例说平方差公式、完全平方公式的结构特征

例说平方差公式、完全平方公式的结构特征
师：同学们，我们已经学习了如下两个乘法公式： 平方差公式：（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2 完全平方公式：(a ±b)2＝a 2±2ab ＋b 2
你能说出它们的结构特征吗？
快嘴朱春明没举手就迅速站起来说：“平方差公式的左边是两个数的和乘以这两个数的差，右边是这两个数的平方差。

”
小百灵陈海田也不甘示弱，道：“完全平方公式的结构特征是左边是两个数的和（或差）的平方，右边是这两个数的平方和加上（或减去）这两个数乘积的2倍。

”
小眼镜于政慢条斯理地接着说：“左边都是二项式乘以二项式，右边只是一个多项式。

” 细心的许洪秀象发现新大陆一样，激动地说：“这两个公式，从左向右看，属于整式的乘法运算，从右向左看，属于因式分解。

” 平时在符号上常出错的牛川同学说：“平方差公式中的两个平方项是异号，一正一负；而完全平方公式中的两个平方项是同号，都为正，乘积项的符号取决于原来两个数a 、±b 的符号，同号得正，异号得负。

”
师：同学们的发现都是对的。

你有胆量运用乘法公式解决下列问题吗？
例1、计算：(1) (2m －3n)( 2m ＋3n); (2) (－3＋2a)(―3―2a); (3) (－5＋2x)(－2x －5).
韩金轩同学分析道：“这三小题都可以用平方差公式进行计算，关键是要正确确定公式中的两个数分别是什么，它们分别是2m 与3n 、－3与2a 、－5与2x ，结果等于它们的平方差。

”于是，解题过程如下： 解：（1）原式＝（2m ）2－（3n ）2＝4m 2－9n 2; （2）原式＝（－3）2－（2a ）2＝9－4a 2; （3）原式＝（－5）2－（2x ）2＝25－4x 2. 例2、计算：（1） (－
4
3m ＋
3
4n)2; （2） (－2a 2－7b)2.
不太善于表达的陈博同学在较短时间内，把自己的解法呈现给大家： 解：（1）方法一：原式＝（－
4
3m ）2＋2×（－
4
3m ）×
3
4n ＋（
3
4n ）2
＝
169 m 2－2mn ＋9
16 n 2
方法二：原式＝(
3
4n －
4
3m)2 （把－
4
3m 、
3
4n 互换位置） ＝（3
4n ）2－2×
34n ×
4
3m ＋（
4
3m ）2
＝
9
16 n 2－2mn ＋
16
9 m 2
（2）方法一：原式＝（－2a 2
）2
－2×（－2a 2
）×7b ＋(7b)2
＝4a 4＋28 a 2b ＋49 b 2
方法二：原式＝［－（2a 2＋7b)］2＝（2a 2＋7b)2
＝（2a 2）2＋2×2a 2×7b ＋(7b)2 ＝4a 4＋28 a 2b ＋49 b 2
例3、计算：（a ＋b －c ）（a －b ＋c ）.
善于变通的任加林同学，沉默了一会儿，说：“这是三项式乘以三项式，第一项相同（都是a ），第二、三项＋b －c 、－b ＋c 互为相反数，根据整体思想，可以写成＋（b －c ）、－（b －c ），这样就符合平方差公式。

”于是，解题过程如下： 解：原式＝［a ＋（b －c ）］［a －（b －c ）］
＝a 2 －（b －c ）2 ＝a 2－（b 2－2bc ＋c 2） ＝a 2－b 2＋2bc －c 2
例4、你能用乘法公式计算(a ＋9)(a ＋1)吗？
爱动脑筋的祁金龙同学，一会儿皱着眉头，一会儿动手疾书，终于想出了办法：“根据平方差公式，因为（a ＋b ）＋（a －b ）＝2a 、（a ＋b ）－（a －b ）＝2b ，所以(a ＋9)＋(a ＋1)＝2a ＋10＝2（a ＋5）、(a ＋9)－(a ＋1)＝8＝2×4，于是(a ＋9)(a ＋1)转化为［(a ＋5)＋4］［(a ＋5)－4］，利用平方差公式进行计算。

”于是，解法如下： 解：原式＝［(a ＋5)＋4］［(a ＋5)－4］＝(a ＋5)2－42＝a 2＋10a ＋25－16＝a 2＋10a ＋9. 例5、因式分解：（1）1－16a 2 ;（2）49（a －b ）2－16（a ＋b ）2.
解云云同学说：“这两小题都是平方差的形式，即12
－（4a ）2
、［7（a －b ）］2
－［4
（a ＋b ）］2
，所以都可以用平方差公式进行分解因式。

” 解：（1）原式＝12－（4a ）2＝（1＋4a ）（1－4a ）； （2）原式＝［7（a －b ）］2－［4（a ＋b ）］2
＝［7（a －b ）＋4（a ＋b ）］［7（a －b ）－4（a ＋b ）］ ＝（11a －3b ）（3a －11b ）
例6、因式分解：（1）x 2＋x ＋4
1；（2）a 2－2a(b ＋c)＋(b ＋c)2.
解：（1）原式＝x 2＋2×x ×
21＋（
2
1）2＝（x ＋
2
1）2；
（2）原式＝［a －(b ＋c ）］2
＝(a －b ＋c)2
.
评析：本题都是三项式，要验证是否符合完全平方公式，即确定平方项与乘积项，看两个平方项是否同号，乘积项是否是两个平方项底数乘积的2倍。

例7、因式分解：x 4 y 4－8x 2 y 2＋16. 解：原式＝（x 2y 2）2－2×x 2y 2×4＋42
＝（x 2y 2－4）2 ＝［（xy ＋2）（xy －2）］2 ＝（xy ＋2）2（xy －2）2
注意：因式分解一定要分解到不能再分解为止。

师：同学们的表现很优秀，老师为有你们这样的学生而感到自豪！下面我们一起来走进09中考试题，感悟一下中考的氛围吧。

1、把x 3－2x 2y ＋xy 2分解因式，结果正确的是（ ）（2009年北京市中考题） A. x （x ＋y ）（x －y ） B. x(x 2－2xy ＋xy 2) C. x （x ＋y ）2 D. x （x －y ）2
2、在实数范围内因式分解x 4－4＝ （2009年杭州市中考题）
3、因式分解：（x ＋y ）2－3（x ＋y ）＝ （2009年嘉兴市中考题）
4、分解因式：2x 3－8x ＝ （2009年广东省中考题）
5、分解因式：27x 2＋18x ＋3＝ （2009年潍坊市中考题）
6、分解因式：ax 2－a ＝ （2009年济宁市中考题）
7、因式分解：a 2－b 2－2b －1＝ （2009年安徽省中考题）
8、 先化简，再求值：
（1）（3＋m ）（3－m ）＋m(m －6)－7,其中m ＝
2
1.（2009年温州市中考题）；
（2）（a ＋b ）（a －b ）＋（a ＋b ）2－2 a 2，其中a ＝3，b ＝－3
1.（2009年长沙市中考题）。