初中数学中点模型的构造及应用

中点模型的构造及应用
一、遇到以下情况考虑中点模型：
任意三角形或四边形中点或与中点有关的线段
出现两个或三个中点考虑三角形中线定理
已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线
已知等边、等腰三角形底边中点，可以考虑与顶角连接用“三线合一”
有些题目不直接给出中点，我们可以挖掘其中隐含中点，比如等腰三角形、等边三角形、直角三角形、平行四边形、圆中圆心是直径中点等可以出现中点的图形通常考虑用中点模型
三角形中线的交点称为重心，它把中线分的线段比为2:1
二、中点模型辅助线构造方法分类
（一）倍长中线法（构造全等三角形，八字全等）
当已知条件中出现中线时，常常将此中线倍长构造全等三角形解决问题。

如图，在∆ABC中，D为BC中点，延长AD到E使AD=DE，连接BE，则有：∆ADC≌∆EDB。

作用：转移线段和角。

（二）倍长类中线法（与中点有关线段，构造全等三角形，八字全等）当已知条件中出现类中线时，常常将此类中线倍长构造全等三角形解决问题。

如图，在∆ABC中，D为BC中点，延长ED到F使ED=DF，连接CF，则有：∆BED≌∆CFD。

作用：转移线段和角。

（三）直角三角形斜边中线法
当已知条件中同时出现直角三角形和中点时，常构造直角三角形斜边中线，然后再利用直角三角形斜边的中线性质解决问题。

如下图，在Rt ∆ABC 中，A C B 90∠=︒，D 为AB 中点，则有：
1
2
CD AD BD AB ===
（四）等腰三角形三线合一
当出现等腰三角形时，常隐含有底边中点，将其与顶角连接，可构成三线合一。

在∆ABC?中:（1）AC=BC?；（2）CD 平分ACB ∠?；（3）AD=BD?，（4）CD AB ⊥ “知二得二”：比如由（2）（3）可得出（1）（4）.也就是说，以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出剩下两条。

（五）中位线法
当已知条件中同时出现两个及以上中点时，常考虑构造中位线；或出现一个中点，要求证明平行线段或线段倍分关系时也常考虑构造中位线。

如图，在∆ABC 中，D ，E 分别是AB 、AC 边中点，则有DE BC ，1DE BC 2
=。

三、练习
（一）倍长中线法
1.（2014秋?津南区校级期中）已知：在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE ＝AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF ＝EF ．
2.（2017?湘潭）如图，在?ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）若AB＝2BC，∠F＝36°．求∠B的度数
3.（2017江西萍乡，15）如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：CF＝AD；
（2）若CA＝CB，试判断四边形CDBF的形状，并说明理由．
4.（2014?鄂尔多斯）如图1，在?ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F．且∠AEC＝2∠ABE．连接BF、AC．
（1）求证：四边形ABFC的是矩形；
（2）在图1中，若点M是BF上一点，沿AM折叠△ABM，使点B恰好落在线段DF上的点B′处（如图2），AB＝13，AC＝12，求MF的长．
5.（2017?贵阳,24）（1）阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB＝FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．
AB、AD、DC之间的等量关系为____________；
（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．
（3）问题解决：如图③，AB∥CF，AE与BC交于点E，BE：EC＝2：3，点D在线段AE上，且∠EDF＝∠BAE，试判断AB、DF、CF之间的数量关系，并证明你的结论．
（二）倍长类中线法
1.（2016秋?江都区期中）已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE ＝∠CDE．求证：AB＝CD．
2.（2017?重庆，24）在△ABM 中，∠ABM ＝45°，AM ⊥BM ，垂足为M ，点C 是BM 延长线上一点，连接AC ．
（1）如图1，若AB =，BC ＝5，求AC 的长；
（2）如图2，点D 是线段AM 上一点，MD ＝MC ，点E 是△ABC 外一点，EC ＝AC ，连接ED 并延长交BC 于点F ，且点F 是线段BC 的中点，求证：∠BDF ＝∠CEF ．
3.（2017?山西，17）已知：如图，在?ABCD 中，延长AB 至点E ，延长CD 至点F ，使得BE ＝DF ．连接EF ，与对角线AC 交于点O ．
求证：OE ＝OF ．
（三）直角三角形斜边中线法
1.（2016?乌鲁木齐，9）如上图，在Rt △ABC 中，点E 在AB 上，把这个直角三角形沿CE 折叠后，使点B 恰好落到斜边AC 的中点O 处，若BC ＝3，则折痕CE
的长为（ ）
A.
B. C. D.6
2. （2015?乌鲁木齐，9）如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy 中，两条直角边分别与坐标轴重合，P 为斜边的中点．现将此三角板绕点O 顺时针旋转120°后点P 的对应点的坐标是（ ）
A ．1-） B. （1，
C. 2-（）
D. （2，
3.（2017?新疆，22）如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB＝30°，延长CB至点D，使得CB＝BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）当BE＝3时，求图中阴影部分的面积
4.（2017?北京，22）如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE．
（1）求证：四边形BCDE为菱形；
（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．
5.（2015北京东城，23）如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA，BC的平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若AC＝2DE，求sin∠CDB的值
（四）等腰三角形三线合一
1.（2017?荆州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l 交AC于点D，则∠CBD的度数为（）
A.30°
B.45°
C.50°
D.75°
2.（2017?陕西，9）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB＝AB，则PA的长为（）
A.5
B.
C. D.
3.（2017?呼和浩特，18）如图，等腰三角形ABC中，BD，CE分别是两腰上的中线．
（1）求证：BD＝CE；
（2）设BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点，当△ABC 的重心到顶点A的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN的形状，无需说明理由．
（五）中位线法
1.（2015?郑州）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝12，BD＝8，CD＝6，
E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）
A.14
B.18
C.20
D.22
2.（2013?乌鲁木齐，15）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE
于F，AB＝5，AC＝2，则DF的长为________．
3.（2017?遵义）如图，△ABC的面积是12，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、
CE的中点，则△AFG的面积是（）
A.4.5
B.5
C.5.5
D.6
4.（2017?天津，17）如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为______．
5.（2014春?硚口区期末）如图，已知△ABC的中线BD、CE相交于点O、M、N 分别为OB、OC的中点．
（1）求证：MD和NE互相平分；
（2）若BD⊥AC，EM＝OD＋CD＝7，求△OCB的面积．
6.（2017?云南，20）如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E、F分别是AB、AC的中点．
（1）求证：四边形AEDF是菱形；
（2）如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S．
7.（2017?长春）【再现】如图①，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，
可以得到：DE∥BC，且
1
DE BC
2
（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，判断四边形EFGH的形状，并加以证明．
【应用】在（1）【探究】的条件下，四边形ABCD中，满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？你添加的条件是：__________．（只添加一个条件）
（2）如图③，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的
中点，对角线AC，BD相交于点O．若AO＝OC，四边形ABCD面积为5，则阴影部分图形的面积和为______.
8.（2015?巴东县模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，E、F分别是AD、BC 的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．
（1）求证：四边形EGFH是菱形；
（2）若AB＝5
4
，则当∠ABC＋∠DCB＝90°时，求四边形EGFH的面积．。