江苏省南京市江宁区2018_2019学年高二数学下学期期末学情调研卷(含解析)

江苏省南京市江宁区2018-2019学年高二数学下学期期末学情调研
卷（含解析）
一、填空题：请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.设集合{1,3,5}A =，{3,4,5}B =，则集合A B =I ______.
【答案】{}3,5
【解析】
【分析】
根据集合A ,B ，求出两集合的交集即可
【详解】{}1,3,5A =Q ,{}3,4,5B =
{}35A B ，∴⋂=
故答案为{}35，
【点睛】本题主要考查了集合交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题。

2.已知i 为虚数单位，则复数(1)(3)i i -+=_______.
【答案】42i -
【解析】
【分析】
由复数乘法法则即可计算出结果
【详解】(1)(3)i i -+()23(13)42i i i =-+-=-.
【点睛】本题考查了复数的乘法计算，只需按照计算法则即可得到结果，较为简单
3. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________.
【答案】7
【解析】
第一次循环：3,4S I ==;第二次循环：5,7S I ==;第三次循环：7,10S I ==;结束循环，输出7.S =
考点：循环结构流程图
4.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为__________． 【答案】56
【解析】
试题分析：根据题意，记白球为A ，红球为B ，黄球为12,C C ，则
一次取出2只球，基本事件为AB 、1AC 、2AC 、1BC 、2BC 、12C C 共6种， 其中2只球的颜色不同的是AB 、1AC 、2AC 、1BC 、2BC 共5种； 所以所求的概率是56
P =
． 考点：古典概型概率
5.交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在5090km/h -的汽车中抽取300辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在70km / h 以下的汽车有_____辆.
【答案】150
【解析】
【分析】
先计算出速度在70km /h 以下的频率，然后再计算出车辆的数量
【详解】因为速度在70km /h 以下的频率为(0.020.03)100.5+⨯=，
所以速度在70km /h 以下的汽车有0.5300150⨯=.
【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用求解实际问题，先计算出频率，然后再计算出结果，较为简单
6.函数()2()lg 76f x x x
=+-的定义域是_____.
【答案】(1,7)-
【解析】
【分析】
对数函数的定义域满足真数要大于零
【详解】由2760x x +->，解得17x -<<，故定义域为(1,7)-.
【点睛】本题考查了对数的定义域，只需满足真数大于零即可，然后解不等式，较为简单
7.设函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ为常数，且0A >，0>ω，0ϕπ<<）的部分图象如图所示，则(0)f =_____.
【答案】32
【解析】
【分析】
由图像可以计算出A ，ω，ϕ的值，即可得到三角函数表达式，然后计算出结果 【详解】由图可知：3A =
由741234
T πππ=-=，得T π=，从而22T πω==. 将点7,312π⎛
⎝732312πϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭ 即7sin 16πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭
，又0ϕπ<<，所以7362ππϕ+=，得3πϕ=. 所以33(0)332
f ϕ===. 【点睛】本题考查了由函数图像求三角函数的表达式，熟练掌握图像是解题关键，较为基础
8.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S =____．
【答案】14
【解析】
【分析】
利用等差数列通项公式列出方程组，求出a 1=﹣4，d=2，由此能求出S 7．
【详解】∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3=0，a 6+a 7=14，
∴11
1205614a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩， 解得a 1=﹣4，d=2，
∴S 7=7a 1+762
d ⨯=﹣28+42=14． 故答案为：14．
【点睛】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
9.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2
12y x =的焦点恰好是双曲线2
221x y a -=的一个焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为_____.
【答案】4y x =±
【解析】
【分析】
由题意计算出抛物线焦点坐标，即可得到双曲线焦点坐标，运用双曲线知识求出a 的值，即可得到渐近线方程
【详解】因为抛物线的焦点为(3,0)，
所以双曲线的半焦距3c =，解得a =
故其渐近线方程为
y x =±，即4y x =±. 【点睛】本题考查了求双曲线的渐近线方程，结合题意分别计算出焦点坐标和a 的值，然后可得渐近线方程，较为基础
10.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M EFGH -的体积为__________.
【答案】112 【解析】 分析：由题意首先求解底面积，然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积. 详解：由题意可得，底面四边形EFGH 为边长为2的正方形，其面积22122EFGH S ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭
， 顶点M 到底面四边形EFGH 的距离为12
d =， 由四棱锥的体积公式可得：111132212M EFGH
V -=⨯⨯=. 点睛：本题主要考查四棱锥的体积计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11.如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，4AB =，3AD =，2CD =，2AM MD =u u u u r u u u u r ，如果3AC BM ⋅=-u u u r u u u u r ，则AB AD ⋅=u u u r u u u r ________.
【答案】32
【解析】
试题分析：因为122()()23233AC BM AD AB AB AD AB AD ⋅=+⋅-+=--⋅=-u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以3.2
AB AD ⋅=u u u r u u u r 考点：向量数量积
12.定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，2log (1)(01)()31(1)x x f x x x +≤<⎧=⎨--≥⎩
则函数1()()2
g x f x =-的所有零点之和为______. 【答案】21-
【解析】
【分析】
画出奇函数()f x 的图像，将题意转化为函数()f x 的图象与直线12y =
的交点的横坐标的和 【详解】由1()()02g x f x =-
=，得1()2f x =， 则1()()2
g x f x =-的零点就是()f x 的图象与直线12y =的交点的横坐标. 由已知，可画出()f x 的图象与直线12
y =（如下图），
根据3(1)=x f x --的对称性可知：6E D x x +=，同理可得6A B x x +=-，则
0A B D E x x x x +++=从而A B C D E C x x x x x x ++++=，即12
y =
与2log (1)(01)y x x =+<…的交点的横坐标. 由21log (1)2
x +=
，解得21C x =， 即1()()2g x f x =-21. 【点睛】本题考查了函数零点和问题，解题关键是转化为两个函数交点问题，需要画出函
数的图像并结合函数的性质来解答，本题需要掌握解题方法，掌握数形结合思想解题
13.在平面直角坐标系xOy 中，曲线(0)1
m y m x =>+在1x =处的切线为l ，则以点(2,1)-为圆心且与直线l 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_______.
【答案】22(2)(1)2x y -++=
【解析】
【分析】
由题意先求出切线为l 的直线方程，可得直线恒过定点，在满足题意与直线l 相切的所有圆中计算出圆半径，即得圆的标准方程 【详解】因为1
m y x =+，所以2(1)m y x '=-+， 当1x =时，2m y =，4m y '=-，即切点为1,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，切线斜率4m k =-， 则l 的方程为(1)24m m y x -=--，即(3)4
m y x =--， 所以直线l 恒过定点(3,0)A .
又直线l 与以点(2,1)C -为圆心的圆相切，
则圆的半径r 等于圆心C 到直线l 的距离d ，
又当AC l ⊥时，d 最大，所以max max r d AC ===，
故所求圆的标准方程为22
(2)(1)2x y -++=.
【点睛】本题考查了求与直线相切的圆的标准方程，需先求出切线方程，解题关键是理解题意中半径最大的圆，即圆心与定点之间的距离，需要具有转化的能力
14.设,0a b >，关于x 的不等式3232x x x x a N M b ⋅-<<⋅+在区间(0,1)上恒成立，其中M ，N 是与x 无关的实数，且M N >，M N -的最小值为1.则
a b
的最小值______.
【答案】4
【解析】
【分析】 化简3232
x x
x x a b ⋅-⋅+，结合单调性及题意计算出M ，N 的表达式，由M N -的最小值为1计算出结果
【详解】因为,0a b >， 所以()3212323232x x x x x x x x x a a b a b b y b b ⎛⎫⋅+-+⋅ ⎪⋅-⎝⎭==⋅+⋅+1232x x x
a a
b b b ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭=-⋅+ 1312x a a b b b +=-⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭
在(0,1)上单调递增， 又关于x 的不等式3232
x x x x a N M b ⋅-<<⋅+在(0,1)上恒成立， 所以11a a b N b b +=-+，1312
a a
b M b b +=-+， 因为M N -的最小为1， 所以113112
a a
b b M N b b ++-=-++11113112a b b b ⎛⎫ ⎪⎛⎫=+⋅- ⎪ ⎪+⎝
⎭ ⎪+⎝⎭…，
即23(1)11352221355111312
12
b b a b b b b b b b b b ⎛⎫++ ⎪++⎝⎭+===++-++厖，
所以4a b …，当且仅当23b b =
，即b ==”， 即a b
的最小值为4. 【点睛】本题考查了计算最值问题，题目较为复杂，理清题意，结合函数的单调性求出最值，运用基本不等式计算出结果，紧扣题意是解题关键，考查了学生转化能力
二、解答题：请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a b >，5a =，6c =，
3sin 5
B =. （1）求b 的值；
（2）求sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的值.
【答案】（1）b =（2）
26 【解析】
【分析】
(1)运用余弦定理计算出b 的值
(2)由正弦定理计算出sin A 的值，运用两角和的正弦公式计算出结果
【详解】（1）解：在ABC ∆中，因为a b >，故由3sin 5
B =，可得cos 45B =.
由已知及余弦定理，有2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =.
（2）解：由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin 13
a B A
b ==.
因为a c <，得cos 13
A =，所以12sin 22sin cos 13A A A ==， 25cos 212sin 13A A =-=-
故sin 24A π⎛
⎫+ ⎪⎝⎭sin 2cos cos 2sin 4426
A A ππ=+= 【点睛】本题考查了运用正弦定理、余弦定理解三角形，熟练运用公式来解题，较为简单
16.三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD ⊥，E ，F 分别为BD ，AD 的中点.
（1）求证：EF P平面ABC；=，求证：AD⊥平面CEF.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】试题分析：(1)利用题意证得//EF AB，由线面平行的结论有//EF平面ABC；(2)利用题意可得：CE AD⊥，AD EF⊥，结合线面垂直的结论则有AD⊥平面CEF．试题解析：（1）∵E，F分别为BD，AD的中点∴//EF AB∵EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC∴//EF平面ABC（2）∵CB CD=，E为BD的中点∴CE BD⊥∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD⋂平面BCD BD=，CE⊂平面BCD∴CE⊥平面ABD AD⊂平面ABD∴CE AD⊥∵//EF AB，AB AD⊥∴AD EF⊥∵CE⊂平面CEF，EF⊂平面CEF，CE EF E⋂=∴AD⊥平面CEF．（2）若CB CD
点睛：注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”
17.为迎接新中国成立70周年，学校布置一椭圆形花坛，如图所示，O 是其中心，AB 是椭圆的长轴，C 是短轴的一个端点.现欲铺设灌溉管道，拟在AB 上选两点E ，F ，使
OE OF =，沿CE 、CF 、FA 铺设管道，设CFO θ∠=，若20m OA =，10m OC =，
（1）求管道长度u 关于角的函数及cos θ的取值范围； （2）求管道长度u 的最小值. 【答案】（1）2010cos 20sin u θθ-=+，25
0cos 5
θ<<（2）(203)m +
【解析】 【分析】
(1)由三角函数值分别计算出CE 、CF 、FA 的长度，即可求出管道长度u 的表达式，求出
cos θ的取值范围
(2)由(1)得管道长度u 的表达式，运用导数，求导后判断其单调性求出最小值
【详解】解：（1）因为10sin CF θ=
，10tan OF θ=，10
20tan AF θ=-， 所以u CE CF AF =++20102010cos 2020sin tan sin θ
θθθ
-=+-=+，
其中，0cos θ<<. （2）由2010cos 20sin u θ
θ
-=+
，得2
1020cos sin u θθ-'=， 令0u '=，1
cos 2
θ=， 当1
0cos 2
θ<<
时，0u '>，函数()u θ增函数；
当
1cos 2θ<<
0u '<，函数()u θ为减函数. 所以，当1cos 2
θ=
，即3π
θ=时，
min 1
201022020sin
3
u π
-⨯
=+
=+
答：管道长度u
的最小值为(20+.
【点睛】本题考查了运用三角函数求解实际问题，在求最值时可以采用求导的方法判断其单调性，然后求出最值，需要掌握解题方法
18.平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>
12⎫⎪⎭
在椭圆C 上.椭圆C 的左顶点为A . （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过点A 作直线l 与椭圆C 交于另一点B .若直线l 交y 轴于点C ，且OC BC =，求直线
l 的斜率.
【答案】（1）2214x y +=（2
）4
±
【解析】 【分析】
(1)由题意中椭圆离心率和点在椭圆上得到方程组即可求出椭圆方程
(2)由题意设直线斜率，分别求出OC 、BC 的表达式，令其相等计算出直线斜率
【详解】解：（1
）由题意知：2222
212121b a b ⎧⎛⎫⎪-=
⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪
⎨⎛⎫ ⎪
⎝⎭=解得：2241a b ⎧=⎨=⎩， 所以，所求椭圆C 方程为2
214
x y +=.
（2）由题意知直线l 的斜率存在，设为k ，l 过点(2,0)A -，则l 的方程为：(2)y k x =+，
联立方程组2
21
4(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，消去y 整理得：
()2
2
2214161640k x
k x k +++-=，
令(),B B B
x y ，()0,C C y
由22164214B k x k --=+，得2
2
2814B k x k -=+，
将0x =代入(2)y k x =+中，得到2C y k =，所以|2|OC k =，
||0B BC =
-=，由OC BC =，得：
|2|k =
解得：2
18k =
，∴4k =±.所以直线l
的斜率为4
±. 【点睛】本题考查了求椭圆方程及直线与椭圆的位置关系，在解答过程中运用设而不求的方法，设出点坐标和斜率，联立直线方程与椭圆方程，结合弦长公式计算出长度，从而计算出结果，需要掌握解题方法
19.若各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S
，且()
*
1n a n =+∈N .
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若正项等比数列{}n b ，满足22b =，7892b b b +=，求1122n n n T a b a b a b =++⋯+； （3）对于（2）中的n T ，若对任意的*N n ∈，不等式()11
(1)212
n
n
n T λ+⋅-<+恒成立，求实数λ的取值范围.
【答案】（1）21n a n =-（2）见解析；（3）133,4⎛⎫- ⎪⎝
⎭
【解析】 【分析】
(1)先计算出1a 的值，由11n n n a S S ++=-，推出数列为等差数列，继而得到数列通项公式 (2)先求出等比数列{}n b 的通项公式，运用错位相减法计算出n T 的值
(3)讨论n 为偶数和奇数时两种情况，分别求出满足要求的实数λ的取值范围，即可得到结果
【详解】解：（1）因为()2
41n n S a =+，且0n a >，由()2
1141a a =+得11a =， 又()2
1141n n S a ++=+，所以11444n n n a S S ++=-()()2
2
111n n a a +=+-+，
()()()11120n n n n n n a a a a a a ++++--+=，因为0n a >，所以10n n a a ++≠，
所以12n n a a +-=，所以{}n a 是公差为2的等差数列，又11a =， 所以21n a n =-.
（2）设{}n b 的公比为q ，因为7892b b b +=，2
2q q +=，所以1q =-（舍）或2q =，
11b =，12n n b -=.
记1122n n A a b a b a b =++⋅⋅⋅+21
113252(21)2n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅，
232123252(21)2n A n =⨯+⨯+⨯++-⋅L ，
()2112222(21)2n n A n --=+++⋅⋅⋅+--⋅，
()21(21)212222n n A n -=-⋅--+++L ()(21)21222(23)23n n n n n =-⋅---=-⋅+
所以1122(23)23n
n n n T a b a b a b n =++⋅⋅⋅+=-⋅+.
（3）不等式()1
1(1)212n
n n T λ+⋅-<
+可化为136(1)22n
n n λ-⎛⎫-⋅<-+ ⎪⎝
⎭. 当n 为偶数时，13622n n λ-⎛⎫<-
+ ⎪⎝
⎭，记136()22
n g n n -⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以min [()]g n λ<. 11669(2)()22222n n n
g n g n +-+-=+
-=-， 2n =时，(2)()g n g n +<，4n …
时，(2)()g n g n +>， 即(4)(2)g g <，4n …
时，()g n 递增，min 13[()](4)4g n g ==，即13
4
λ<， 当n 为奇数时，136
22
n n λ-⎛⎫>--
⎪⎝⎭，记136()22n h n n -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以max [()]h n λ>.
(2)()h n h n +-11669
22222n n n
+-=--
+=-+， 1n =时，(2)()h n h n +>，3n …
时，(1)()h n h n +<， 即(3)(1)h h >，3n …
时，()h n 递减，max [()](3)3h n h ==-， 所以3λ>-
综上所述，实数λ的取值范围为133,
4⎛
⎫- ⎪⎝⎭
【点睛】本题考查了求数列的通项公式，运用错位相减法求数列的和以及恒成立问题，在求
解通项公式时可以运用1112n n
n a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 的方法，需要掌握错位相减法等求数列的和，
在解答恒成立问题时将其转化为函数问题，注意分类讨论
20.已知函数2
1()(1)ln 2
f x x a x a x =
-++. （1）当1a <时，讨论函数()f x 的单调性；
（2）若不等式2()(1)12
a x f x a x x e ++≥++-对于任意1
,x e e -⎡⎤∈⎣⎦恒成立，求正实数a 的取值范围.
【答案】(1) 当0a ≤时，函数()f x 在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减；当01a <<时，函数()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a 和()1,+∞上单调递增. (2) (]0,1
【解析】 【分析】
(1)对函数求导得到()()()1x a x f x x
--'=
，讨论a 和0和1的大小关系，从而得到单调区
间；（2）原题等价于对任意1,e e
x ⎡⎤∈⎢⎥⎣
⎦
，有ln e 1a a x x -+≤-成立，设
()ln ,0a g x a x x a =-+>，所以()max e 1g x ≤-，对g(x)求导研究单调性，从而得到最值，
进而求得结果.
【详解】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0,+∞．
()()()()()2
111x a x a x a x a f x x a x x x
-++-=='-=-++． ① 若01a <<，则
当0x a <<或1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当1a x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减； ②若0a ≤，则当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；
综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减； 当01a <<时，函数()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a 和()1,+∞上单调递增． （Ⅱ）原题等价于对任意1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，有ln e 1a a x x -+≤-成立，
设()ln ,0a
g x a x x a =-+>，所以()max e 1g x ≤-．
()(
)11
'a a a x a
g x ax x
x
---=
+=．
令()'0g x <，得01x <<；令()'0g x >，得1x >． ∴ 函数()g x 在1,1e
⎡⎫⎪⎢⎣⎭
上单调递减，在(]1,e 上单调递增，
()max g x 为1e e
a g a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
与()e g = ()e e a f a =-+中的较大者．
设()h a = ()()1e e e
2e a
a
g a g g a -⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭
()0a >，
则()e e 220a a h a -=+->='， ∴ ()
h a ()0,+∞上单调递增，故()()00h a h >=，
所以()1e e g g ⎛⎫> ⎪⎝⎭
，
从而()max g x ⎡⎤=⎣⎦ ()e e a
g a =-+．
∴ e e 1a a -+≤-，即e e 10a a --+≤．
设()=e e 1a
a a ϕ--+ ()0a >，则()=e 10a
a ϕ'->．
所以()a ϕ在()0,+∞上单调递增． 又()10ϕ=，
所以e e 10a a --+≤的解为1a ≤． ∵0a >，
∴ a 的取值范围为(]
0,1．
【点睛】本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题．对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.
21.已知二阶矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦，矩阵A 属于特征值11λ=-的一个特征向量为111α⎡-⎤
=⎢⎥⎣⎦
，
属于特征值24λ=的一个特征向量为232α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
.求矩阵A .
【答案】21A =⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
运用矩阵定义列出方程组求解矩阵A
【详解】由特征值、特征向量定义可知，111A αλα=， 即11111a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得1,1.
a b c d -=-⎧⎨-=⎩ 同理可得3212,328.a b c d +=⎧⎨+=⎩
解得2a =，3b =，2c =，1d =.因此矩阵2321A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
【点睛】本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单
22.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为cos sin x y α
α
=⎧⎨=⎩（α为参数）.以直角
坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为
cos 44πρθ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
.点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大 【答案】max 5d = 【解析】 【分析】
将直线l 的极坐标方程转化为直角坐标方程，运用点到直线的距离公式计算出最大值
【详解】cos 44πρθ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
化简为cos sin ρθρθ+=
则直线l 的直角坐标方程为x y +=
设点P 的坐标为(cos ,sin )αα，得P 到直线l 的距离
d =
，
即
2sin 42
42
d α+- ⎪⎝
⎭=
， 所以：max 5d =.
【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，运用点到直线的距离公式计算出最值问题，较为基础，需要掌握解题方法
23.已知a ，b 是正数，求证：2
2
1
44a b ab
++…. 【答案】见证明 【解析】 【分析】
运用基本不等式即可证明
【详解】证明：因为a ，b 是正数，所以2244a b ab +…. 所以2
2
1144244a b ab ab ab
+++=厖. 即2
2144a b ab
++
…. 当且仅当1a =，1
2
b =时取等号
【点睛】本题考查了基本不等式，较为简单，注意需要满足“一正二定三相等”的条件
24.如图，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，1AB BC PA ===，3AD =，
E 是PB 的中点.
（1）求证：AE ⊥平面PBC ； （2）求二面角B PC D --的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2
）. 【解析】
【分析】 可以以AB 为x 轴、AD 为Y 轴、AP 为Z 轴构建空间直角坐标系，写出AE BC BP
→→→、、的空间坐标，通过证明AE BC AE BP ⊥⊥，得证AE ⊥平面PBC 。

通过求平面PBC 和平面PCD 的法向量得证二面角B PC D --的余弦值。

【详解】（1）根据题意，建立以AB 为x 轴、AD 为Y 轴、AP 为Z 轴的空间直角坐标系，
则()()()A 000B 100C 110，
，，，，，，，， ()()11D 030P 001E 022⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，，，，，，，， ()()11001010122AE BC BP ⎛⎫→=→=→=- ⎪⎝⎭
，，，，，，，，， 因为00AE BC AE BP
→→=→→=n n ，， 所以AE BC AE BP ⊥⊥，．
因为BC BP ⊂、平面PBC ，且BC BP B ⋂＝，
所以AE ⊥平面PBC ．
（2）设平面PCD 的法向量为()n x y z ＝，，，则00CD PD
n n →=→=n n ， 因()()120031CD PD
→=-→=-，，，，，，所以x 2y 03y z 0－＋＝，－＝． 令x 2＝，则y 1z 3＝，
＝． 所以()n 213＝，，是平面PCD 的一个法向量．
因为AE ⊥平面PBC ，所以AE u u u v 是平面PBC 的法向量．
所以AE AE AE cos n n n →→==→n n ，
由此可知，AE u u u v
与n
根据图形可知，二面角B PC D －－的余弦值为57-。

【点睛】在计算空间几何以及二面角的时候，可以借助空间直角坐标系。

25.一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分. （
1）设抛掷5次的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ；
（2）求恰好得到()*n n ∈N
分的概率. 【答案】（1）Eξ=
152；（2）11[2()]32n +- 【解析】
试题分析：（1）抛掷5次的得分ξ可能为5,6,7,8,9,10，且正面向上和反面向上的概率相等，都为12
，所以得分ξ的概率为5551()()(5,6,7,8,9,10)2i P i C i ξ-===，即可得分布列和数学期望；
（2）令n P 表示恰好得到n 分的概率，不出现n 分的唯一情况是得到1n -分以后再掷出一次反面．，因为“不出现n 分”的概率是1n P -，“恰好得到1n -分”的概率是1n P -，因为“掷一次出现反面”的概率是12
，所以有1112n n P P --=，即1212()323n n P P --=--，所以23n P ⎧⎫-⎨⎬⎩
⎭是以121213236P -=-=-为首项，以12-为公比的等比数列，即求得恰好得到n 分的概率．
试题解析：（1）所抛5次得分ξ的概率为55
51()()(5,6,7,8,9,10)2i P i C i ξ-===， 其分布列如下
10
5555115()22i i E iC ξ-===∑
（2）令n P 表示恰好得到n 分的概率，不出现n 分的唯一情况是得到1n -分以后再掷出一次反面．
因为“不出现n 分”的概率是1n P -，“恰好得到1n -分”的概率是1n P -， 因为“掷一次出现反面”的概率是
12，所以有1112n n P P --=， 即1212()323
n n P P --=--． 于是23n P ⎧⎫
-⎨⎬⎩⎭是以121213236P -
=-=-为首项，以12-为公比的等比数列． 所以1211()362n n P --=--，即11[2()]32
n n P =+-． 恰好得到n 分的概率是11[2()]32
n +-． 考点：等可能事件的概率；分布列和数学期望；“恰好”事件的概率．。