++=与直线l 2：430x ay ++=平行”是“a ＝2”的必要不充分条件． 故答案为：必要不充分. 【点睛】
本题主要考查充分必要条件的判定，把已知条件进行等价转化是求解这类问题的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养. 15、()1,6- 【解析】
由题意画出可行域，转化目标函数2z x y =-为2y x z =-，数形结合即可得到z 的最值，即可得解. 【详解】
由题意画出可行域，如图：
转化目标函数2z x y =-为2y x z =-，
通过平移直线2y x z =-，数形结合可知：当直线2y x z =-过点A 时，直线截距最大，z 最小；当直线2y x z =-过点C 时，直线截距最小，z 最大.
由010x x y =⎧⎨-+=⎩可得()0,1A ，由030y x y =⎧⎨+-=⎩
可得()3,0C ，
当直线过点()0,1A 时，1z =-；当直线过点()3,0C 时，6z =， 所以16z -<<. 故答案为：()1,6-.
【点睛】
本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合思想，属于基础题.
16、-8
【解析】
通过约束条件，画出可行域，将问题转化为直线
1
22
z
y x
=-在y轴截距最大的问题，通过图像解决.
【详解】
由题意可得可行域如下图所示：
令
1
22
z
y x
=-，则
min
z即为在y轴截距的最大值
由图可知：
当
1
22
z
y x
=-过()
2,3
A-时，在y轴截距最大min
2238
z
∴=--⨯=-本题正确结果：8
-【点睛】
本题考查线性规划中的z ax by =+型最值的求解问题，关键在于将所求最值转化为在y 轴截距的问题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）3360元；（2）见解析 【解析】
（1）根据频率分布直方图计算每个农户的平均损失；
（2）根据频率分布直方图计算随机变量X 的可能取值，再求X 的分布列和数学期望值． 【详解】
（1）记每个农户的平均损失为元，则
10000.330000.4x =⨯+⨯+ 50000.1870000.0690000.063360⨯+⨯+⨯=；
（2）由频率分布直方图，可得损失超过1000元的农户共有（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50＝15（户），损失超过8000元的农户共有0.00003×2000×50＝3（户）， 随机抽取2户，则X 的可能取值为0，1，2； 计算P （X ＝0）＝
＝
，
P （X ＝1）＝＝，
P （X ＝2）＝＝，
所以X 的分布列为； X 0 1 2 P
数学期望为E （X ）＝0×+1×
+2×
＝．
【点睛】
本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，属于中档题．
18、（1）证明见解析；（2）①24r a =；②3410x y -=.
【解析】
（1）设过F 的直线1x my =+交抛物线于11(,)P x y ，22(,)A x y ，联立2
4y x =，利用直线的斜率公式和韦达定理表
示出12k k +，化简即可；
（2）由（1）知点G 在x 轴上，故(),0G a ，设出直线,PA PM 方程，求出交点P 坐标，因为内心到三角形各边的距离相等且均为内切圆半径，列出方程组求解即可. 【详解】
（1）设过F 的直线1x my =+交抛物线于11(,)P x y ，22(,)A x y ，(1,0)M -
联立方程组214x my y x
=+⎧⎨=⎩，得：2
440y my --=.
于是，有：1212
44y y m
y y +=⎧⎨
⋅=-⎩ 12122112
12121212111
y y y x y x y y k k x x x x x x +++∴+=
+=+++++， 又12211212121211
()()(4)44044
y x y x y y y y y y y y m m +++=
⋅+++=⋅-⋅+=， 120k k ∴+=；
（2）①由（1）知点G 在x 轴上，故(),0G a ，联立
,PA PM 的直线方程：11x my x ny =+⎧⎨=-⎩
. 2,m n P n m n m +⎛⎫∴ ⎪--⎝⎭
，又点P 在抛物线24y x =上，得221n m -=，
(
)()()
()
()
222222
222
11411r m a r r n m a r n a ⎧+=-⎪==⇒⇒-=⎨+=+⎪⎩， 2
4
r a ∴=；
②由题得，2
2112
28
S r r a π
π==⇒=
⇒= （解法一）
()2
2111128+m ⎛⎫
⇒=- ⎪⎝⎭
m ⇒=
所以直线PA
的方程为10x y ±-= （解法二）
设内切圆半径为r ，则2
2
r
.设直线PM 的斜率为k ，则： 直线MP 的方程为：(1)y k x =+代入直线PA 的直线方程，
可得12(
,)11mk k
P mk mk
+--
于是有：221(
)411k mk
mk mk
+=⋅--， 得2
2
(1)1k m +=，
又由（1）可设内切圆的圆心为(,0).t
则2==，
即：22222
12(1)2(1)1m t k t k ⎧+=-⎨+=+⎩
，解得：188t m ⎧=⎪⎪
⎨⎪=±
⎪⎩
所以，直线PA
的方程为：10x y ±-=. 【点睛】
本题主要考查了抛物线的性质，直线与抛物线相关的综合问题的求解，考查了学生的运算求解与逻辑推理能力. 19、（1）l 的普通方程为10x y -+=．C 的直角坐标方程为2
2
(1)(1)2x y -+-= （2）（-1，0）或（2，3） 【解析】
（1）对直线l
的参数方程1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
消参数t 即可求得直线l 的普通方程，
对4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭整理并两边乘以
ρ，结合cos x ρθ=，sin y ρθ=即可求得曲线C 的直角坐标方程。

（2）由（1）得：曲线C 是以Q （1,1
P 的坐标为(),1x x +
，由题可得：PQ =利用两点距离公式列方程即可求解。

【详解】
解：（1
）由2
12x y ⎧=
⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
消去参数t ，得1y x =+．
即直线l 的普通方程为10x y -+=．
因为2),(cos sin )2(cos sin )4
2
π
ρθρθθρθθ=-
∴=+⋅
=+ 又cos x ρθ=，sin y ρθ=
∴曲线C 的直角坐标方程为2
2
(1)(1)2x y -+-=
（2）由2
2
(1)(1)2x y -+-=知，曲线C 是以Q （1,1
为半径的圆 设点P 的坐标为(),1x x +，则点P 到C 上的点的最短距离为|PQ|
-
即
PQ ==220x x --=，解得121,2x x =-=
所以点P 的坐标为（-1，0）或（2，3） 【点睛】
本题主要考查了参数方程化为普通方程及极坐标方程化为直角坐标方程，还考查了转化思想及两点距离公式，考查了方程思想及计算能力，属于中档题。

20、（1）n a n =；（2）7-. 【解析】 （1）由21122n n a S n n -=
-可得出()()2
11111122
n n a S n n ++-=+-+，两式作差可求得数列{}n a 的通项公式； （2）求得25n
n b n =-，利用数列的单调性的定义判断数列{}n b 的单调性，由此可求得数列{}n b 的最小项的值.
【详解】
（1）对任意的n *∈N ，由21122n n a S n n -=-得()()2
11111122
n n a S n n ++-=+-+， 两式相减得n a n =，
因此，数列{}n a 的通项公式为n a n =；
（2）由（1）得25n
n b n =-，则()()
1
12
512525n n n
n n b b n n ++⎡⎤-=-+--=-⎣⎦
. 当2n ≤时，1
0n
n
b b ，即1n n b b +<，123b b b ∴>>；
当3n ≥时，10n n b b +->，即1n n b b +>，345b b b ∴<<<
.
所以，数列{}n b 的最小项为3
32537b =-⨯=-.
【点睛】 本题考查利用n
S 与
n
a 的关系求通项，同时也考查了利用数列的单调性求数列中的最小项，考查推理能力与计算能力，
属于中等题.
21、（1）增区间为,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间为0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭
；（2）1,2π⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】
（1）将0a =代入函数()y f x =的解析式，利用导数可得出函数()y f x =的单调区间；
（2）求函数()y f x =的导数，分类讨论a 的范围，利用导数分析函数()y f x =的单调性，求出函数()y f x =的最值可判断()0f x ≥是否恒成立，可得实数a 的取值范围． 【详解】
（1）当0a =时，()sin tan 220cos 2x f x x x x x x π⎛
⎫=-=
-≤< ⎪⎝
⎭， 则()2222222
cos sin 112cos cos 222cos cos cos cos x x x x
f x x x x x
+-'=-=-==-， 当04
x π
≤<时，cos20x >，则()0f x '<，此时，函数()y f x =为减函数； 当
4
2
x π
π
<<
时，cos20x <，则()0f x '>，此时，函数()y f x =为增函数.
所以，函数()y f x =的增区间为,42ππ⎛⎫
⎪⎝⎭，减区间为0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭； （2）()tan sin 2202f x x a x x x π⎛⎫
=+-≤<
⎪⎝
⎭
，则()00f =， ()()2
22
112cos 2222cos 12cos cos f x a x a x x x
'=
+-=+--()()()22
4222
2cos 12cos 14cos 22cos 1cos cos x a x a x a x x x
---++==. ①当21a ≤时，即当1
2
a ≤时，22cos 10a x -≤， 由()0f x '≥，得
4
2
x π
π
≤<
，此时，函数()y f x =为增函数；
由()0f x '≤，得04
x π
≤≤
，此时，函数()y f x =为减函数.
则()()min 004f x f f π⎛⎫
=<= ⎪⎝⎭
，不合乎题意；
②当21a >时，即1
2
a >
时， (
)f x '=
.
不妨设0cos x =
00,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，令()0f x '=，则4x π=或0x . （i ）当1a >时，04
x π
>，
当04
x π
≤<时，()0f x '>，此时，函数()y f x =为增函数；
当
04
x x π
<<时，()0f x '<，此时，函数()y f x =为减函数；
当02
x x π
<<
时，()0f x '>，此时，函数()y f x =为增函数.
此时()()(){}
0min min 0,f x f f x =，
而()()
()2
000000000tan sin 22tan 12cos 22tan f x x a x x x a x x x x =+-=+-=-，
构造函数()tan g x x x =-，02
x π
<<
，则()2
2
11tan 0cos g x x x
'=
-=>， 所以，函数()tan g x x x =-在区间0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递增，则()()00g x g >=， 即当0,
2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，tan x x >，所以，()()0002tan 0f x x x =->. ()()min 00f x f ∴==，符合题意；
②当1a =时，()0f x '≥，函数()y f x =在0,2π⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
上为增函数，
()()min 00f x f ∴==，符合题意；
③当
112a <<时，同理可得函数()y f x =在[)00,x 上单调递增，在0,4x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,42ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，
此时()()min min 0,4f x f f π⎧⎫
⎛⎫=⎨⎬
⎪⎝⎭⎩⎭
，则1042f a ππ⎛⎫
=+-≥ ⎪⎝⎭
，解得112a π-≤<.
综上所述，实数a 的取值范围是1,2π⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
. 【点睛】
本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，正确求导和分类讨论是关键，属于难题.
22、（1）22
142
x y +=（2）证明见解析
【解析】
（1）根据椭圆的定义可得2a =，将M 代入椭圆方程，即可求得b 的值，求得椭圆方程；
（2）设直线AB 的方程，代入椭圆方程，求得直线MA 和MB 的方程，求得D 和E 的横坐标，表示出OD OE +，根据韦达定理即可求证OD OE +为定值. 【详解】
（1）因为124MF MF +=，由椭圆的定义得24a =，2a =，
点)
M
在椭圆C 上，代入椭圆方程，解得22b =，
所以C 的方程为22
142
x y +=；
（2）证明：设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB
的斜率为
2
，设直线l
的方程为2y x t =+，
联立方程组22
14
2y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y
，整理得2220x t +-=，
所以12x x +=，2
122x x t =-，
直线MA
的直线方程为1y x -=
，令0y =
，则111
D x x y =--
同理221
E x x y =-
-
所以：122
1
x O x y OE y D
--=+-+121211x x y y ⎛⎫+ -⎝=⎪ ⎪-⎭
=
=，
代入整理得22OD OE += 所以OD OE +为定值. 【点睛】
本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，属于中档题.。