离散数学期末考试题及详细答案

离散数学期末考试题及详细答案
一、选择题（每题5分，共20分）
1. 在离散数学中，下列哪个概念用来描述元素与集合之间的关系？
A. 并集
B. 交集
C. 子集
D. 元素
答案：D
2. 布尔代数中，下列哪个运算符表示逻辑“与”？
A. ∨
B. ∧
C. ¬
D. →
答案：B
3. 下列哪个命题的否定是正确的？
A. 如果今天是周一，则明天是周二。

B. 如果今天是周一，则明天不是周二。

答案：B
4. 在图论中，一个图的顶点数为n，边数为m，下列哪个条件可以保证该图是连通的？
A. m > n
B. m ≥ n
C. m = n
D. m > n-1
答案：D
二、填空题（每题5分，共20分）
1. 在集合论中，一个集合的幂集包含该集合的所有______。

答案：子集
2. 如果一个函数f: A → B是单射的，那么对于任意的a1, a2 ∈ A，如果a1 ≠ a2，则f(a1) ≠ f(a2)。

这种性质称为函数的______。

答案：单射性
3. 在图论中，一个图的直径是指图中任意两个顶点之间的最短路径的
最大值。

如果一个图的直径为1，则该图被称为______。

答案：完全图
4. 一个布尔表达式可以表示为一系列逻辑运算符和变量的组合。

布尔
表达式(A ∧ B) ∨ (¬ A ∧ C)的真值表中，当A为真，B为假，C为
真时，整个表达式的值为______。

答案：真
三、简答题（每题10分，共30分）
1. 请简述什么是图的哈密顿回路，并给出一个例子。

答案：哈密顿回路是图中的一个回路，它恰好访问每个顶点一次。

例如，在一个完全图中，任意一个顶点出发，依次访问其他顶点，最
后回到出发点的路径就是一个哈密顿回路。

2. 请解释什么是二元关系，并给出一个二元关系的例子。

答案：二元关系是定义在两个集合上的一个关系，它关联了第一个
集合中的元素和第二个集合中的元素。

例如，小于关系是实数集合上
的一个二元关系，它关联了每一对实数，如果第一个数小于第二个数。

3. 请解释什么是逻辑蕴含，并给出一个逻辑蕴含的例子。

答案：逻辑蕴含是逻辑学中的一个概念，表示如果一个命题为真，
则另一个命题也为真。

例如，命题“如果今天是周一，则明天是周二”是一个逻辑蕴含的例子，因为如果今天是周一，那么明天必然是周二。

四、证明题（每题15分，共30分）
1. 证明：如果一个图是连通的，并且它的所有顶点的度数都是偶数，
那么该图一定存在欧拉回路。

答案：略
2. 证明：对于任意的布尔表达式，都存在一个等价的最小布尔表达式。

答案：略。