最新数系的扩充与复数的引入知识点总结

数系的扩充与复数的引入知识点总结
一．数系的扩充和复数的概念 １．复数的概念
(1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部.
(2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =,就是实数; 0b ≠,叫做虚数;当0,0a b =≠时,叫做纯虚数.
(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.
即：如果：,,,a b c d R ∈，那么：=+=+b=d
a c
a bi c di ⎧⇔⎨
⎩，特别地: .
(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数. 即：=+=-(,)z a bi z a bi a b R ∈的共轭复数是 ２．复数的几何意义
（１）数
（
）可用点
表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的
平面叫做复平面，也叫高斯平面，
轴叫做实轴，
轴叫做虚轴.
实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数复
平面内的点
每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每
一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法. （２）复数的几何意义
坐标表示:在复平面内以点表示复数
（
）；
向量表示:以原点为起点，点
为终点的向量
表示复数
.
向量
的长度叫做复数
的模，记作
.即
.
３．复数的运算
（１）复数的加，减，乘，除按以下法则进行 设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则
12()()z z a c b d i ±=±+±
12()()z z ac bd ad bc i ∙=-++
12222()()(0)z ac bd ad bc i z z c d
-++=≠+ （２）几个重要的结论
2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+ 22||||z z z z ∙==
若z 为虚数,则22||z z ≠ （３）运算律
m n m n z z z +∙= ()m n mn z z =
1212()(,)n n n z z z z m n R ∙=∙∈
（４）关于虚数单位i 的一些固定结论：
21i =- 3i i =- 41i =
2340n n n n i i i i ++++++=
注：（１）两个复数不能比较大小，但是两个复数的模可以比较大小 （２）在实数范围内的求根公式在复数范围内照样能运用 二．同步检测
１．复数ａ＋ｂi 与ｃ＋ｄi 的积是实数的充要条件是 Ａ．ａｄ＋ｂｃ＝０ Ｂ．ａｃ＋ｂｄ＝０ Ｃ．ａｃ＝ｂｄ Ｄ．ａｄ＝ｂｃ
２．复数
5
-2
i 的共轭复数是 Ａ．i ＋２ Ｂ．i －２ Ｃ．－２－i Ｄ．２－i
３．当2
<<13
m 时，复数ｍ（３＋i ）－（２＋i ）在复平面内对应的点位于
Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限
４．复数3
1+22⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
＝
５．已知复数ｚ与()2
+2-8z i 都是纯虚数，求ｚ
６．已知(1+2=4+3i z i ）
，求ｚ及z z
７．已知1z ＝５＋１０i ，2z ＝３－４i ，12
111
=+z z z ，求ｚ
８．已知２i －３是关于x 的方程２2
x ＋ｐx ＋ｑ＝０的一个根，求实数ｐ，ｑ的值。