空间点 直线 平面之间的位置关系 教案

学习过程一、复习预习1平面含义：平面是无限延展的2平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）D CBAα（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。

3三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为A ∈LB ∈L=>L αA ∈αB ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A 、B 、C 三点不共线=>有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

公理2作用：确定一个平面的依据。

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：P ∈α∩β=>α∩β=L ，且P ∈L LA· α C · B·A · α P· α Lβ公理3作用：判定两个平面是否相交的依据二、知识讲解考点/易错点1空间中直线与直线之间的位置关系1空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。

2公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4注意点：①a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上；②两条异面直线所成的角θ∈(0，)；共面直=>a ∥c2D C A BB 1A 1C 1③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

考点/易错点2空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内——有无数个公共点（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点（3）直线在平面平行——没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示a αa ∩α=Aa ∥α三、例题精析【例题1】【题干】直线,a b c ，及平面αβ，，使//a b 成立的条件是（）A ．//,a b αα⊂B ．//,//a b ααC ．//,//a c b cD ．//,a b ααβ=I【答案】C【解析】//,,a b αα⊂则//a b 或,a b 异面；所以A 错误；//,//,a b αα则//a b 或,a b 异面或,a b 相交，所以B 错误；//,,a b ααβ=I 则//a b 或,a b 异面，所以D 错误；//,//a c b c ，则//a b ，这是公理4，所以C 正确.【例题2】【题干】如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长是2，侧棱长是，D 是AC 的中点.求证：//1C B 平面BD A 1.【解析】证明：设1AB 与B A 1相交于点P ，连接PD ，则P 为1AB 中点， ΘD 为AC 中点，∴PD//C B 1.又ΘPD ⊂平面B A 1D ，∴C B 1//平面B A 1D【例题3】【题干】如图，正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，DD 1，DC 中点，N 是BC 中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足时，有MN ∥平面B 1BDD 1．【答案】M ∈HF【解析】易证平面NHF ∥平面BDD 1B 1，M 为两平面的公共点，应在交线HF 上.【例题4】【题干】如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB a ==,点E 在棱PC 上．问点E 在何处时，//PA EBD 平面，并加以证明.【解析】当E 为PC 中点时，//PA EBD 平面．证明：连接AC ，且AC BD O =I ，由于四边形ABCD 为正方形， ∴O 为AC 的中点，又E 为中点，∴OE 为△ACP 的中位线， ∴//PA EO ，又PA EBD ⊄平面，∴//PA EBD 平面.四、课堂运用O F A B C DP E【基础】1.下列条件中,能判断两个平面平行的是()A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面;B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面2.E，F，G分别是四面体ABCD的棱BC，CD，DA的中点，则此四面体中与过E，F，G的截面平行的棱的条数是A．0B．1C．2D．33、若直线m不平行于平面α，且m⊄α，则下列结论成立的是（）A．α内的所有直线与m异面B．α内不存在与m平行的直线C．α内存在唯一的直线与m平行D．α内的直线与m都相交4、下列命题中，假命题的个数是（）①一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；②过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤a和b异面，则经过b存在唯一一个平面与α平行A．4 B．3C．2 D．15、已知空间四边形ABCD中，,M N分别是,AB CD的中点，则下列判断正确的是（）A ．()12MN AC BC ≥+B ．()12MN AC BC ≤+ C ．()12MN AC BC =+D ．()12MN AC BC <+ 【巩固】1.α，β是两个不重合的平面，a ，b 是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是（）A ．α，β都平行于直线a ，bB ．α内有三个不共线点到β的距离相等C ．a ，b 是α内两条直线，且a ∥β，b ∥βD ．a ，b 是两条异面直线且a ∥α，b ∥α，a ∥β，b ∥β2.两条直线a ，b 满足a ∥b ，bα，则a 与平面α的关系是（） A ．a ∥αB ．a 与α相交 C ．a 与α不相交 D ．a α3、设,a b 表示直线，,αβ表示平面，P 是空间一点，下面命题中正确的是（）A ．a α⊄，则//a αB ．//a α，b α⊂，则//a bC ．//,,a b αβαβ⊂⊂，则//a bD ．,,//,//P a P a βααβ∈∈，则a β⊂4、一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（）A.异面B.相交C.平行D.不能确定 5、下列四个命题中，正确的是（）①夹在两条平行线间的平行线段相等；②夹在两条平行线间的相等线段平行；③如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的平行线段相等；④如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的相等线段平行A．①③B．①②C．②③D．③④6.a，b是两条异面直线，A是不在a，b上的点，则下列结论成立的是A．过A有且只有一个平面平行于a，bB．过A至少有一个平面平行于a，bC．过A有无数个平面平行于a，bD．过A且平行a，b的平面可能不存在【拔高】1.平面内两正方形ABCD与ABEF，点M，N分别在对角线AC,FB上，且AM:MC=FN:NB，沿AB折起，使得∠DAF=900(1)证明：折叠后MN//平面CBE；（2）若AM:MC=2：3，在线段AB上是否存在一点G，使平面MGN//平面CBE若存在，试确定点G的位置.课程小结1、空间中直线与直线之间的位置关系2、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系课后作业【基础】1.在四面体ABCD 中，M ，N 分别是面△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________.2.如下图所示，四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP 的图形的序号的是 ①②③④3、正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1中点，则BD 1和平面ACE 位置关系是．4、如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，M ，N ，G 分别是AA 1，CD ，CB ，CC 1的中点，求证：（1）MN //B 1D 1；（2）AC 1//平面EB 1D 1；（3）平面EB 1D 1//平面BDG .【巩固】1.a ，b ，ｃ为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：其中正确的命题是________________.（将正确的序号都填上）2.设平面α∥β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于S ，若AS =18，BS =9，CD =34，则CS =_____________.3、如下图，设P 为长方形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别为AB ，PD 上的点，且MB AM =NPDN ，求证：直线MN ∥平面PBC . 【拔高】1.设平面α∥平面β，AB 、CD 是两条异面直线，M ，N 分别是AB ，CD的中点，且A，C∈α，B，D∈β，求证：MN∥平面α. 课后评价。