改进响应面法_IRSM_及其近似性能研究

第19卷 第2期 2009年2月
改进响应面法(IRSM)及其近似性能研究
*
潘 雷** 谷良贤 阎代维
西北工业大学航天学院,西安710072
2008-06-04收稿,2008-08-12收修改稿
*国家自然科学基金资助项目(批准号:60774087) **E -mail:dongeast007@
摘要 响应面(response surface method,RSM)近似技术计算简单,但不能够随着样本容量的增大而提高近似精度.对RSM 理论分析发现,RSM 法的缺点源于其未对计算残差进行处理,从而丢失了大量有用信息.改进响应面法(improved response surface method,IRSM)通过对RSM 方法的残差进行RBF(radial basis function)插值处理,可以在增加有限计算量的条件下提高近似精度,并可提供待拟合曲面的近似梯度信息.解析算例和工程实际模型的测试结果表明,IRSM 方法的近似精度随着样本点的增多而显著提高.在样本点较少的时候,IRSM 方法的近似性能明显高于RSM 方法的近似性能;而当样本点较多时,IRSM 方法的近似性能显著高于RSM 方法和RBF 方法.关键词 响应面 径向基函数 残差 近似模型 近似技术是多学科设计优化理论的一个重要分支[1],好的近似技术可以有效地提高多学科设计优化的计算效率.目前常用的近似方法有响应面法、径向基函数法、Krig ing 法、T aylor 法等多种近似方法.其中以响应面法最为简单实用,引起了国内外学者的广泛关注.
响应面法(response surface metho d,RSM )种类很多,有基于计算机实验设计与分析的DACE 响应面,基于样条函数的Spline 响应面和基于神经网络的N N 响应面等.最常用的响应面法是多项式响应面法[2,3]
.目前对响应面法的研究主要集中在响应面的近似精度和计算量两个问题上.张哲等通过利用插值点替代极限状态提高了响应面在极限状态的近似精度[4],吕震庙等通过迭代线性插值的方法提高了响应面极限状态的近似精度[5],阎明等通过改进样本点选取策略来提高响应面近似精度[6].但这些研究都未能提高大样本时的响应面近似精度.而一个好的近似方法应该能够随着样本点的增多逐步提高其近似精度.本文提出一种改进多项式响应面法,采用径向基函数(r adial basis function,RBF)方
法对多项式响应面法的残差进行处理,有效地提高了多项式响应面的近似精度,改进了多项式响应面法大样本情况下的近似精度.
1 多项式RS M 近似技术
多项式RSM 主要是利用最小二乘拟合的方法,通过对试验数据的分析,找出相关因素与响应量之
间的函数关系,并用这种函数替代原来的函数关系.多项式响应面法采用的函数通常为高阶多项式,根据多项式阶数的不同形成了不同的响应面,其中最常用的是二阶响应面,也称二次响应面.
若将二次响应面模型的响应量用 表示,则具有n 个变量的二次响应面的函数模型可表述为:
= 0+
n
i=1
i x i +
n
i =1
ii x 2
i
+
n
1 i<j n
ij x i x j (1)式中X R n , 0, i , ii , ij 为待定系数.当给定一组已知数据时,由(1)式确定的各待定系数组成
一线性方程组,通常利用最小二乘法求解各待定系数.待定系数确定之后,将待求的目标点x 代入
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(1)式即可计算出x 点的RSM 近似结果.
多项式RSM 主要思想仍是T ay lor 展开的思想.对于函数y =f (x ),其中x 为自变量向量,将其在x 0点展开,可得:f
x 0+ x = f
x 0
+1
2
x
T
H f x 0 x
+o
x
3
(2)
其中 f x 0为函数f 在x 0点的梯度与 x 的点积,H f x 0为函数f 在x 0点的H essian 矩阵.二阶多项式响应面实质是根据已知的数据采用最小二乘法计算函数f 在一个区间内的梯度及Hessian 矩阵,并将项o x 3视为残差忽略掉.当多项式最高阶数为n 时,易知近似结果的精度为o x n +1
.
由(1)式可知,对于具有n 个变量的m 阶响应面,其待定系数个数为
m
i=1
C i n +1个,随着响应面
阶数的增加,所需要待定系数的数目急剧增加,而计算精度却没有显著提高.因此,通常响应面的阶数不超过4阶.
2 RBF 近似技术
1985年,Pow ell 构造了多变量插值的径向基函数(radial basis function,RBF),由于其良好的近似性能,径向基函数快速得到了广泛应用.
径向基函数RBF 是一种径向对称函数,可描述为 ( x - ),其中 为Euclid 范数, 为RBF
的中心.通常可将插值函数写成
f
x =
m
i =1
i x -x i (3)
将各已知点代入,可得出有m 个含未知数
i 的方程.当矩阵A ij = x i -y i i,j =1,2, ,m
非奇异时,可求出未知数 i ,从而构造出径向基函数.
通常将 称为径向基函数的核.根据采用的核的不同,可以有不同种类的径向基函数.其中较常用的为Gauss 型核,表示为
x =e
x- 2
2(4)
其中,参数 称为宽度参数.
3 改进响应面(Improved RSM,IRSM)方法
多项式响应面法虽然计算简单,但其高阶计算
量却很大,且提高的精度有限.另外,响应面法不能够随着样本容量的增大而有效提高其近似精度.这两点严重限制了响应面法的使用.RBF 方法和响应面法一样计算简单,但其不能够较好地提供插值曲面的近似连续拟合曲面,通过RBF 插值曲面也难以获得待拟合曲面的近似导数信息.
分析多项式响应面法的原理可以注意到,它忽略掉了高阶项o x n +1
,而该项往往会比较大,有必要对该项重新进行近似.
在RSM 方法中,设生成的近似曲面为f 1,近似曲面在采样点处和已知结果f 存在一定的差别,记为残差R .为了利用残差信息R ,IRSM 方法利用RBF 对RSM 的插值残差R 进行处理,提取出残差中的信息加入到近似结果中去,有效地避免了RSM 和RBF 方法的缺点.IRSM 方法的计算流程如下:
(1)对初始采样点生成RSM 近似曲面,设生成的近似曲面为f 1;
(2)计算近似曲面f 1和采样点之间的残差,设为R ;
(3)利用残差矩阵R 计算RBF 插值函数f 2;
(4)利用RSM 近似曲面f 1和RBF 近似曲面f 2,分别按照公式(1)和公式(3)计算RSM 插值结果y 1和残差的RBF 插值结果y 2;
(5)将结果y 1和y 2进行叠加,作为最终的插值结果返回.
其计算流程图如图1.残差计算公式为
R =Y -f 1X
(5)
其中f 1(x )为利用样本点数据根据公式(1)得到的RSM 近似曲面,Y 为样本点响应,X 为样本点.这样,利用IRSM 方法在n 维向量x 点的插值结果f a (x )可表示如下
f a (x )=f 1(x )+f 2(x )
(6)
其中f 2(x )利用残差数据根据公式(3)得到.
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图1 IRSM计算流程
当样本容量增大时,IRSM方法通过对较多的残差进行处理,可以更好地近似插值点,从而达到更高精度的近似.因而,IRSM方法充分利用了残差信息,并且避免了RBF方法不能够提供插值曲面的近似连续拟合问题.由于IRSM方法对RSM插值的残差进行RBF插值,这使得计算量有所增大;不过,这部分额外的计算量在大多数时候并不明显.
4 RSM,RBF和IRSM性能比较
分别采用两个算例对RSM方法、RBF方法和IRSM方法进行性能测试.第一个算例为一解析算例,第二个算例为一工程实际算例.
4 1 算例1
考虑一维连续函数
f(x)=e23x+15-0.15x2+0.3x+7
-0.1x2-0.2x+1013
(7) 其中-10 x 10.
分别采用RSM、RBF和IRSM方法对f(x)进行该区间内的拟合.RSM方法采用四阶多项式响应面, RBF核为Gauss型核,宽度 为整个区间宽度20.
对于各种方法的计算结果,采用方差形式进行近似精度衡量,即
s2= n i=1(x i-x i)2(8)
其中x i为第i个点的解析计算结果,即实际值.x i 为第i个点的近似计算结果.很明显,s2不仅反映了整体对目标点的偏离程度,也反映了个体对目标点的偏离情况,因而它可以有效地反映各种方法的近似结果.
在区间[-10,10]内随机选取n个样本点,然后利用这n个样本点分别在30个点处用上述3种方法进行近似计算.图2 图4分别为样本容量n 为10,30和200情况下,3种方法在30个插值点处的拟合结果.
图2 10个样本点下RSM,RBF和IRSM
方法拟合结果
比较图2 4可以看出,在样本点较少时, RSM方法的近似结果为一个连续曲面,但其距离解析解有较大的误差.RBF的结果是一个不很光滑的曲面.样本容量增大后(图3,4),RSM方法的近似结果距离解析解仍有较大误差,而RBF和IRSM 方法的近似结果都很接近解析解.不论样本容量的多少,IRSM方法均能够有效地提高近似精度,且与解析解很好吻合.
图3 30个样本点下各方法拟合结果
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图4 200个样本点下各方法拟合结果
表1-3给出了这3种方法在不同样本容量和样本点下5次计算方差.
表1 样本容量为10时的计算方差
次数12345
IRSM15.459.04115.822.586.2 RBF25.4149.9794.729.965.6 RS M24.2024.73116.230.694.3表2 样本容量为30时的计算方差
次数12345
IRSM7.05 1.917 2.24 6.49 1.91 RBF52.95 5.2947.07 6.628.64 RS M24.0422.5823.3729.1121.23
横向比较各表的每次结果可以看出,IRSM方法的计算精度明显高于RSM方法和RBF方法.纵向比较表1 表3可以看出,随着样本容量的增大, IRSM方法的近似精度显著提高,且其精度远远高于RSM方法.这是由于IRSM是在RSM方法基础上进行残差处理,因而IRSM保留了RSM方法区间内连续的特性,同时又继承了RBF方法逐步提高精度的特性.
表3 样本容量为200时的计算方差次数12345
IRSM0.0870.0660.0880.0350.066 RBF0.5490.5090.6360.2790.230 RS M18.3018.1316.2519.5520.274 2 算例2
考虑优化模型
min f=f(X,Y)=x22+x3+y1+e-y2(9)
s.t.y1=x21+x2+x3-0.2y2(a) y2=y1+x1+x3(b) -10 x1 10,0 x2 10,0 x3 10
其中x1,x2和x3为设计变量.y1和y2为学科响应,(a),(b)两式分别对应学科a和学科b.
该算例为NASA提出的多学科优化算法测试模型.在利用多学科算法求解该模型时,需要对(a)式和(b)式分别进行近似.为简便见,本文仅对目标函数f进行近似.分别采用RSM,RBF和IRSM 方法对该算例进行近似,各方法的参数设置同算例1.样本点采用正交试验设计的方法进行选取,容量分别为27,96和216个.在函数的定义域内随机选取20个点作为测试点,图5 图7给出了不同样本容量下各方法对测试点近似的结果.部分测试点的结果为复数,计算中仅取其实部.
图5至图7表明,随着样本容量的增大,各方法的近似精度都有所提高.表4给出了各方法在不同样本容量下的近似结果误差.表4表明,随着样本容量的增大,RSM计算结果的误差变化不大,精度提高有限.而RBF方法和IRSM方法计算结果都有显著提高,且IRSM方法计算结果精度提高较快.这和表1 3
的结论一致.
图5 27个样本点下RSM,RBF和IRSM
方法拟合结果225
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表4 不同样本容量下各方法的误差方差
方法2796216 RS M106.498.7102.3 RBF232.5165.768.4 IRSM103.260.322.15 结论
RSM方法在进行曲面近似时存在一定的残差,且未对这种残差进行处理,从而丢失了部分信息. IRSM方法通过对RSM的残差进行RBF插值处理,有效地提高了计算精度.结果表明:
(1)在样本点较少的情况下,IRSM方法的计算精度高于RSM方法,但个别点低于RBF方法;在样本点较多的情况下,IRSM方法的计算精度明显高于RSM和RBF方法;
(2)IRSM方法保留了RSM对目标曲面近似的连续性,且可随着样本容量的增大显著提高其近似性能,这就使得其更适用于多学科设计优化过程.
高效精确的近似技术一直是多学科设计优化中的一个重要研究方向,本文提出的IRSM近似技术在增加有限计算量的情况下可以较大幅度地提高模型的近似精度,在多学科优化中具有很好的应用前景.
参 考 文 献
1 Sellar RS,Response Surface Based Concurrent Subspace Optimization
for Multidisciplinary System Desi gn,AIAA-96-0714,1996
2 余大胜,康海贵.响应面法计算结构可靠度的回顾.工业建筑,
2006,36:238 242
3 窦毅芳,刘 飞,张为华.响应面建模方法的比较分析.工程
设计学报.2007,14(5):359 363
4 张 哲,李生勇,滕启杰.一种改进的结构可靠度分析中响应
面法.大连理工大学学报,2007,47(1):57 60
5 吕震宙,赵 洁,岳珠峰.机械可靠性分析的高精度响应面法.
应用数学和力学,2007,28(1):17 24
6 阎 明,孙志礼,杨 强.基于响应面方法的可靠性灵敏度分
析方法.机械工程学报,2007,43(10):67 71
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