《椭圆的标准方程》教案

《椭圆的标准方程》教案
一、教材分析和学情分析
本节课是圆锥曲线的第三课时。

它是在学生学习了直线和圆的方程、曲线与方程的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。

椭圆的学习为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础。

因此这节课有承前启后的作用。

是本章和本节的重点内容。

从知识上看，学生已掌握了一些椭圆图形的实物与实例，对曲线和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步的认识。

从学生现有的学习能力看，通过一年多的实验，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。

从学生的心理学习心理上看，学生头脑中虽有一些椭圆的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给椭圆以数学描述?如何“定性”“定量”地描述椭圆是学生关注的问题，也是学习的重点问题。

他们渴望将感性认识理性化，渴望通过自己动手作图、观察、辨析和完善概念，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。

因此，本节课关注的重点：知识上是椭圆的定义和标准方程；从学生的情感态度上，关注学生的全方位参与，特别是思维起点和思维发展点。

●教学目标
根据课程标准的要求，本节教材的特点及所教学生的认知情况，把教学目标拟定如下：
⑴知识目标：理解椭圆的定义；明确焦点、焦距的概念；了解用椭圆定义推导椭圆的标准方程；
⑵能力目标：让学生感知数学知识与实际生活的普遍联系，培养学生类比、数形结合的数学思想方法，提高学生的学习能力，同时培养学生运动、变化的辨证唯物主义观点；
⑶情感目标：培养学生不怕困难、勇于探索的优良作风，增强学生审美体验，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度。

●重点、难点及关键
重点：椭圆的定义和标准方程的应用；
难点：椭圆标准方程的推导；
关键：创设具体的椭圆的直观情景，结合建立坐标系的一般原则，从“对称美”和“简洁美”出发作必要的点拨。

●教学方法
启发、探索
●教学手段
运用多媒体和实物投影仪辅助教学
●教学过程
⒈创设情景、引入概念
首先用多媒体演示体育场的平面图及卫星围绕地球旋转的运行图，形象地给出椭圆，然后请同学列举一些实际生活中的椭圆形的例子。

此时教师指出：椭圆在实际生活中是很常见的，学习椭圆的有关知识也是十分必要的。

那么如何统一地研究生活中出现的各种各样的椭圆呢？这就是我们今天要探究的----椭圆及其标准方程。

本环节由实际例子引入概念，使学生易于接受，同时激发出学生的求知欲，提高学习椭圆的兴趣，也使他们的注意力集中到课堂上。

⒉尝试探究、形成概念
教师提出问题：给你两个图钉，一根无弹性的细绳，一张纸板，能画出椭圆吗？
让学生自己动手画图，使其探究性学习，再提出以下问题：
思考1：在纸板上作图说明什么？
思考2：在作图过程中，有哪些物体的位置没变？有哪些量没有变？
思考3：若调节两图钉的相对位置，所得到的图形有何变化？
指出绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键。

用多媒体演示从椭圆变化到圆的过程，把圆与椭圆进行类比，并得到椭圆的定义：
平面内与两个定点F1、F2的距离之和是常数（大于∣F1F2∣）的点的轨迹。

两个定点F1、F2称为焦点，两焦点之间的距离称为焦距，记为2c。

若设M为椭圆上的任意一点，则∣MF1∣+∣MF2∣=2a。

⒊标准方程的推导
标准方程的推导是本节课的难点，在推导时应抓住“建立坐标系”和“简化方程”这两个环节。

① 建系：给出四种建立坐标系的方法，同时教师结合建立坐标系的一般原则---使点的坐标、几何量的表达式简单化，并从“对称美”、“简洁美”的角度出发作一定的点拨，最后让学生选择合理的坐标系。

② 设点：设点M （y x ,）是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为 F 1（-c ,0）、F 2（c ,0）
③ 列式：依据椭圆的定义式∣MF 1∣+∣MF 2∣=2a 列方程，并将其坐标化为
()()a y c x y c x 22
22
2=+-+
++。

④ 化简：通过移项、两次平方后得到：()()22222222c a a y a x c a -=+-，为使方程简单、对称、和谐，引入字母b ，令222c a b -=，可得椭圆标准方程为
122
22=+b
y a x （a >b >0）。

让学生将椭圆的x 、y 轴互换，通过合理的猜想得到焦点在y 轴上的椭圆的标准方程。

在学生得出椭圆的两种形式的标准方程后，请学生思考：如何从椭圆的标准方程判断椭圆焦点的位置？
通过分析可得：含2x 、2y 的分式的分母谁大，焦点就在那个轴上。

⒋应用概念
例1． 判断下列椭圆的焦点的位置
①
16410022=+y x ②125
92
2=+y x
并引导学生求出上述两个方程的焦距与焦点坐标。

再让学生将方程22525922=+y x 化为标准方程。

例2. 己知椭圆的焦点在x 轴上，焦距是6，椭圆上一点到两个焦点距离之
和是10，写出这个椭圆的标准方程。

解：因为2c =6,2a =10,所以c =3, a =5,从而163522222=-=-=c a b .
由于焦点在x 轴上，因此这个椭圆的标准方程是
116
252
2=+y x 将椭圆满足条件：a =5且焦点坐标为F 1（-3,0）、F 2（3,0）与例2的条件进行比较。

例3．椭圆
136
1002
2=+y x 上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一焦点F 2的距离是 。

分析：紧扣椭圆的定义式，利用数形结合的方法解题。

变式：①椭圆
1100362
2=+y x 上一点P ，求△PF 1F 2的周长？ ②椭圆
136
642
2=+y x 的弦PQ 过F 1，求△PQF 2的周长？ 学生自己分析，主要培养学生在做解析几何题时用数形结合的方法。

⒌归纳小结
a MF MF 221=+
椭圆
焦点在x 轴上122
22=+b
y a x
标准方程
2
2
2
0c
b a b a +=>>
焦点在y 轴上122
22=+a
y b x
⑵方法小结：①用坐标法研究曲线
②用运动、变化的观点分析问题 ③解题过程中注意数形结合的方法
⑶实际应用：椭圆在天文学、建筑学上有广泛的应用。

在天文学上可以精确计算彗星出现的准确时间；在建筑学上可以建造稳固的椭圆形隧道拱。

同时椭圆具有美化效果，给人以美的感受。

本环节是对所学内容作全面的小结，除了小结知识技能、数学方法以外，还对椭圆的实际应用进行概括，使学生既学了知识，又培养了能力，同时也对椭圆有一个更全面深刻的认识，为下节课的学习打下了基础。

思考：方程
15
102
2=-+-k y k x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（ ）
A.10<k
B.5>k
C.105<<k
D.105.7<<k
6.布置作业
⑴书第84页A组1、2 B组1、2
⑵课外研究题：依据椭圆的定义，如何用直尺和圆规描点画椭圆？
●板书设计。