2020年高考新课标（全国卷3）数学（文科）模拟试题（一）

2020年⾼考新课标（全国卷3）数学（⽂科）模拟试题（⼀）
2020年⾼考新课标（全国卷3）数学（⽂科）模拟试题（⼀）
考试时间：120分钟满分150分
⼀、选择题：本题共12⼩题，每⼩题5分，共60分，在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.
1、已知集合P ＝｛x ｜x ＝1,24k k z +∈｝，Q ＝｛x ｜x ＝1
,22
k k z +∈｝，则 ( ) A ．P ＝Q B.P üQ C.P ?≠Q D ．P ∩Q ＝?
2、 “2=
a ”是“函数)21lg()(2ax x x f -+=为奇函数”的 ( )
A.充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D.既不充分也不必要条件 3、下图是某地某⽉1⽇⾄15⽇的⽇平均温度变化的拆线图，根据该拆线图，下列结论正确的是( )
A ．由拆线图能预测本⽉温度⼩于25 ?C 的天数少于温度⼤于25?C 的天数
B ．连续三天⽇平均温度的⽅差最⼤的是7⽇，8⽇，9⽇三天
C ．由拆线图能预测16⽇温度要低于19 ?C
D ．这15天⽇平均温度的极差为15?C
4、已知ABC ?的边BC 上有⼀点D 满⾜4BD DC =u u u r u u u r ，则AD u u u r
可表⽰为
A ．1344AD A
B A
C =+u u u r u u u r u u u r
B ．
3144AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r
C ．4155A
D AB AC =+u u u r u u u r u u u r
1455
AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r
5、《数书九章》是我国宋代数学家秦九韶的著作，其中给出了求多项式的值的秦九韶算法，如图所⽰的程序框图给出了⼀个利⽤秦九韶算法求多项式值的实例，若输⼊的13=x ，输出的4027
y =，则判断框“◇”中应填⼊的是（）
A ．2?k ≤
B ．3?k ≤
C ．4?k ≤
D ．5?≤k
6、古希腊数学家欧多克索斯在深⼊研究⽐例理论时，提出了分线段的“中末⽐”问题：将⼀线段AB 分为两线段AC ，CB ，使得其中较长的⼀段AC 是全长AB 与另⼀段CB 的⽐例中项，即满⾜
AC AB ＝BC
AC
＝
51
2
-≈0.618．后⼈把这个数称为黄⾦分割数，把点C 称为线段AB 的黄⾦分割点在△ABC 中，若点P ，Q 为线段BC 的两个黄⾦分割点，在△ABC 内任取⼀点M ，则点M 落在△APQ 内的概率为（） A ．
51
2
- B ．5﹣2
C ．
51
4
- D ．
52
2
-
x
3
5π4
y
O -2
7、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11
9a =-,且()*1202,n n n a S S n n N -+=≥∈,则n S 的最⼩值和最⼤值分别为(
)
,
44
- B ．11,33
-
C ．11
,22
- D ．1,1-
8、已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ω?ω?π=+>><<的图象如图所⽰，则下列说法正确的是 A. 函数()f x 的周期为π B. 函数()y f x π=-为偶函数 C. 函数()f x 在[,]4
π
π--
上单调递增 D. 函数()f x 的图象关于点3(
,0)4
π
对称 9、已知某个函数的部分图象如图所⽰，则这个函数的解析式可能是 A ．ln y x x
=
B ．ln 1
y x x x =-+ C ．
1
ln 1y x x =+-
D ．ln 1
x
y x x
=-
+- 10、某三棱锥的三视图如下图所⽰，则该三棱锥的四个⾯中，⾯积最⼤的⾯的⾯积是 A ．2 B ．3 C ．1 D ．7
x
y O
A F
B
11、如图，椭圆22
22
1(0)x y a b a b +=>>的上顶点、左顶点、左焦点分别为B 、A 、F ，中⼼为O ，其离
⼼率为12
，则:ABF BFO S S =V V
A ．1:1
C ．(23):2-
D 32
12、在关于x 的不等式()
2222e e 4e e 4e 0x x x a x a -+++>的解集中，有且仅有两个⼤于2的整数,则实数a 的取值范围为（）(其中e 2.71828=L 为⾃然对数的底数) A ．4161,5e 2e ??
B ．391,4e 2e
C ．42164,5e 3e ?? ???
D ．3294,4e 3e ??
⼆、填空题：本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分。

13、已知实数y x ,满⾜1
21050
x x y x y ≥??-+≤??+-≤?
，则x 的范围为，42x
y z =的最⼤值为 .
14、已知数列{}n a 满⾜*
21()n n n a a a n N +++=∈，且11a =，22a =，则2018a =__________．
15、设双曲线22
196
x y -=的左、右焦点分别为 F 1、F 2，过 F 1 的直线l 交双曲线左⽀于 A 、 B 两点，则| AF 2 | + | BF 2 |的最⼩值等于
___________
16、点M ，N 分别为三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的棱BC ，BB 1的中点，设△A 1MN 的⾯积为S 1，平⾯A 1MN 截三棱柱ABC ﹣
A 1
B 1
C 1所得截⾯⾯积为S ，五棱锥A 1﹣CC 1B 1NM 的体积为V 1，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为V ，则
1V V = ，1S
S
= ．三、解答题：共70分。

解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考⽣都必须作答。

第22、23题为选考题，考⽣根据要求作答。

（⼀）必考题：共60分。

17、（12分）在ABC ?中，,,a b c 分别是⾓,,A B C 所对的边，且2sin 3tan c B a A =.（1）求
22
2
b c a +的值；（2）若2a =，当⾓A 最⼤时，求ABC ?的⾯积.
18、（12分）如图， ABD ?是边长为2的正三⾓形， BC ⊥平⾯ABD , 4,,BC E F =分别为,AC DC 的中点， G 为线段AD 上的⼀个动点．(Ⅰ)当G 为线段AD 中点时，证明：EF ⊥平⾯BCG ；(Ⅱ)判断三棱锥E BGF -的体积是否为定值？
19、（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离⼼率为3
2，1F 、2F 分别为左右焦点，直线
:1l x my =+与椭圆C 交于M 、N 两点，12MF F △和12NF F △的重⼼分别为G 、H ，当0m =时，
OMH △的⾯积为
32．（1）求椭圆C 的⽅程；（2）当1
02
m -<<时，证明：原点O 在以GH 为直径的圆的外部．
20、 (12分)为了研究昼夜温差与引发感冒的情况，医务⼈员对某⾼中在同⼀时间段相同温差下的学⽣感冒情况进⾏抽样调研，所得数据统计如表1所⽰，并将男⽣感冒的⼈数与温差情况统计如表2所⽰．
”具有相关性；（3）根据表2数据，计算y 与x 的相关系数r ，并说明y 与x 的线性相关性强弱（若0.75||1r ≤≤，
则认为y 与x 线性相关性很强；0.3||0.75r ≤≤，则认为y 与x 线性相关性⼀般；||0.25r ≤，则认为y 与x 线性相关性较弱）．附：参考公式：()
()()()()2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++ ,
n a b c d =+++ .
20()P K k ≥
0.25 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010 0k
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
()()
()()
12
2
1
1
n
i
i
i n
n
i
i
i i x x y
y r x x y
y ===--=
--∑∑∑，()5
21
10i i x x =-=∑，()5
2
1
164i i y y =-=∑，41020.2485≈．
表2
温差x 6 7 8 9 10 患感冒⼈数y
8
10
14
20
23
21、（12分）设函数()3()x
f x e ax a R =-+∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 在区间[1,2]上的最⼩值是4，求a 的值.
（⼆）选考题：共10分。

请考⽣在22、23两题中任选⼀题作答，注意：只能做选定的题⽬，若多做，则按所做的第1题记分. 22、[选修4-4：坐标系与参数⽅程](10分) 在直⾓坐标系xOy 中，曲线E 的参数⽅程12cos 2sin x y ?
=+??
=?（?为参数），以O 为极点，x 轴⾮负半轴为极轴建⽴极坐标系，直线1l ，2l 的极坐标⽅程分别为
0θθ=，()00(0,)2
π
θθθπ=+
∈，1l 交曲线E 于点A ，B ，2l 交曲线E 于点C ，D ．（Ⅰ）求曲
线E 的普通⽅程及极坐标⽅程；（Ⅱ）求2
2
||||BC AD +的值．
23、[选修4-5：不等式选讲] (10分)已知函数()2f x x =-．（1）求不等式()25f x x ≤+的解集；（2）记函数()(1)(5)g x f x f x =+--+，且()g x 的最⼤值为M ，若0a >，求证：21
3Ma a
+≥．
2020年⾼考新课标（全国卷3）数学（⽂科）模拟试题（⼀）答案解析
⼀、选择题1-6题D A B D B B 7-12题 D C D D A D ⼆、填空题 13、 []1,3, 16； 14、2； 15、16； 16、73,125。

部分（选填题）压轴题解析
12解析：易得()2222
e e 4e e 4e 0x x x a x a -+++>?()()2
2e 21e
x
x a x ->-. 设()
()2
2
2e x x f x --=
，()()1g x a x =-，则原不等式等价与()()f x g x >解集中有两个⼤于2的整
数.则()()()2
24'e x x x f x ---=-
.即()f x 在()()(),22,44,-∞↓↑+∞↓
计算()()()23149
3,4,5f f f e e e
=
==，有图像分析可知：要使原不等式的解集中有且仅有两个⼤于2的整数，则3294
4e 3e
a ≤<.故选D.
16解析：如图所⽰，延长NM 交直线C 1C 于点P ，连接P A 1交AC 于点Q ，连接QM ．平⾯A 1MN 截三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1所得截⾯为四边形A 1NMQ ．
∵BB 1∥CC 1，M 为BC 的中点，则△PCM ≌△NBM ．点M 为PN 的中点．∴△A 1MN 的⾯积S 11
1
2A PN S ?=，∵QC ∥A 1C 1，
1113PC PQ PC PA ==，∴△A 1QM 的⾯积12
3A PM S ?=，∴135
S S =．∵△BMN 的⾯积1118B C BC S =Y ，∴五棱锥A 1﹣CC 1B 1NM 的体积为V 11117
8
A B C BC S -=，⽽三棱锥A 1﹣ABC 的体积=23V ，∴则1727
8312
V
V V V ?==，故答案为：73,125。

三．解答题
17.解：（I ）∵2sin 3tan =c B a A ，∴2sin cos 3sin =c B A a A ，
由正弦定理得2
2cos 3=cb A a ，由余弦定理得222
2232b c a cb a bc
+-?
=，化简得2
2
2
4+=b c a ，∴
22
2
4+=b c a . （II ）因为2=a ，由（I ）知222
416+==b c a ，
且由余弦定理得2226cos 2+-==b c a A bc bc ，即6cos bc A =，且(0,)2
A π
∈.
根据重要不对等式有22
2b c bc +≥，即8bc ≥，当且仅当b c =时，“=”成⽴，∴63cos 84
A ≥=. ∴当⾓A 取最⼤值时，3
cos 4
A =
，8bc =.∴ABC ?的⾯积211
sin 81cos 722
S bc A A ==?-=18、解：(I)∵在CAD ?中， ,E F 分别为,AC DC 的中点∴//EF AD . ……1分∵BC ⊥平⾯ABD AD ?，平⾯ABD ,∴BC AD ⊥,∴BC EF ⊥, …3分在正ABD ?中， G 为线段AD 中点， BG AD ⊥,∴BG EF ⊥, …4分⼜∵BG CG G ?=, ∴EF 平⾯BCG . …5分
(II)三棱锥E BGF -的体积是定值.理由如下： ……6分∵//,EF AD AD ? 平⾯BEF ,∴//AD 平⾯BEF ，所以直线AD 上的点到平⾯BEF 的距离都相等 …8分
111
244
E BG
F
G BEF D BEF E BCD A BCD C ABD V V V V V V ------===== ……10分
∵ 3.ABD S =V ⼜BC ⊥平⾯ABD 且4BC =,∴43
3
C AB
D V -=
…11分∴三棱锥E BGF -的体积为
3
3
. ……12分 19．（1）22
342c e a b a ==
=，所以2222:14x y C b b
+= :1l x =代⼊C 得：214y b =±-
，所以2
124
MN b =-，所以2
13122OMN
S MN b ==?=△所以椭圆C ⽅程为：2214
x y += （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，则11,33x y G ??
，22,33x y H ??
直线l ：1x my =+与椭圆C 所以椭圆联⽴得：()
224230m y my ++-=，所以0>△，12224m y y m -+=
+，122
3
4
y y m -+=+ ()()()
()
22
22212
122321111144409
994m
m m m y y
m y y m m m OG OH m --+++++++-++?=
=
=>+
所以2
GOH π
∠<
，所以原点O 的圆外。

20．（1）根据表中数据可得：72128100m n p ===，， …….3分（2）依题意，()2 2
20030584270 3.125 3.84172128100100
K ?-?=
=
所以没有95%的把握认为在相同的温差下认为“性别”与“患感冒的情况”具有相关性． ……………………….7分（3）依题
意，67891085x ++++=
=，810142023
155
y ++++==
所以()()5
1
40i i i x x y y =--=∑，则402020
0.98770.7520.2485
10164
410
r =
==
=>
故说明y 与x 的线性相关性很强． …………………….12分
21．（I ）'()=-x
f x e a . 当0≤a 时，'()0>f x ，()f x 在R 上单调递增；当0>a 时，'()0>f x 解得ln >x a ，由'()0
当0>a 时，函数()f x 在(ln ,)+∞a 上单调递增，函数()f x 在(,ln )-∞a 上单调递减. （II ）由（I ）知，当0≤a 时，函数()f x 在R 上单调递增，
∴函数()f x 在[1,2]上的最⼩值为(1)34=-+=f e a ，即10=->a e ，⽭盾. 当0>a 时，由（I ）得ln =x a 是函数()f x 在R 上的极⼩值点.○
1当ln 1a ≤即o a e <≤时，函数()f x 在[1,2]上单调递增，则函数()f x 的最⼩值为(1)34f e a =-+=，即1a e =-，符合条件. ②当ln 2a ≥即2a e ≥时，函数()f x 在[1,2]上单调递减，
则函数()f x 的最⼩值为2
(2)234f e a =-+=即22
12
e a e -=<，⽭盾. ③当1ln 2a <<即2
e a e <<时，函数()
f x 在[1,ln ]a 上单调递减，函数()f x 在[ln ,2]a 上单调递增，则函数()f x 的最⼩值为ln (ln )ln 34a
f a e
a a =-+=即ln 10a a a --=.
令()ln 1h a a a a =--（2
e a e <<），则'()ln 0h a a =-<，∴()h a 在2
(,)e e 上单调递减，
⽽()1h e =-，∴()h a 在2
(,)e e 上没有零点，即当2
e a e <<时，⽅程ln 10a a a --=⽆解.
综上，实数a 的值为1e -.
22．解：（Ⅰ）由E 的参数⽅程12cos 2sin x y ?
=+=
（?为参数），知曲线E 是以(1,0)为圆⼼，半径为
2的圆，∴曲线E 的普通⽅程为2
2
(1)4x y -+= 2分令cos x ρθ=，sin y ρθ=得2
2
2
(cos 1)cos 4ρθρθ-+=，即曲线E 极坐标⽅程为2
2cos 30ρρθ--= 4分
（Ⅱ）依题意得12l l ⊥，根据勾股定理，222BC OB OC =+，222AD OA OD =+ 5分将0θθ=，02
π
θθ=+
代⼊2
2cos 30ρρθ--=中，
得202cos 30ρρθ--=，2
02sin 30ρρθ+-= 7分
设点A ，B ，C ，D 所对应的极径分别为1ρ，2ρ，3ρ，4ρ，则1202cos ρρθ+=，123ρρ=-，
3402sin ρρθ+=-，123ρρ=- 8分
∴()2
2222222222
12341212||||||||||||2BC AD OA OB OC OD ρρρρρρρρ+=+++=+++=+-
()2
2234340024cos 64sin 616ρρρρθθ++-=+++= 10分
23．解：（1）由52)(+≤x x f 得??
+≤-≤--≥+5
22520
52x x x x ，解得1-≥x
∴不等式52)(+≤x x f 的解集为[)+∞-,1． ………………………5分
（2）Θ23131)5()1()(=+--≤+---=+--+=x x x x x f x f x g 当且仅当3≥x 时等号成⽴，∴2=M ， ……………7分∴32222
1111233Ma a a a a a a a a a +
=+=++≥??=．当且仅当21
a
a =，即1=a 时等号成⽴． ………………………10分。