一阶线性微分方程的积分因子解法

一阶线性微分方程的积分因子解法
刘海浪;赵临龙
【摘要】对于一阶线性常微分方程P(x+y)dx+Q(x,y)dy=0,给出2种只依赖和xayb和(xa+yb)形式的积分因子存在的充分必要条件,有助于积分因子的求解.
【期刊名称】《高师理科学刊》
【年(卷),期】2010(030)002
【总页数】3页(P53-54,65)
【关键词】常微分方程;积分因子;通解
【作者】刘海浪;赵临龙
【作者单位】安康学院,数学系,陕西,安康725000;安康学院,数学系,陕西,安康725000
【正文语种】中文
【中图分类】教科文艺
第30 卷2010 年第 2 期3 月高师理科学刊JournalofScienceof TeachersrCollegeandUniversity Vol.30No.2Mar.2010文章编号： 1007-
9831(2010)02-0053-03一阶线性微分方程的积分因子解法刘海浪，赵临龙（安康学院数学系，陕西安康 725000 ）摘要：对于一阶线性常微分方程 P(x ，y)dx+Q(x ， y)dy=0 ，给出 2 种只依赖 Xayb 和（工o+ ），6 ，）形式的
积分因子存在的充分必要条件，有助于积分因子的求解．关键词：常微分方程；积分因子；通解中图分类号： 0175.1文献标识码： A doi:
10.3969/j.issn.1007-9831.2010.02.015 1引言及预备知识对于一阶微分方程
P(x ，y)dx+Q(x ， y)dy=0 若存在连续可微的函数u(x,y) ≠ 0 ，使得 u(x，
y)P(x, y)dx+u(x ， y)Q(x ， y)dy=0 ，恰当微分方程，即存在函数 v(x， y) ，使 u(x,y)P(x,y)dx+u(x,y)Q(x,y)dy=dv(x,y)且称不取零值 u(x， )， ) 为方程 (1) 的积分因子． (1)则称方程 (1) 为一阶 (2)一旦找到方程 (1) 的积分因子，就很容易求得式 (2) 的原函数 v （五） ' ），从而 v （工，），） =c 是方程 (1)的通解，引理‘ 11 设 P(x ，珐 Q( 工， y)， u(x， y) 在单连通区域 G 内连续且有连续一阶偏导数，且 u(x，y) ≠ 0 ，则函数 u(x， y) 为 (1) 的积分因子的充分必要条件是a “c3PaQ “ (3) Q尝一 P 考匆舐式(3)是一个以 u(x， )，）为未知数函数的一阶线性偏微分函数，通常情况下，要想通过具体求解方程 (3)而求得积分因子 u(x， y) 是比较困难的，但某些特殊情况下，不难求得 (3) 的一个特解 u(x， )， ) ，而作为积分因子，文献[1] 给出了结论：方程 (1) 有只与工有关的积分因子“（工）： e 』妒(J)出的充分必要条件是（茜一号） Q-
1=cp(x) ，这里 cp(x) 仅为 x 的函数．方程 c ．，有只与 y 有关的积分因子
u(y)=ei(p(y)dy 的充分必要条件是号一罢 ] （一P ）一 = 妒(y) ，这里 cp(y)仅为 y 的函数，当微分方程不存在只与工或 y 有关的积分因子，用此方法无法求解．本文给出 2 种只依赖 xoy6 和 xa+y6形式的积分因子存在的充分必要条件，这有助于积分因子的求解．收稿日期： 2009-10-11基金项目：安康学院大学生科技创新项 H(2008akxycLxs03; 2009AKXYDXS06)；安康学院重点扶持学科《基础数学》建设项目（ AZX20107 ）；安康学院重点项目
( 2(X)8akxy029)作者简介：刘海浪（ 1989- ），男，陕西榆林人，安康学院数学系 2(X)7 级本科学生． E-rrlail: 通讯作者：赵临龙
（ 1960- ），男，陕西西安人，教授，从事微分方程研究． F-
mail:aktczU@第30卷 2010年第2期 3月高师理科学刊
JournalofScienceof TeachersrCollegeandUniversity Vol.30 No.2 Mar.文章编号： 1007-9831(2010)02-0053-03摘要：对于一阶线性常微分方程 P(x ，
y)dx+Q(x ， y)dy=0 ，给出 2 种只依赖 Xayb 和（工o+ ），6，）形式的积
分因子存在的充分必要条件，有助于积分因子的求解．引言及预备知识对于一
阶微分方程 P(x ，y)dx+ Q(x ，y)dy=0若存在连续可微的函数u(x,y) ≠ 0 ，使
得 u(x， y)P(x, y)dx+u(x ， y)Q(x ， y)dy=0 ， u(x, y)P(x, y)dx+u(x,
y)Q(x,y)dy=dv(x,y)的通解，引理‘11设P(x ，珐Q( 工，y)，u(x，y)在单连通区域 G 内连续且有连续一阶偏导数，且 u(x，y) ≠ 0 ，a“ c3PaQ Q尝一P考匆舐式茜号Q-1= cp(x) ，这里 cp(x) 仅为 x 的函数．方程 c ．，有只与 y 有关的积分因子 u(y)=ei(p(y)dy 的充分罢]一P=妒(y) ，这里 cp(y)仅为 y 的函数，基金
项目：安康学院大学生科技创新项 H(2008akxycLxs03;作者简介：刘海浪
（ 1989- ），男，陕西榆林人，安康学院数学系 2(X)7 级本科学生． E-rrlail:通讯作者：赵临龙（ 1960- ），男，陕西西安人，
教授，从事微分方程研究． F-mail:aktczU@高师理科学刊第30 卷2主要结果及证明定理 1方程 (1) 有一个只依赖 xoy6 形式的积分因子的充分必要条件是若 _ （茜一 oaQ]（等一等 ] 。

1= ， c 工。

y6 ，( 4，此时“(五 )，）=e，(r ’ ，6 ’ 是方程 (1) 的一个积分因子 (F(r) 是， (f)的一个原函数）．证明必要性．设“（工，），） =eF( 一‘ y6’是方程 (1) 的一个积分因子，
则罢=e ，(J “ y “ ’ ， (Xa y6)(aXa-ly6)， 8u ： eF( 一，6 ’ ， ( 工 ay 扫)(bxa) ，。

一，），代入式 (3) ，消去 eF(，“ ，。

，并化简可得式
(4) ．匆允分陛．若式㈠，成立，则有厂 (xay6，堕一等 ]+ 专（罢~l=0，整妄得x f( 工 ayb)axa-lybQ一， (石ayb)bxayb-JP+aQ 一 8P： o(5) 融DyF(t)是， (f)的一个原函数，式 (5) 两边同乘以 u(x， )，）=eF ‘ _y ），则式 (3) 成立．即u(x， )' ）：eF( ‘ y ’ 是方程 (1) 的一个积分因子，证毕，定理 2方
程 (1) 有一个只依赖 xa+ ），形式的积分因子的充分必要条件 ( 宅孑一
8Q)(axa-Q-byb—lP) ’1= 厂 (xa+yb)(6，此时“(葺 )，） =e，(x'+，6 ’
是方程 (1) 的一个积分因子 (F(f) 是 f(f) 的一个原函数）．定理 2 证明类似于定
理 1 ，证明过程从略． 3 应用举例例 1 解方程
x(4ydx+2xdy)+y3(3ydx+Sxdy)=o (7)解经整理，方程 (7) 可化为
(4xy+3y4)dx+(2x2+5xy3)dy=0 ，此时， P(x ， )'）： 4xy+3y4 ，
Q(x ， )， )： 2x2+Sxy3 ，则考 =4x+12y3,DQQ=4x+Sy3 ，所以不存在
只与工或 y 有关的积分因子．由于 O ( 1f 卯 i1杪万~layP一署心一-)"=~Pa2x+ )l)-b(4x+3)l)，取非 2 ，扣．，则有专陪一罢] （孚一W] 。

1=击 = ，（ x2y ），根据定理 1 ，方程 (7) 有只依赖于工2y 形式的积分因子．设 f(f)=f-l ，求得原函数 F(t) ： Inf ，于是方程 (7) 有积分因子
u(x， )， )=X2y ，进而可求得其通解为 X4y2+X3y5 ： c ．例 2[2] 求解方程
ydx-xdy=_(X2+y2)dx (8)经整理，方程 (8) 可化为 (X2+y2+y)dx -xdy=0 ，令
P(x ， y)=x2+y2+y ， Q(x ， y) ： -x ，则筹 =2 ）， +i,aQ= 一 1 ，所以不
存在只与工或 y 有关的积分因子．由于望一．丝（似 a-lQ 一缈 b-lP ）一：a' ax -1 (2y+2).xa-1。

+y ：+ 万，取以 =2 ，易=2 ，则有爹一多
Ql(axa.Q一励声一 IP)-l= —；L= ， (x2+y2，，工。

+y 根据定理 2 ，方程(8) 有只依赖于 X2+y2形式的积分因子，设， (f) ： -t-l ，求得原函数 F(f) ： -lnf ．于是方程 (8) 有积分因子 u(x， )，） =(x2+) ， 2)一，进而可求得其通解为 x+arctanxy。

|=c.（下转第 65 页）30方程(1)有一个只依赖 xoy6 形式的积
分因子的充分必要条件是若_oaQ]等。

1=c工y6，(r’是方程 (1) 的一个积分因子(F(r) 是， (f)的一个原函数）．证明必要性．设“（工，=eF(y 6’是方程 (1)
的一个积分因子，则罢=e，(J(Xa y6)(aXa-ly6)， 8u：eF(一，(a y扫)(bxa) ，一，），代入式 (3) ，消去 eF(，。

并化简可得式 (4) ．允分陛．若式㈠成立，
则有厂 (xay6，堕一等 ]+ 专（罢整妄得 x f( yb)axa-lybQ一， (石
ayb)bxayb-JP+aQ 一 8Po(5)融则式成立．即u(x， )' ）：eF( ‘ y ’ 是的一个积分因子，有一个只依赖 xa+ ），宅孑8Q)(axa-Q-byb—lP)’1=厂(xa+ yb) (6，，(x'+，是方程 (1) 的一个积分因子 (F(f) 是 f(f) 的一个原函数）．应用举例例1解方程 x(4ydx+2xdy)+y3(3ydx+Sxdy)=o经整理，方程 (7) 可化为
(4xy+3y4)dx+(2x2+5xy3)dy=0 ，此时， P(x ， )'）： 4xy+3y4 ，
Q(x ， )， )： 2x2+ Sxy3则 4x+12y3,DQQ=4x+Sy3 ，所以不存在只与工或 y 有关的积分因子．由于 f卯i一署心一-)"=~Pa2x+取非 2 ，扣．，有专陪一罢孚一W]击x2y根据定理 1 ，方程 (7) 有只依赖于工2y 形式的积分因子．设 f(f)=f-l ，求得原函数 F(t) ： Inf ，于是方程 (7) 有积分因子
u(x， )， )=X2y ，进而可求得其通解为 X4y2+X3y5 ： c ．2[2]求解方程 ydx-xdy=_(X2+y2)dx经整理，方程 (8) 可化为 (X2+y2+y)dx -xdy=0 ，令 P(x ，y)=x2+y2+y ， Q(x ， y) ： -x ，则筹=2+i, aQ=所以不存在只与工或 y 有关的积分因子．由于望一．丝（似 a-lQ 一缈 b-lP ） a'+y：+万取以 =2易=2则有爹多Q l(axa.Q励声IP)-l= —；L= ， (x2+y2，，根据定理 2 ，方程 (8) 有只依赖于 X2+y2形式的积分因子，设， (f) ： -t-l ，求得原函数 F(f) ： -
lnf ．于是(8)有积分因子 u(x， )，） =(x2+) ， 2)进而可求得其通解为
x+arctanxy|=c.第2期熊狂炜, 等 :xj 单原子aj局域操作实纠缠态aj纯化 65 [l]BennettC H.Teleporting anUnknownQuantum Statevia DualClassical andEinstein-Podolsky-RosenChannels[Jl. Phys.Rev.Lett, 1993,70:1895-1899.[2] BennettC H, WiesnerS J. Communication via one- and two-particle operatorsonEinstein-Podolsky-Rosenstates[J]. Phys.Rev. Lett.,1992,69:2 881-2884.[3] Ekert AK. Quantum CryptographyBasedonBell'sTheorem[Jl Phys.Rev.Lett., 1991,67:661-663.[4] CaoZ L, YangM.
Entanglementdistillationforthree particleWclass states[JJ. J.Phys.B.,
2003,36:4 245-4253.[5] CaoZ L, YangM,GuoG
C.Theschemeforrealizingprobabilisticteleportationofatomicstatesand purifying the quantumchannel oncavityQED[Jl.Phys.Lett.A,2003,308:349-354. [6JCaoZL,YangM.Entanglementdistillationforatomicstatesvia cavity QED[JJ. PhysicaA, 2004,341:251-261.[7] ZhengS B. Schemeforapproximateconditional teleportationofanunknownatomicstatewithout the Bell-statemeasurement[J].Phys. Rev.A.,2004,69:064302. Entanglementdistillationforatomicstatesby localoperation XIONGKuang-wei,LIUZhi-min Depafimentof Applicational Physics, East China JiaotongUniversity, Nanchang330013,China ) Abstract: A physicalschemeforatomicentangledstatesdistillationisproposedviaatom-cavityfield interaction.Whichis generalizedtonon-maximallyentangledmulti-atomstatesdistillation.Jt is foundfrom calculationoutcomethatthe distillationprobabilitiesofallkinds ofentangledatomicstatesarethe same,
21b2.Theadvantageofthe schemeisentangleddistillationisrealized throughonly introducing anauxiliary cavity andmakinga localoperation. Theschemeissimpleand feasiblein experiment. Keywords: entanglementdistillation; atomicentangledstates; cavity QED;上接第54 页）虽然给出了一些以特殊积分因子解线性微分方程的方法，但是在学习中依然存在许多其它特殊的积分因子用以上方法难以解决，还需要继续探索，这一点可以
参考文献[3l.参考文献： [1] 王高雄，周之铭，朱思铭，等，常微分方程 [Ml.3 版，北京：高等教育出版社， 2006. [2]石瑞青，闫晓红，郭红建，等，常
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2000 ． Discussiononthe integralfactorofthe first-orderlineardifferentialequations LIUHai-lang,ZHAO Lin-long DepartmentofMathematics, AnkangUniversity, Ankang725000, Cliina) For afirst-orderlinearordinary differentialequationsP(x, y)dx+Q(x, y)dy=0 , gavethe necessaryand sufficient conditionsonwhichtheequationsP(x,
y)dx+Q(x,y)dy=Ohaveintegral factor whichonlyrely on
Xay'orxa+yb,enrichedthe solution ofintegral factor. Keywords:ordinary differentialequation; integralfactor; general solution 2期熊狂炜, 等 : xj单原子aj局域操作实 [l] BennettC H. Teleporting anUnknownQuantum Statevia DualClassical andEinstein-Podolsky-RosenChannels[Jl. 1993, 70: 1895-1899. BennettC H, WiesnerS J. and two-particle operatorsonEinstein-Podolsky-Rosenstates[J]. Lett., 1992, 69: 2 881-2884. [3] Ekert AK. Quantum CryptographyBasedonBell'sTheorem[Jl 1991, 67: 661-663. [4] CaoZ L, YangM. Entanglementdistillationforthree particleWclass states[JJ. 2003, 36: 4 245-4253. [5] CaoZ L, Yang M, Guo G C. Theschemeforrealizingprobabilisticteleportationofatomicstatesand purifying the quantumchannel oncavityQED[Jl.Phys.Lett.A,2003,308:349-354. [6J CaoZ L, M. Entanglementdistillationforatomicstatesvia cavity
QED[JJ. PhysicaA, 2004, 341: 251-261. [7] ZhengS B. Schemeforapproximateconditional teleportationofanunknownatomicstatewithout the Bell-statemeasurement[J].Phys. Rev.A., 064302.
Entanglementdistillationforatomicstatesby localoperation XIONG Kuang-wei, LIUZhi-min Depafimentof Applicational Physics, East China JiaotongUniversity, Nanchang 330013, China ) physicalschemeforatomicentangledstatesdistillationisproposedviaatom-cavityfield interaction.Whichis generalizedtonon-maximallyentangledmulti-atomstatesdistillation.Jt is foundfrom calculationoutcomethatthe distillationprobabilitiesofallkinds ofentangledatomicstatesarethe same, 21b. The advantageofthe schemeisentangleddistillationisrealized throughonly introducing anauxiliary cavity andmakinga localoperation. Theschemeissimpleand feasiblein experiment. Keywords: entanglementdistillation; atomicentangledstates; Discussiononthe integralfactorofthe first-orderlineardifferentialequations LIU Hai-lang, ZHAO DepartmentofMathematics, AnkangUniversity, Ankang725000, Cliina) For afirst-orderlinearordinary differentialequationsP(x, y)dx+Q(x, y)dy=0 , gavethe necessaryand sufficient conditionsonwhichtheequationsP(x,
y)dx+Q(x,y)dy=Ohaveintegral factor whichonlyrely on Xa y'or xa + yb, enrichedthe solution ofintegral factor. Key words: ordinary differentialequation; integralfactor;
【文献来源】https:///academic-journal-cn_journal-science-teachers-college-university_thesis/0201218086375.html
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