四川省三台中学校2016-2017学年高二上学期期末模拟(八)数学试题 含答案

三台中学高2015级高二上期数学期末模拟（八）
命题 :梁怀洪 审题 ：高二数学组
一．选择题：本大题共12小题,每小题4分，共48分．
1．从1003名学生中选出50个代表，先用简单随机抽样剔除3人，再将剩下的1000人均分成20组，采用系统抽样方法选出50人，则每个人被选中的概率均为 A ．150
B ．120
C ．
20
1003
D ．
50
1003
2．抛物线2
4y x =的准线方程是
A 。

116
y =- B 。

116
y = C 。

1y =- D 。

1y =
3．下列四个命题正确的是
①线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强;反之，线性相关性越小；
②残差平方和越小的模型,拟合的效果越好；
③用相关指数R 2来刻画回归效果,R 2越小，说明模型的拟合效果越好．
④回归直线过样本点的中心()y x ,。

A ．①③ B ．②④ C ．①④ D ．②③
4．如图是1，2两组各7名同学体重(单位:kg ）数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次为错误!1和错误!2，标准差依次为s 1和s 2，那么
A.错误!1＞错误!2，s 1＞s 2
B.错误!1＞错误!2，s 1＜s 2 C 。

错误!1＜错误!2，s 1＜s 2 D 。

错误!1＜错误!2，s 1＞s 2
5．过点()25，，且在y 轴上的截距是在x 轴上截距2倍
的直线方程是
A 。

0122=-+y x B.0122=-+y x 或052=-y x C 。

012=--y x D.012=--y x 或052=-y x 6．如右图程序执行后输出的结果是
A ．3
B ．6 C. 10 D ．15 7．圆2
22650x y x y a +-++=关于直线2y x b =+成轴对称图形，则a b -的取值范
围是
A 。

(,0)-∞ B.(,4)-∞ C.(4,)-+∞ D 。

(4,)+∞
8．已知()1,0,A B -是圆2
2:2110F x
x y -+-=（F 为圆心）上一动点,线段AB 的
垂直平分线交BF 于P ,则动点P 的轨迹方程为
A ．22
11211
x y +=
B ．22
13635
x y -=
C ．22
132
x y -=
D ．22
132
x y +=
9．阅读如下程序框图，如果输出i ＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是
A ．S ＜8?
B ．S ＜9?
C ．S ＜10?
D ．S ＜11?
10．已知圆2
2:12C x
y +=，直线:4325l x y +=,圆C 上任取一点A 到直线l 的距
离小于2的概率是
A ．16
B ．
14
C ．13
D ．12
11．椭圆的中心在原点，左右焦点1
2
F F 、在x 轴上，A B 、分别是椭圆的
上顶点和右顶点，P 是椭圆上一点，且1
PF x ⊥轴,2
//PF
AB ，则此椭圆的
离心率等于
A ．13
B ．
12
C ．
D ．
5
12．设点(,)
P x y 是曲线
||||1(0,0)
a x
b y a b +=>>上的动点，且满足
，则a 的取值范围为
A ．[2,)+∞
B ．[1,2]
C 。

[1,)+∞
D ．(0,2]
二．填空题：本大题共4小题,每小题3分，共12分． 13. 直线3y x =-的倾斜角为 ． 14．焦点在X 轴的椭圆
14
2
2=+y m x 的焦距为2，则m 的值等于 。

15。

在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x =±为渐近线,且经过抛物线
24y x =焦点的双曲线的方程是
.
16．已知椭圆2
2:14x C y +=，过点(0,4)D 的直线l 与椭圆C 交于不同两点,M N
（M 在,D N 之间），有以下四个结论：①若''2x x
y y ⎧=⎨=⎩
，椭圆C 变成曲线E ，
则曲线E 的面积为4π；②若A 是椭圆C 的右顶点,且MAN ∠的角平分线是
x 轴，则直线l 的斜率为2-；
③若以MN 为直径的圆过原点O ，则直线l 的斜率为25±； ④若
DN DM
λ=，则
λ
的取值范围是513
λ<≤。

其中正确的序号
是 .
三．解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分．
17。

我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨）,将数据按照［0,0。

5）, ［0。

5,1）,……[4，4。

5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（I ）求直方图中的a 值;
(II ）设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；
(Ⅲ)估计居民月均用水量的中位数。

18．已知平面内两点(8,6)(22)A B -，，．
（1）求AB 的中垂线方程;
(2)求过(2,3)P -点且与直线AB 平行的直线l 的方程；
（3）一束光线从B 点射向（2)中的直线l ，若反射光线过点A ,求反射光线所在的直线方程．
19.已知过原点的动直线l 与圆1
C
:22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，
B ．
（1)求圆1
C 的圆心坐标；并求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；
(2)是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．
20.已知椭圆:C 22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点为12(,0),(,0)F c F c -，其短轴长是
O到过点(,0)
A a和(0,)
-两点的直线的距离为7.
B b
(1）求椭圆C的方程;
（2)若点,P Q是定直线4
x=上的两个动点,且120
F P F Q
•=，证明:以PQ为直径的圆过定点，并求定点的坐标。

三台中学高2015级高二上期数学期末模拟（八）答案 一．选择题： 1—5。

DABCB 6-10.CBDBA 11-12。

DA 二．填空题: 13。

4
π 14。

5 15。

14
2
2
=-y x
16。

①④
11.如图所示,设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，所以x c =-时,42
2
b y a
=,所以
22(,),(,0)b P c F c a -，又2(,0),(0,),//A a B b PF AB ，所以2//PF AB k k ，所以2
2b b ac a
-=-,所以2b c =，
225a b c c =+=,所以5
c e a =
=,故选D ．
12.曲线)0.0(1||||>>=+b a y b x a ，当0,0≥>y x 时，化为1=+by ax ；当0,0≤≥y x 时，化为1=-by ax ；当0,0≥≤y x 时,化为1=+-by ax ；当0,0≤≤y x 时，化为1=--by ax 。

如图，表示菱形ABCD 。

由
2
2)1()1(x 2222≤-++++y x y ，设)0,1(),0,1(N M -， 则
2
2||2≤PM ，2
2
≤BD ,21
12≤+
∴
b
，
222
≤a
，计算得出1≥b ，1
2≥a ，
211b 2=+≥+a 。

b 2+∴a 取值范围为),2[+∞。

所以A 选项是正确的.
16。

①根据点的坐标变换，代入椭圆方程
1242
2=⎪⎭
⎫
⎝⎛'+'y x ,得到422='+'y x ,为圆的方程,半径为2，那么面积就是π4=S ,正确，②根据椭圆关于x 轴对称，若角平分线是x 轴,那么N M ,关于x 轴对称，直线斜率不存在,显
然错误；③设直线方程
4
+=kx y ,与椭圆方程联立,得到
()()0
603241444222
2=+++⇔=++kx x k kx x ，
2
214132k k x x +-
=+，
2
214160k x x +=
，
()()()16444212122121+++=++=x x k x x k kx kx y y ，根据条件，当过原点时，满足
02121=+y y x x ，代入根与系数的关系，得到19±=k ，故不正确；④根据
③0>∆得到4
152
>
k
,又根据条件可得
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧
>=+=+-=+141604132122
212
21
λλx x k x x k k x x ，代入整理为
()()
⎪⎭
⎫
⎝⎛+=+=+41152564115256122
22
k k k λ
λ，整理为()1564
142
<
+<λλ,解得3553<<λ,又1>λ，所以35
1<
<λ，当斜率不存在时，此时35=λ，故3
51≤<λ故填:①④. 三．解答题:
17。

（Ⅰ）由频率分布直方图,可知:月用水量在[0，0.5］的频率为0.08×0。

5=0.04.
同理，在[0。

5,1),(1。

5，2]，［2,2。

5),［3，3.5），［3。

5,4），［4,4。

5）等组的频率分别为0.08，0.21,0.25，0。

06，0。

04,0。

02。

由1–（0.04+0。

08+0.21+.025+0。

06+0.04+0。

02)=0。

5×a +0.5×a ， 解得a =0。

30。

(Ⅱ)由(Ⅰ），100位居民月均水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0。

02=0。

12。

由以上样本的频率分布,可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0。

13=36000。

(Ⅲ）设中位数为x 吨。

因为前5组的频率之和为0。

04+0。

08+0.15+0。

21+0.25=0.73〉0。

5，
而前4组的频率之和为0.04+0.08+0。

15+0.21=0.48〈0。

5 所以2≤x 〈2.5。

由0。

50×（x –2)=0。

5–0。

48,解得x =2。

04。

故可估计居民月均用水量的中位数为2。

04吨. 18。

（1）8252
+=，6222
-+=-
∴AB 的中点坐标为(5,2)- 1分
624823AB k --=
=--,∴AB 的中垂线斜率为3
4
2分 ∴由点斜式可得32(5)4
y x +=- ∴AB 的中垂线方程为34230x y --=
（2）由点斜式43(2)3
y x +=-- ∴直线l 的方程4310x y ++=
(3）设(2,2)B 关于直线l 的对称点(,)B m n '
∴23
2422431022
n m m n -⎧=⎪⎪-⎨++⎪⨯+⨯+=⎪⎩
解得14585m n ⎧
=-⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
∴148(,)5
5
B '--，8
6115142785B A
k
'-+
=
=-+
由点斜式可得116(8)27
y x +=--，整理得1127740x y ++=
∴反射光线所在的直线方程为1127740x y ++= 19。

(1）圆1C
:22
650x y x +-+=化为(
)2
234x y -+=所以圆1C 的圆心坐标为()3,0 设线段AB 的中点0
(,)x y M ,由圆的性质可得1
C M 垂直于直线l 。

设直线l 的方程为mx y =(易知直线l 的斜率存在)，所以1C 1k
m M
⋅=-，
00mx y =，所以130000-=⋅-x y x y ,所以0320020=+-y x x ,即49232
02
0=+⎪⎭⎫ ⎝
⎛-y x 。

因为动直线l 与圆1
C 相交，所以
21
32<+m m ，所以5
4
2<
m . 所以2
02
022054x x m y
<
=，所以20200543x x x <-，解得3
50>x 或00<x ，又因为300≤<x ，
所以3350≤<x 。

所以),(00y x M 满足49232
02
0=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<3350x
即M 的轨迹C 的方程为49232
2
=+⎪
⎭⎫ ⎝
⎛-y x ⎪⎭
⎫
⎝⎛≤<335x 。

（2）由题意知直线L 表示过定点T
(4,0)，斜率为k 的直线.
结合图形,49232
2
=+⎪⎭⎫ ⎝
⎛-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<335x 表示的是一段关于x
轴对称,起点为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
-
352,35按逆时针方向运动到
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛352,35的圆弧。

根据对称性，只需讨论在x 轴对
称下方的圆弧.设P ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-352,35，则75
23
5435
2=
-
=PT k ，而当直线
L
与轨
迹C 相切时，2
3
1
4232=
+-k k k
，解得43±=k 。

在这里暂取43
=k ，因为4
3
7
52
<
，所以k
k PT
<。

结合图形，可得对于x 轴对称下方的圆弧,当25
07
k ≤≤3
4k =时，直线L 与x 轴对称下方的圆弧有且只有一个交点,根据对称性可知:当2
507
k -≤<或3
4
k =-
时，直线L 与x 轴对称上方的圆弧有且只有一个交点。

综上所述,当7
5
27
52≤
≤-k 或34
k =±时，直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个
交点。

20。

【答案】(1）13
42
2=+y x ；（2)），（0154+，）
，（015-4． 【解析】试题分析:（1）由题意得3=b ，运用点到直线的距离公式，
解得2a =，进而可求得椭圆的方程；（2）由题意得,写出直线1
PF 和直
线2PF 的方程,可得设)3,4(),5,4(k Q k P -，写出以PQ 为直径的圆的方程,令0=y ,即可求解求定点的坐标．
考点:椭圆的
标准方程及其
简单的几何性
质；圆的方程
的应用。