2016届《创新设计》数学一轮课时作业(文科)苏教版(江苏专用)第四章三角函数、解三角形课时作业4-6

第6讲正弦定理、余弦定理及解三角形
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．(2014·北京西城区模拟)在△ABC中，若a＝4，b＝3，cos A＝1
3，则B＝________.
解析因为cos A＝1
3，所以sin A＝1－
1
9＝
22
3，由正弦定理，得
4
sin A＝
3
sin B，
所以sin B＝
2
2，又因为b＜a，所以B＜
π
2，B＝
π
4.
答案π4
2．(2015·南通模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为
3
2，则BC
的长为________．
解析因为S＝1
2×AB×AC sin A＝
1
2×2×
3
2AC＝
3
2，所以AC＝1，所以BC
2
＝AB2＋AC2－2AB·AC cos 60°＝3，所以BC＝ 3.
答案 3
3．(2015·苏北四市模拟)△ABC中，有sin A＝2sin B cos C，a，b，c是角A，B，C
的对边，且满足a＋b＋c
b＋c－a
＝
3c
b，则△ABC的形状为________三角形(填“等腰”、
“等边”、“等腰直角”)．
解析利用正弦定理和余弦定理sin A＝2sin B cos C变形为
a
2R＝
2b
2R·
a2＋b2－c2
2ab，
化简得b＝c，代入a＋b＋c
b＋c－a
＝
3c
b，化简得a＝c，所以该三角形是等边三角形．
答案等边
4．(2014·惠州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)tan B＝3ac，则角B的值为________．
解析由余弦定理，得a2＋c2－b2
2ac＝cos B，结合已知等式得cos B·tan B＝
3
2，
∴sin B＝
3
2，∴B＝
π
3或
2π
3.
答案π
3或
2π
3
5．(2014·南京模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝
1，A＝60°，c＝
3
3，则△ABC的面积为________．
解析由正弦定理可得
a
sin A＝
c
sin C，代入数据解得sin C＝
1
2.又a＞c，所以A
＞C，所以C＝30°，B＝90°，所以△ABC的面积为1
2ac sin B＝
3
6.
答案
3 6
6．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，b＝2，cos C＝1 4，
则sin B＝________.
解析由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝4，即c＝2.由cos C＝1
4得sin C
＝15
4.由正弦定理
b
sin B＝
c
sin C，得sin B＝
b sin C
c＝
2
2×
15
4＝
15
4(或者因为c＝
2，所以b＝c＝2，即三角形为等腰三角形，所以sin B＝sin C＝15 4)．
答案15 4
7．(2014·四川卷改编)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m, 则河流的宽度BC＝________m.
解析如图，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60 m，在Rt△ACD中，CD＝
AD tan ∠ACD ＝
60
tan 30°＝
603(m)，在Rt△ABD中，BD＝AD
tan ∠ABD ＝
60
tan 75°＝
60
2＋3
＝60(2－3)(m)，
∴BC＝CD－BD＝603－60(2－3)＝120(3－1)(m)．
答案 120(3－1)
8．(2014·江苏卷)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．
解析 由已知sin A ＋2sin B ＝2sin C 及正弦定理可得a ＋2b ＝2c ，cos C ＝a 2
＋b 2
－c 2
2ab ＝a 2＋b 2－⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋2b 22
2ab ＝3a 2＋2b 2－22ab 8ab ≥26ab －22ab 8ab
＝
6－24，当且仅当3a 2＝2b 2
即a b ＝23时等号成立，所以cos C 的最小值为6－24. 答案
6－24
二、解答题
9．(2015·广州测试)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝3，b ＝5，c ＝7. (1)求角C 的大小； (2)求sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫B ＋π3的值．
解 (1)由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32＋52－722×3×5＝－1
2.∵0＜C ＜π，∴C
＝2π3.
(2)由正弦定理b sin B ＝c
sin C ，得 sin B ＝b sin C c ＝5sin 2π3
7＝53
14，
∵C ＝2π
3，∴B 为锐角， ∴cos B ＝1－sin 2B ＝
1－⎝
⎛⎭⎪⎫53142＝11
14
. ∴sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫B ＋π3＝sin B cos π3＋cos B sin π3
＝5314×12＋1114×32＝437.
10．(2014·扬州检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ac ＝3，S △ABC ＝334. (1)求B ；
(2)若b ＝2，求△ABC 的周长．
解 (1)因为S △ABC ＝12ac sin B ，所以12×3sin B ＝334，即sin B ＝3
2. 又因为0＜B ＜π，所以B ＝π3或2π
3. (2)由(1)可知，B ＝π3或2π
3，
当B ＝π
3时，因为a 2＋c 2－ac ＝(a ＋c )2－3ac ＝2，ac ＝3， 所以a ＋c ＝11；
当B ＝2π
3时，因为a 2＋c 2＋ac ＝2，ac ＝3， 所以a 2＋c 2＝－1(舍去)，
所以△ABC 的周长为a ＋c ＋b ＝11＋ 2.
能力提升题组 (建议用时：25分钟)
1．(2014·东北三省四市联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，满足
b a ＋
c ＋c
a ＋b
≥1，则角A 的范围是________． 解析 由
b a ＋
c ＋c a ＋b
≥1，得b (a ＋b )＋c (a ＋c )≥(a ＋c )(a ＋b )，化简得b 2＋c 2－a 2
≥bc ，即b 2＋c 2－a 22bc ≥12，即cos A ≥12(0＜A ＜π)，所以0＜A ≤π
3. 答案 ⎝ ⎛
⎦
⎥⎤0，π3
2．(2015·石家庄模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，则sin A ＋sin B 的最大值是________．
解析 由c sin A ＝3a cos C ，得sin C sin A ＝3sin A cos C ，又在△ABC 中
sin A ≠0，所以sin C ＝3cos C ，tan C ＝3，C ∈(0，π)，所以C ＝π
3.所以sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋A ＝32sin A ＋32cos A ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6，A ∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，2π3，所以
当A ＝π
3时，sin A ＋sin B 取得最大值 3. 答案
3
3．(2015·苏、锡、常、镇四市调研)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，且c ＝b ＋1＝a ＋2，C ＝2A ，则△ABC 的面积等于________．
解析 在△ABC 中，由正弦定理可得a sin A ＝c
sin C ，所以b －1sin A ＝b ＋1sin 2A ，2cos A ＝b ＋1b －1.又由余弦定理可得cos A ＝(b ＋1)2＋b 2－(b －1)22(b ＋1)b ＝b ＋42(b ＋1)，所以2×
b ＋42(b ＋1)＝b ＋1b －1，解得b ＝5，所以cos A ＝12×b ＋1b －1
＝34，sin A ＝7
4，则
△ABC 的面积等于12×5×6×74＝1574. 答案
1574
4．已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x ＋1
2. (1)求f (x )的最小正周期及对称轴方程；
(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1
2，bc ＝6，求a
的最小值．
解 (1)f (x )＝3sin x cos x －cos 2x ＋1
2 ＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6，
故最小正周期T ＝2π
2＝π.
令2x －π6＝k π＋π2，得x ＝k π2＋π
3(k ∈Z )． 故图象的对称轴为x ＝k π2＋π
3(k ∈Z )．
(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫A －π6＝12可知A －π6＝π6或A －π6＝5π6，即A ＝π3或A ＝π，又0＜A
＜π，故A ＝π3.
.∵bc ＝6，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ≥bc ＝6， 当且仅当b ＝c 时等号成立，故a 的最小值为 6.。