数学试卷201917年高考江苏解析(正式版)(解析版)

绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学I
参考公式：
柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．
球的体积3
4π3
R V =，其中R 是球的半径．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．
． 1．已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B =，则实数a 的值为 ▲ ．
【答案】1
【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1． 2．已知复数(1i)(12i)z =++，其中i 是虚数单位，则z 的模是 ▲ ．
【解析】(1i)(12i)1i 12i z =++=++==
3．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 ▲ 件． 【答案】18
【解析】应从丙种型号的产品中抽取300
60181000
⨯=件，故答案为18． 4．右图是一个算法流程图，若输入x 的值为
1
16
，则输出y 的值是 ▲ ．
【答案】2-
【解析】由题意得2
1
2log 216
y =+=-，故答案为2-． 5．若π1
tan(),46
α-=则tan α= ▲ ．
【答案】
75
【解析】1
1tan()tan
7644tan tan[()]14451tan()tan 1446
ααααππ+-+ππ=-+=
==ππ---．故答案为75
． 6．如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则
1
2
V V 的值是 ▲ ．
【答案】
32
【解析】设球半径为r ，则213223
423
V r r V r π⨯==
π．故答案为32
． 7
．记函数()f x D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是 ▲ ．
【答案】
5
9
8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213
x
y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是
12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是 ▲ ．
【答案】【解析】
右准线方程为x =
，
渐近线方程为y =，
设P ，
则Q ，
1(F ，2F ，则S ==． 9．等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知36763
44
S S ==,，则8a = ▲ ．
【答案】32
10．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 ▲ ．
【答案】30
【解析】总费用为600900464()4240x x x x +
⨯=+≥⨯=，当且仅当900
x x
=，即30x =时等号成立． 11．已知函数31
()2e e
x x f x x x =-+-，其中e 是自然对数的底数．若2(1)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值
范围是 ▲ ． 【答案】1
[1,]2
-
【解析】因为3
1()2e ()e
x
x f x x f x x -=-++
-=-，所以函数()f x 是奇函数，
因为22()32e e 320x x f 'x x x -=-++≥-+≥，所以数()f x 在R 上单调递增， 又2
1)02()(f f a a +-≤，即2
())2(1a a f f ≤-，所以221a a ≤-，即2120a a +-≤， 解得112a -≤≤
，故实数a 的取值范围为1[1,]2
-． 12
．如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7，
OB 与OC 的夹角为45°
．若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R ，则m n += ▲ ．
【答案】3
【解析】由tan 7α=
可得sin 10
α=
，cos 10α=，根据向量的分解，
易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩
210
0210
n m n m +=⎪
-=⎩
，即510570
n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，
所以3m n +=．
13．在平面直角坐标系xOy 中，(12,0),(0,6),A B -点P 在圆22:50O x y +=上，若20,PA PB ⋅≤则点P 的横
坐标的取值范围是 ▲ ．
【答案】[-
14．设()f x 是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩
其中集合1
{n D x x n -==，
*}n ∈N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ ．
【答案】8
【解析】由于()[0,1)f x ∈，则需考虑110x ≤<的情况， 在此范围内，x ∈Q 且x D ∈时，设*,,,2q
x p q p p
=
∈≥N ，且,p q 互质， 若lg x ∈Q ，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2n
x m n m m
=
∈≥N ，且,m n 互质， 因此10n m
q p
=
，则10()n
m q p =，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，
因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点，
画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分，
且1x =处11
(lg )1ln10ln10
x x '=
=<，则在1x =附近仅有一个交点，
因此方程()lg 0f x x -=的解的个数为8．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．
作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
如图，在三棱锥A-BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)
分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ．
求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）AD ⊥AC ．
16．（本小题满分14分）
已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ，求x 的值；
（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．
（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6
f x x x x x x =⋅=⋅=-=+
a b ．
因为
，所以ππ7π[,]666x +
∈，从而π1cos()62
x -≤+≤． 于是，当ππ
66x +
=，即0x =时，取到最大值3；
当π6x +=π，即5π6
x =时，
取到最小值-．
17．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为
1
2
，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ． （1）求椭圆E 的标准方程；
（2）若直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．
【解析】（1）设椭圆的半焦距为c ．
因为椭圆E 的离心率为1
2，两准线之间的距离为8，所以12c a =，228a c
=，
解得2,1a c ==，于是b ==E 的标准方程是22
143
x y
+=．
（2）由（1）知，1(1,0)F -，2(1,0)F ．
设00(,)P x y ，因为P 为第一象限的点，故000,0x y >>． 当01x =时，2l 与1l 相交于1F ，与题设不符．
由①②，解得20001,x x x y y -=-=，所以2000
1
(,
)x Q x y --． 因为点Q 在椭圆上，由对称性，得
2
0001x y y -=±，即22
001x y -=或22001x y +=． 又P 在椭圆E 上，故2200
143
x y +=．
由220022001143x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩
，解得00x y ==22
002
20
0114
3x y x y ⎧+=⎪⎨+
=⎪⎩，无解． 因此点P
的坐标为(
77
． 18．（本小题满分16分）
如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角
线AC 的长为
，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）
（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度； （2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．
【解析】（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥． 记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处．
因为40AC AM ==，所以30MC =
=，从而3
sin 4
MAC =
∠， 记AM 与水面的交点为1P ，过1P 作P 1Q 1⊥AC ，Q 1为垂足， 则P 1Q 1⊥平面ABCD ，故P 1Q 1=12，从而AP 1=11
16sin P MAC
Q =∠．
答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．
(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)
过G 作GK ⊥E 1G 1，K 为垂足，则GK =OO 1=32． 因为EG = 14，E 1G 1= 62，
所以KG 1=
6214
242
-=，从而140GG ===．
设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25
KGG KGG απ=+==∠∠． 因为
2απ<<π，所以3cos 5
α=-． 在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7
sin 25
β=． 因为02βπ<<，所以24
cos 25
β=． 于
是
4
s i 3s
55
5
N E
α=∠． 记EN 与水面的交点为P 2，过P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则P 2Q 2⊥平面EFGH ， 故P 2Q 2=12，从而EP 2=
22
20sin P NEG
Q =∠．
答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．
(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm) 19．（本小题满分16分）
对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足：1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++
++2n ka =对任意正
整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”． （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；
（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列．
【解析】（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-， 从而，当4n ≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-
122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =
所以n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6， 因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”．
n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④
将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥， 所以345,,,
a a a 是等差数列，设其公差为d'．
在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以132a a d'=-， 所以数列{}n a 是等差数列． 20．（本小题满分16分）
已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点．（极值点
是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：23b a >；
（3）若()f x ，()f x '这两个函数的所有极值之和不小于7
2
-，求a 的取值范围．
当3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；
当3a >时，()=0f x '有两个相异的实根1=3a x --，2=3
a x -．
列表如下：
故()f x 的极值点是12,x x ．从而3a >．因此223
9a b a =+，定义域为(3,)+∞．
（2）由（12
9．设23()=9t g t t +，则222
23227
()=99t g t t t -'-=．
当)t ∈+∞时，()0g t '>，从而()g t 在)+∞上单调递增．
因为3a >，所以>(g g
2>3b a ．
记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，
因为()f x '的极值为2
213
39a b a a
-=-+，所以213()=9h a a a -+，3a >．
因为223
()=09h a a a '-
-<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减． 因为7
(6)=2
h -，于是()(6)h a h ≥，故6a ≤．因此a 的取值范围为(36]，
． 数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．
，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲](本小题满分10分)
如图，AB 为半圆O 的直径，直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P 为垂足． 求证：（1）PAC CAB ∠=∠； （2）2AC AP AB =⋅．
【解析】（1）因为PC 切半圆O 于点C ，所以PCA CBA =∠∠， 因为AB 为半圆O 的直径，所以90ACB =︒∠．
因为AP ⊥PC ，所以90APC =︒∠，所以PAC CAB ∠=∠． （2）由（1）知，APC ACB △∽△，故AP AC
AC AB
=，即2·AC AP AB =． B ．[选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分) 已知矩阵0110,.1002⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
A B
（1）求AB ；
（2）若曲线22
1:182
x y C +=在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求2C 的方程．
C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参考方程为82
x t
t
y =-+⎧⎪
⎨=⎪⎩(t 为参数)，曲线C 的参数方程为
2
2x s
y ⎧=⎪⎨
=⎪⎩(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值． 【解析】直线l 的普通方程为280x y -+=．因为点P 在曲线C
上，设2(2,)P s ，
从而点P 到直线l 的的距离22
d =
=，当s =min d =．
因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值5
． D ．［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）
已知,,,a b c d 为实数，且22224,16,a b c d +=+=证明：8.ac bd +≤
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB =AD =2，AA 1120BAD ∠=︒． （1）求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； （2）求二面角B-A 1D-A 的正弦值．
【解析】在平面ABCD 内，过点A 作AE ⊥AD ，交BC 于点E ． 因为AA 1⊥平面ABCD ，所以AA 1⊥AE ，AA 1⊥AD ．
如图，以1{,,}AE AD AA 为正交基底，建立空间直角坐标系A -xyz ．
因为AB =AD =2，AA 1，120BAD ∠=︒．
则11(0,0,0),1,0),(0,2,0),A B D E A C -．
（1
）11(3,1,3),(3,1A B AC =--
=
，
则111111(1,1
cos ,77
||||
A B AC A B AC A B AC ⋅-⋅=
==-．
因此异面直线A 1B 与
AC 1所成角的余弦值为
1
7
．
设二面角B -A 1D -A 的大小为θ，则3|cos |4
θ=． 因为
[0,]θ∈π，所以sin 4θ==．因此二面角B -A 1D -A 的正弦值为4
． 23．（本小题满分10分）
已知一个口袋中有m 个白球，n 个黑球(,*,2m n n ∈N ≥)，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球
随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,,m n +的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k
的抽屉(1,2,3,
,)k m n =+
．
（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ；
（2）随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，()E X 是X 的数学期望，证明：
()()(1)
n
E X m n n <
+-．
【解析】（1）编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 为：11C C n m
n n m n n p m n
-+-+==+． （2）随机变量X 的概率分布为
随机变量X 的期望为1
1
C 111(1)!
()C C (1)!()!n m n
m n k n n
k n k n
m n
m n k E X k k n k n -++-==++-=⋅=⋅--∑∑．
所以1(2)!1(2)!
()C (1)!()!(1)C (2)!()!m n
m n
n n k n k n
m n
m n
k k E X n k n n n k n ++==++--<
=-----∑∑ 22
2
121(1C C C )(1)C n n n n n m n n
m n n ----+-+=
++++-122
2
1121(C C C C )(1)C n n n n n n n m n n
m n
n ------+-+=
++++-
12
2
21(C C C )(1)C n n n n n m n n
m n
n ---+-+=
+++-12
221(C C )(1)C n n m n m n n
m n
n --+-+-+=
=
+- 11
C (1)C ()(1)
n m n n
m n n n m n n -+-+==-+-， 即()()(1)
n
E X m n n <
+-．
古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。

知识就是机积累起来的，经验也是积累起来的。

我们对什么事情都不应该像“过眼云烟”。

学习知识要善于思考，思考，再思考。

——爱因斯坦
镜破不改光，兰死不改香。

——孟郊
生活的全部意义在于无穷地探索尚未知道的东西，在于不断地增加更多的知识。

—
做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。

好比吃饭一样，要嚼得烂，方好消化，才会对人体有益。

——陶铸
研卷知古今；藏书教子孙。

——《对联集锦》
凡事豫（预）则立，不豫（预）则废。

——《礼记》
知识是珍贵宝石的结晶，文化是宝石放出来的光泽。

——泰戈尔
你是一个积极向上，有自信心的孩子。

学习上有计划、有目标，能够合理安排自己的时间，学习状态挺好；心态平和，关心、帮助同学，关心班集体，积极参加班级、学校组织的各项活动，具有较强的劳动观念，积极参加体育活动，尊敬师长。

希望你再接再厉，不满足于现状，争取做的更好。