数学二轮复习主攻40个必考点三角函数与解三角形、平面向量考点过关检测四理

考点过关检测（四）
1．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C所对的边．若3b cos C＝c(1－3cos B），则sin C∶sin A＝（）
A．2∶3 B．4∶3
C．3∶1 D．3∶2
解析:选C 由正弦定理得3sin B cos C＝sin C－3sin C cos B，即3sin(B＋C）＝sin C⇒3sin A＝sin C，所以sin C∶sin A＝3∶1。

2．(2019·承德期末)设△ABC的内角A，B,C的对边分别为a，b，c。

若b＝1,c＝错误!,cos C＝错误!，则a＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选A 由余弦定理可得cos C＝错误!，即错误!＝错误!，整理可得（a－3)（3a＋5)＝0.结合a〉0可得a＝3.
3．(2019·湖南师大附中月考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c.若错误!＝错误!,则△ABC的形状是（）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
解析：选D ∵错误!＝错误!＝错误!＝错误!，
∴错误!＝0或错误!＝错误!,即C＝90°或错误!＝错误!.
由正弦定理,得错误!＝错误!，∴错误!＝错误!，
即sin C cos C＝sin B cos B，即sin 2C＝sin 2B,
∵B，C均为△ABC的内角，
∴2C＝2B或2C＋2B＝180°,
∴B＝C或B＋C＝90°，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选D.
4．（2020届高三·广西防城港模拟）已知a，b，c分别为△ABC 的三个内角A，B，C的对边．若（a＋b)（sin A－sin B)＝c(sin A－sin C)，则B＝( )
A.错误!
B.错误!
C。

错误! D.错误!
解析:选C 由题意和正弦定理得(a＋b)（a－b）＝c(a－c)，即a2－b2＝ac－c2,则a2＋c2－b2＝ac,由余弦定理可得cos B＝错误!＝错误!，∴B＝错误!。

5．已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶错误!，则此三角形的最大内角为（）
A．60° B．90°
C．120° D．135°
解析:选C ∵sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶错误!，
∴a∶b∶c＝1∶1∶错误!，易知C为最大内角，
设a＝m，则b＝m，c＝错误!m。

∴cos C＝错误!＝错误!＝－错误!，
∴C＝120°.
6．(2019·淮南一模）在△ABC中，内角A,B，C的对边分别是a，b,c。

已知b＝c，a2＝2b2（1－sin A)，则A＝（）A。

错误! B.错误!
C。

错误! D.错误!
解析：选B 由题意和余弦定理得cos A＝错误!＝错误!＝sin A，所以A＝错误!。

故选B。

7．在钝角△ABC中，角A，B,C所对的边分别为a,b，c,B为钝角,若a cos A＝b sin A,则sin A＋sin C的最大值为( ）
A。

错误!B。

错误!
C．1 D.错误!
解析：选B ∵a cos A＝b sin A，由正弦定理可得，sin A cos A＝
sin B sin A，∵sin A≠0，∴cos A＝sin B，又B为钝角，∴B＝A＋错误!，sin A＋sin C＝sin A＋sin(A＋B）＝sin A＋cos 2A＝sin A＋1－2sin2A ＝－2错误!2＋错误!，∴sin A＋sin C的最大值为错误!。

8．（2019·莆田第九中学月考)A在塔底D的正西面，在A处测得塔顶C的仰角为45°，B在塔底D的南偏东60°处，在塔顶C 处测得到B的俯角为30°，AB间距84米，则塔高为( ）A．24米B．12错误!米
C．127 米D．36米
解析：选C 由题意画出图形．则∠CBD＝30°，∠ADB＝90°＋60°＝150°，且AB＝84，设CD＝h，则在Rt△ADC中，AD＝CD＝h.在Rt△BDC中，BD＝错误!＝错误!＝错误!h。

在△ABD中，由余弦定理得，AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB，
即842＝h2＋（错误!h)2－2h×错误!h×错误!，
∴7h2＝842,∴h＝127.
9．（2020届高三·合肥质检)在锐角△ABC中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足(a－b）（sin A＋sin B）＝（c－b）sin
C．若a＝3，则b2＋c2的取值范围是( ）
A．（3,6］B．（3,5）
C．（5，6] D．［5,6］
解析:选C 由正弦定理可得,(a－b)·(a＋b）＝（c－b）·c，即b2＋c2－a2＝bc,cos A＝错误!＝错误!，又A∈错误!，∴A＝错误!.∵错误!＝错误!＝错误!＝2，∴b2＋c2＝4(sin2B＋sin2C)＝4［sin2B＋sin2（A＋B)］＝4错误!＝错误!sin 2B－cos 2B＋4＝2sin错误!＋4.∵△ABC是锐角三角形，∴B ∈错误!，即2B－错误!∈错误!，∴错误!〈sin错误!≤1,∴5〈b2＋c2≤6.故选C。

10．（2019·北京房山期末)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若b＝4，B＝错误!,sin A＝错误!，则a＝________.
解析：∵b＝4，B＝错误!，sin A＝错误!，
∴根据正弦定理得错误!＝错误!，即错误!＝错误!，
∴a＝错误!.
答案:错误!
11．在△ABC中，BC＝2错误!，AC＝3，∠BAC＝2∠B，D是BC 上一点且AD⊥AC，则sin∠BAC＝________，△ABD的面积为________．
解析：∵BC＝2错误!,AC＝3，∠BAC＝2∠B，
∴在△ABC中，由正弦定理得
BC
sin∠BAC＝错误!，
即错误!＝错误!＝错误!，
解得cos∠B＝错误!，可得sin∠B＝错误!，
∴cos∠BAC＝cos 2∠B＝2cos2∠B－1＝－错误!，sin∠BAC＝错误!＝错误!。

∵AD⊥AC，∴sin∠BAD＝sin错误!＝
－cos∠BAC＝错误!，可得cos∠BAD＝错误!，
∴sin∠ADB＝sin（∠BAD＋∠B)＝1
3
×
3
3
＋错误!×错误!＝错误!。

在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠B，
∴32＝AB2＋(2错误!）2－2AB·2错误!×错误!，
解得AB＝1或3.
当AB＝AC＝3时，
由∠BAC＝2∠B，可得∠B＝∠C＝错误!∠BAC＝错误!，
∴BC＝错误!＝3错误!,与BC＝2错误!矛盾，∴AB＝1。

在△ABD中,由正弦定理得错误!＝错误!,
∴AD＝错误!＝错误!，
∴S△ABD＝错误!AB·AD·sin∠BAD＝错误!×1×错误!×错误!＝错误!.答案：错误!错误!
12．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b,c,且a cos B
－b cos A＝1
2
c，B为锐角，当tan(A－B）取最大值时,C＝________.
解析：由正弦定理，得sin A cos B－sin B cos A＝1
2
sin C,即2sin A cos
B－2sin B cos A＝sin A cos B＋cos A sin B，因而tan A＝3tan B，所以tan （A－B)＝错误!＝错误!＝错误!≤错误!＝错误!，当且仅当错误!＝3tan B，即tan B＝错误!,B＝错误!时取等号，又tan A＝3tan B，所以A－B的最大值为错误!，此时A＝错误!,从而C＝错误!。

答案：错误!。