【数学】广东省普宁市2020届高三下学期摸底考试数学文版含答案

【关键字】数学
普宁侨中2017届高三级第二学期摸底考试试卷·文科数学
注意事项：
1、答题前，考生务必将自己的考号、班别、姓名写在答卷密封线内。

2、答案填写在答卷上，必须在指定区域内、用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，不能超出指定区域或在非指定区域作答，否则答案无效。

一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

（1）设集合,为自然数集，则等于（）
（A）（B）（C）（D）
（2）已知复数满足：（是虚数单位），则对应的点在复平面的（）
（A）第一象限角（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限
（3）设，，则是成立的（）
（A）充分必要条件（B）充分不必要条件（C）必要不充分条件（D）不充分不必要条件
（4）实数，满足,则使得取得最小值的最优解是（）
（A）（B）（C）（D）
（5）已知，则的值为（）
（A）（B）（C）（D）
（6）若一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（）（A）（B）（C）（D）
（7）已知是定义在上的偶函数,且当时, ，
则的值为（）
（A）（B）（C）（D）
（8）若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）
（A）（B）（C）（D）
（9）运行如图所示的流程图，则输出的结果是（）
（A）（B）（C）（D）
（10）已知的内角所对应的边分别为，且面积为6，
周长为12，，则边为（）
（A）（B）（C）（D）
（11）已知数列为等差数列，为前项和,公差为，
若，则的值为（）
（A）（B）（C）（D）
(12) 定义在R上的可导函数满足，且，当时，
不等式的解集为( )
（A）（B）（C）（D）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知实数满足，则的最小值为 .
14.已知函数，且函数在点（2，）处的切线的斜率是，则= .
15.已知是球的直径上一点，，平面，为垂足，截球所得截面的面积为，则球的半径为_______
16.已知满足 .
三、解答题（本大题共70分.解答要有文字说明或推理过程）
17.（本小题满分12分）
已知等差数列的前n项和为，若成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若时，数列满足，求数列的前n项和．
18.（本小题满分12分）
某商店计划每天购进某商品若干件,商店每销售1件该商品可获利50元.若供大于求，剩余商品全部退回，则每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利30元.
（Ⅰ）若商店一天购进该商品10件,求当天的成本y(单位:元)关于当天需求量n（单位:
件,n∈N）的函数解析式；
（Ⅱ）商店记录了50天该商品的日需求量（单位:件）,整理得下表:
①假设该店在这50天内每天购进10件该商品,求这50天的日成本（单位:元）的平均数；
②若该店一天购进10件该商品,记“当天的成本在区间”为事件A，求P（A）的估计值.
19.（本小题满分12分）
如图，是底面边长为2，高为的正三棱柱，经过AB 的截面与上底面相交于PQ ， 设. （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）当2
1
=
λ时，求点C 到平面APQB 的距离. 20.（本小题满分12分）
已知椭圆C 的两个焦点分别为)0,10(),0,10(21F F -，且椭圆C 过点P(3，2)． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）与直线OP 平行的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求△PAB 面积的最大值． 21.（本小题满分12分）
已知函数)(ln 2)(R a a ax x x f ∈+-=. （Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；
（Ⅱ）若0)(≤x f 恒成立，证明：当210x x <<时，
)11
(2)()(1
1212-<--x x x x f x f ．
请考生在第22、23、24题中任选一题做答。

如果多做，则按所做的第一题计分，答题时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，已知圆O 是ABC ∆的外接圆, AB BC =,AD 是BC 边上的高,AE 是圆O 的直径，过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点F .
（Ⅰ）求证：AC BC AD AE ⋅=⋅；
（Ⅱ）若2,AF CF ==AE 的长.
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为1122
x t y ⎧=-⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).以原点为极点，
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C
的方程为ρθ=.
(Ⅰ)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；
(Ⅱ)若点P 的直角坐标为(1,0)，圆C 与直线l 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值. （24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
F
A C
E
B
D O
已知函数1
()(0)f x x a x a a
=+++
> (Ⅰ)当2a =时，求不等式 ()3f x >的解集；
(Ⅱ)证明： 1
()()4f m f m
+-
≥ 摸底考试 试卷·文科数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项
A
D
C
A
A
C
B
C
C
C
B
D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡题号相应的横线上.）
13. -5 . 14.
4
1
. 15. 332 . 16. 10 .
三、解答题（本大题共2小题，每小题14分，共28分.解答要有文字说明或推理过程） 17【解答】解：（1）∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3=9，a 1，a 3，a 7成等比数列，
∴ (2)
解得或， (4)
当时，a n =3； (5)
当时，a n =2+（n ﹣1）=n+1． (6)
（2）∵a n ≠a 1，∴a n =n+1，∴b n =2=2n+1， (7)
∴， =2， (9)
∴{b n }是以4为首项，以2为公比的等比数列，.......................10 ∴T n ==
=2n+2﹣4． (12)
18【解答】
解：(Ⅰ)当日需求量10n ≥时,利润为5010(10)3030200y n n =⨯+-⨯=+； (2)
当需求量10n <时，利润50(10)1060100y n n n =⨯--⨯=-.....................4 所以利润y 与日需求量n 的函数关系式为：
30200,10,60100,10,n n n N
y n n n N
+≥∈⎧=⎨
-<∈⎩...................5 （Ⅱ）50天内有10天获得的利润380元，有10天获得的利润为440元，有15天获得利润为500元，有10天获得的利润为530元，有5天获得的利润为560元................8 ①
47650
5
*56010*53015*50010*44010*380=++++..............................
(10)
② 事件A 发生当且仅当日需求量n 为9或10或11时.由所给数据知，n=9或10或11的频率为10
7
50101510=++=
f ，
故P(A)的估计值为0.7...................................12 19【解答】 （Ⅰ）证明：∵ 111ABC A B C - 是正三棱柱， ∴平面ABC //平面111A B C ……2分
∵平面APQB ⋂平面111A B C =PQ ，平面APQB ⋂平面ABC =AB ∴//PQ AB ……………………4分
∵11//AB A B ， ∴11//PQ A B ……………………6分 （Ⅱ）连结PB ，点C 到平面APQB 的距离等于三棱锥C
APB 的高，设其值为
d
…………………7分
当12λ=时，1
//12
PQ AB =，四边形APQB 是等腰梯形，经计算得梯形的高为6 ……
8分
∴166
2222PBA S ∆=
⨯⨯=，23234
ABC S ∆=
⨯= …………9分 ∵111ABC A B C - 是正三棱柱，∴111
33
C PBA PBA P ABC ABC V S d V S AA -∆-∆=
⨯==⨯……10分 得到
636
3,222
d d ⨯=⨯=…………11分 所以点C 到平面APB 的距离为
6
2
.…………12分
20.解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为()22
221,0x y a b a b
+=>>， (1)
由题意可得
222210
94
1a b a b
⎧-=⎪
⎨+=⎪⎩ (3)
解得22188
a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩， (4)
故椭圆C 的方程为
22
1188
x y +=． …5分
（Ⅱ）直线
OP 方程为230x y -=，设直线AB 方程为
()230,,0x y t t R t -+=∈≠且． (6)
将直线AB 的方程代入椭圆C 的方程并整理得2284720x tx t ++-=．............7 设()()1122,,,A x y B x y ．
当()()
222163272161440t t t ∆=--=->，即012t <<时，
有2121272
,28
t t x x x x -+=-=． (8)
所以
2
13144t AB -=⋅
(9)
O 到直线AB 的距离13
t d =
......................................................................
(10)
PAB ∴∆面积的最大值为6..........................................12分
21.【解答】解：（Ⅰ）求导得f′（x ）=
，x ＞0． (2)
若a≤0，f′（x ）＞0，f （x ）在（0，+∞）上递增；.......................3 若a ＞0，当x ∈（0，）时，f′（x ）＞0，f （x ）单调递增；.. (4)
当x ∈（
，+∞）时，f′（x ）＜0，f （x ）单调递减． (5)
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
若a≤0，f （x ）在（0，+∞）上递增，又f （1）=0，故f （x ）≤0不恒成立......6 若a ＞2，当x ∈（
，1）时，f （x ）递减，f （x ）＞f （1）=0，不合题意．., (7)
若0＜a ＜2，当x ∈（1，
）时，f （x ）递增，f （x ）＞f （1）=0，不合题意 (8)
若a=2，f （x ）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，
f （x ）≤f（1）=0，合题意．.............................................9 故a=2，且lnx≤x﹣1（当且仅当x=1时取“=”）． 当0＜x 1＜x 2时，f （x 2）﹣f （x 1）=2ln
﹣2（x 2﹣x 1）
＜2（﹣1）﹣2（x 2﹣x 1）=2（﹣1）（x 2﹣x 1）， (11)
∴＜2（﹣1）． (12)
22．（本小题满分10分）
（Ⅰ）证明：连结BE ，由题意知ABE ∆为直角三角形 ………1分 因为90AEB ADC ∠=∠=︒，AEB ACB ∠=∠，ABE ADC ∆∆………2分
所以
AB AE
AD AC
=
………3分 即AB AC AD AE ⋅=⋅ ………4分
又AB BC =，所以AC BC AD AE ⋅=⋅ ………5分
（Ⅱ）因为FC 是圆O 的切线，所以2
FC FA FB =⋅，………6分
又2,22AF CF ==4,2BF AB ==，………7分 因为,ACF FBC CFB AFC ∠=∠∠=∠，所以AFC CFB ∆∆ ………8分
所以AF AC
FC BC
=
，得2AC =,214cos sin 44ACD ACD AEB ∠=∠==∠ ……9分
所以sin 7
AB AE AEB =
=∠………10分
23. （本小题满分10分）
（Ⅰ）消去参数得直线l
0y +-=， ………2分
由ρθ=得圆C
的直角坐标方程22
0x y +-=. ………5分
（Ⅱ）由直线l 的参数方程可知直线过点P ， ……6分
把直线l 的参数方程代入圆C
的直角坐标方程22
0x y +-=，
得221(1)322
t -
+-=， …………7分 化简得2410t t -+=,120∆=>，故设12,t t 是上述方程的两个实数根，所以
12124,1t t t t +==，……8分
,A B 两点对应的参数分别为12,t t ， ………………9分
所以1212||||||||4PA PB t t t t +=+=+=. ………………10分 24. （本小题满分10分）
（Ⅰ） 当2a =时，1
()22
f x x x =+++
，原不等式等价于 1122221
1123+23+23222
x x x x x x x x x ⎧⎧
<--≤≤->-⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨---->⎪⎪⎪-->++>⎩⎪⎪⎩⎩，或，或………………3分 解得111
44
x x <-
∅>或或 ………………4分 不等式的解集为111
{|}44
x x x <->或 ……………………5分 （Ⅱ）11111
()()f m f m a m a m a m m a
+-
=++++-++-+ ……………6分 11111
2m a a m m m a m a m
=++-
++++-+≥+…………8分 1
2(||)4||m m =+
≥，当且仅当11
m a =±⎧⎨=⎩时等号成立。

………10分
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