球面波照射下光栅和透镜光学系统的Talbot效应

球面波照射下光栅和透镜光学系统的Talbot效应
王淮生
【摘要】研究了在球面波照射下光栅和一个透镜构成的光学系统的衍射特点,给出了光学系统Talbot自成像的条件及光学系统自成像周斯变化的规律,并以振幅光栅为例给出了从低密度光栅生成高密度光栅的条件.研究表明光学系统Talbot自成像的性质不仅与球面波的距离有关,而且与透镜的焦距和位置密切相关.由于通常研究的是在平面波照射下光栅的Talbot效应,因此关于球面波照射下光栅和透镜系统Talbot效应特性分析将进一步完善光栅的Talbot效应理论.
【期刊名称】《长江大学学报（自然版）理工卷》
【年(卷),期】2010(007)003
【总页数】3页(P23-25)
【关键词】球面波;光栅;透镜;Talbot效应
【作者】王淮生
【作者单位】上海电力学院数理系,上海,200090
【正文语种】中文
【中图分类】O438
1836年Talbot研究发现当一个周期性的物体例如一个光栅在平面波照射下，由于光栅的衍射，会在光栅后面一定的距离z处出现光栅的像，这种现象称为Talbot 效应。

Talbot距离z可表示为：
z=n
式中，λ表示光的波长； d表示为光栅的周期；n为任意正整数。

Talbot 效应[1]是光学中一个有一定历史的研究课题。

近几十年来，由于光学信息科学技术的发展又引起人们的重视，Talbot 效应也广泛应用在图像合成[2]、通讯[3～5]、角度精确测量[6]、图像的压缩[7]和光波导[8]中。

通常，对其主要研究是单个光栅在平行光照射下的Talbot 效应，而文献[9]研究了在平面波照射下光栅和单透镜系统的Talbot效应。

下面笔者研究将光栅和单透镜系统的Talbot 效应推广到球面波照射下的情况。

由于球面波的点光源的距离可以变化，这对于调节系统的Talbot自成像是十分有用的。

由一个光栅和一个透镜组成并被球面光波照射的光学系统如图1所示。

其中，S为点光源；光栅位于Σ1平面；透镜位于Σ2平面；观察平面位于Σ平面；d0表示点光源到光栅的距离；d1表示光栅到透镜的距离；z表示透镜到观察平面的距离。

文献[9]中从透镜到观察平面的中间有一个频谱面，在这里为简单起见，直接分析从透镜到观察平面，中间不需要一个频谱面。

为简单起见，这里仅讨论一维问题。

设光栅的透射函数为T(x)，由于T(x)为周期函数，展成傅里叶级数为：
T(x)=∑ncnexp(i2πnx/d)
式中，cn为傅里叶级数系数，cn=(1/d)T(x)exp(-i2πnx/d)dx。

为了方便比较，下面分析光栅在平行光照射下的衍射情况，单透镜衍射系统如图2所示。

假定光栅位于平面Σ1并被平面波照射，利用光学理论中Fresnel衍射方程[10]，则在距离z′处衍射光场φ(x′,y′)为：
式中，(x1,y1)位于Σ1平面；(x′,y′)位于Σ′平面；C1为常量。

将式(1)代入式(2)，并利用积分公式：
exp(iαx2)dx=
式(2)可化简为：
φ(x′,y′)=C2∑jcjexp(i2πjx′/d)exp(-iπλj2y′/d2)
式中，C2为一个常量和相位函数的乘积。

下面将分析光学系统(如图1所示)在球面波照射下的衍射情况。

Σ1平面的光波函数为球面光波函数和光栅透射函数的积：
ψ1=C3exp(iπ(+)/λd0)T(x1)
式中，C3为一个常量。

ψ1经过一个Fresnel衍射到达透镜平面Σ2的左边，透镜平面Σ2的左边光波函数为：
=∬ψ1exp(iπ[(x1-x2)2+(y1-y2)2]/λd1)dx1dy1
式中，(x2,y2)位于Σ2平面；为一个常量。

如果把透镜看成是理想透镜，由于透镜的透射函数[11]为则透镜平面Σ2后的光波函数为：
ψ2=exp(-iπ(+)/λf)∬ψ1exp(iπ[(x1-x2)2+(y1-y2)2]/λd1)dx1dy1
式中，f为透镜的焦距。

ψ2经过一个Fresnel衍射到达观察平面Σ，利用光学理论中Fresnel衍射方程[10]可得Σ上的光波函数为：
ψ=C4∬ψ2exp(iπ[(x-x2)2+(y-y2)2]/λz)dx2dy2
式中，C4为一个常量。

通过式(4)、(5) 和(6)的计算，可以得到：
ψ=∑ncnexp(i2πxΔ1n/d)e xp(-iλπn2(Δ2+Δ3)/d2)
其中，Δ1=fd0/(fz+fd0+fd1-d0z-d1z)；Δ2=d0d1/(d0+d1)；；为一个常量和相位函数的乘积。

由式(7)知系统的自成像条件为：
Δ2+Δ3=2m
式中，m为正整数。

系统自成像的周期d′为:
d′=d/Δ1
当d0→∞时，球面波过渡到平面波，式(8)和式(9)变为：
d1+=2m
d′=d
这与文献[9]中的结论是一致的。

再将光学系统的自成像条件与单透镜的自成像条件作一比较。

由式(3)可知，单透镜在平行光照射下自成像条件为：
z′=2n
式中,n为正整数。

比较式(8)和式(12)知，光学系统的自成像距离是一个综合因素，即与实际距离z 有关，也与点光源的距离d0，透镜的焦距f及透镜到光栅的距离d1有关。

而由式(8)可知，光学系统的自成像的周期同样与上述因素有关。

下面讨论一振幅光栅，设开口比为1/M，M为正整数。

光栅的透射函数为:
式中，Rect为矩形函数。

矩形函数示意图如图3所示。

光栅的透射函数的傅里叶级数为：
这里An=sin(πn/M)/(πn)。

系统的自成像条件由式(8)决定，而系统的自成像的周期由式(9)决定。

由式(9)知，当:
zgt;
成立时,则有:
d′lt;d
即可以从低密度光栅生成高密度光栅。

研究了在球面波照射下光栅和一个透镜构成的光学系统的衍射特点，并给出了光学系统Talbot自成像的条件及光学系统自成像周斯变化的规律，以振幅光栅为例给出了从低密度光栅生成高密度光栅的条件。

研究表明，光学系统Talbot自成像的性质不仅与球面波的距离有关，而且与透镜的焦距和位置密切相关。

特别需要指出的是光学系统自成像的周期与原光栅的周期是不同的，而单光栅在平行光照射下的自成像的周期与原光栅的周期是相同的。

【相关文献】
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