东辽县实验中学八年级数学下册第1章直角三角形1.2直角三角形的性质和判定Ⅱ第2课时勾股定理的实际应用
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A
51 °
20 °
D
B
C
思路点拨 : 添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.
解法一 : 连接AD并延长于点E.
在△ABD中 , ∠1+∠ABD=∠3 ,
在△ACD中 , ∠2+∠ACD=∠4.
因为∠BDC=∠3+∠4 , ∠BAC=∠1+∠2 ,
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
每一个三角形都有6个外
角．
每一个顶点相対应的外
角都有2个 , 且这2个角为対
B
C
顶角.
总结归纳
三角形的外角应具备的条件 :
①角的顶点是三角形的顶点 ; ②角的一边是三角形的一边 ; ③另一边是三角形中一边的延A 长线.
B
C
D
∠ACD是△ABC的一个外角
每一个三角形都有6个外角．
练一练
如下图,∠ BEC是哪个三角形的外角 ？∠AEC是哪个三角形的外角 ？ ∠EFD是哪个三角形的外角 ？
B
CD
练一练 : 说出以下图形中∠1和∠2的度数 :
A
80 °
60 °
12
B
CD
(1)
∠1=40 °, ∠2=140 °
50 ° A
2
1
32 °(
B
C
(2)
∠1=18 °, ∠2=130 °
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们 休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐 对身体不好哦~
1
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 ° , ①+ ②+ ③得
B
2
3
C
D
F
∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD+(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 ° ,
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °-180°=360°.
E A
1
M
解法三 : 过A作AM平行于BC ,
3
∠3＝ ∠4
B 2
F
CD
∠2＝ ∠BAM ,
51 °
F
E
20 °
D
B
30 ° C
解法三:连接延长CD交AB于点F〔解题过程同解法二〕.
总结
解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，
把未知角与已知角联系起来求解.
拓展探究
如图 ，试比较∠2 、∠1的大小； 如图 ， 试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小.
三角形的外 角大于与它 不相邻的内 角.
探究新知
例 2 (〞引葭赴岸”问题)〞今有方池一丈 , 葭生其中央 , 出水一尺 , 引葭赴岸 , 适
与岸齐.问水深 , 葭长各几何?”意思是:有一个边长为10尺的正方形池塘 , 一棵芦苇 生长在池的中央 , 其出水部分为1尺.如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸.边 , 它的顶端恰好碰到池边的水面.问水深与芦苇长各为多少? 【教材P12]
解 : 延长BP交AC于点E , 那么∠BPC , ∠PEC分别为△PCE , △ABE的外角 , ∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE , ∠PEC＝∠ABE＋∠A , ∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE
＝150°－30°＝120°. ∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
【变式题] (一题多解)如下图 , ∠A=51° , ∠B=20° , ∠C=30° , 求∠BDC的度数.
巩固练习
1.如下图 , 一艘渔船以30海里/h的速度 由西向东追赶鱼群.在A处测得小岛C在船 的北偏东60°方向 ; 40 min后 , 渔船行至B 处 , 此时测得小岛C在船的北偏东30°方 向. 已知以小岛C为中心 , 周围10海里以内 有暗礁 , 问这艘渔船继续向东追赶鱼群是 否有触礁的危险?
〔3〕三角形的一个外角等于两个内角的和. 〔 〕
〔4〕三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.〔 〕
〔5〕三角形的一个外角大于任何一个内角.
〔〕
〔6〕三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.〔 〕
2.如下图 , AB//CD , ∠A＝37°, ∠C＝63° , 那么∠F等于 〔A 〕
利用〞三角形的内角和为180°”来求∠BCD , 你会吗 ？ D ？ ●C
由三角形内角和易得
● 70 ° ●
B
O
40 ° ● A
∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70 ° ,
所以∠BCD=180°－∠BCA=110°. 思考 : 像∠BCD这样的角有什么特征吗 ？猜想它的性质.
这节课让我们一起来探讨吧.
∠2＋ ∠ 3＝ ∠ 4＋∠BAM ,
所以 ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝ ∠1＋ ∠4＋ ∠BAM=360°
思考 你能总结出三角形的外角和的数量关系吗 ？ 结论 : 三角形的外角和等于360°.
当堂练习
1.判断以下命题的対错.
〔1〕三角形的外角和是指三角形的所有外角的和. 〔 〕
〔2〕三角形的外角和等于它的内角和的2倍. 〔 〕
的和及三角形的内角和．〔重点〕 4.会利用三角形的外角性质解决问题.
情境引入
导入新课
复习引入
1.在△ABC中 , ∠A=80°, ∠B=52°,那么∠C=48 ° . 2.如下图 , 在△ABC中 , ∠A=70°, ∠B=60°,
那么∠ACB=50 ° , ∠ACD=130° .
A
B
3.什么是三角形的内角 ？其内角和等C于多少D ？ 三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角 , 它们的和是180 °.
典例精析
例1 如下图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC的度数.
A
解 : ∵ ∠BEC是△AEC的一个外角 ,
∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE ,
E
∵∠A=42° , ∠ACE=18° ,
FD
∴ ∠BEC=60°.
∵ ∠BFC是△BEF的一个外角 ,
∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF ,
4 .如下图 , D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD, ∠ADC=80° ,
∠BAC=70° , 求 :
〔1〕∠B 的度数 ; 〔2〕∠C的度数.
A
解 : 因为∠ADC是△ABD的外角.
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
又因为∠B=∠BAD ,
所以B80140,
B
2
在△ABC中 ,
∠B+∠BAC+∠C=180° , ∠C=180º-40º-70º=70°.
①
勾股定理的实际 应用
复习导入
勾股定理〔毕达哥斯拉定理〕: 直角三角形两直角边a,b的平方和 , 等于斜边c的平方. a2 +b2=c2
变式 : a2＝ c2－ b2, b2＝ c2－ a2
如下图1-16 , 电工师傅把4m长的梯子 AC靠在墙上 , 使梯脚C离墙脚B的距离为 , 准备在墙上安装电灯. 当他爬上梯子后 , 发 现高度不够于是将梯脚往墙脚移近 , 即移 动到C'处.那么 , 梯子顶端是否往上移动呢?
A ∠BCE是△ABC的一个外角 ,
∠DCE不是△ABC的一个外
B
C D 角.
E 问题2 如下图 , ∠ACD与∠BCE有什么关系 ？在三角形的每个顶点处有多
少个外角 ？
∠ACD 与∠BCE为対顶角 , ∠ACD =∠BCE ; 在三角形每个顶点处都有两个外角.
画一画 画出△ABC的所有外角 , 共有几个呢?
A
∠BEC是△AEC的外角;
E
D
∠AEC是△BEC的外角;
F
∠EFD是△BEF和△DCF的外角.
B
C
二 三角形的外角的性质
问题1 如下图 , △ABC的外角∠BCD与其相邻的内角 ∠ACB有什么关系 ？
不相邻的内角
B
三角形的外角
A
C
D
相邻的内角
∠BCD与∠ACB互补.
问题2 如下图 , △ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A , ∠B) 有什么关系 ？
课堂小结
1 说一说本节课的收获. 2 你还存在哪些疑惑 ？
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念， 考试加油!奥利给~
第十一章 三角形 11.2 与三角形有关的角
三角形的外角
学习目标 1.理解并掌握三角形的外角的概念． 2.能够在能够复杂图形中找出外角.〔难点〕 3.掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角
B
C ∵ ∠ABD=28° ,∠BEC=60°
∴ ∠BFC=88°.
例2 如下图 , P为△ABC内一点 , ∠BPC＝150° , ∠ABP＝20° , ∠ACP＝30° , 求∠A的度数． E
解析 : 延长BP交AC于E或连接AP并延长 , 构造三角形的外角 , 再利用 外角的性质即可求出∠A的度数．
A.26° B.63° C.37° D.60°
F
A
E
B
C
D
3.〔1〕如下图 , ∠BDC是△_A_D__C____ 的外角,也是△ADE 的外角 ; (2)假设∠B=45 ° , ∠BAE=36 °, ∠BCE=20 °,试求∠AEC的度数.
A
D
E
B
C
解 : 根据三角形外角的性质有 ∠ADC= ∠B+ ∠BCE, ∠AEC= ∠ADC+ ∠BAE. 所以∠AEC= ∠B+∠BCE+ ∠BAE=45 °+20 °+36 °=101 °.
D
问题 : 发现懒羊羊独自在O处游玩后 , 灰太狼打算用迂
回的方式 , 先从A前进到C处 , 然后再折回到B处截住懒
羊羊返回羊村的去路 , 红太狼那么直接在A处拦截懒羊
羊 , 已知∠BAC=40° , ∠ABC=70°.灰太狼从C处要转
多少度角才能直达B处 ？
D ？
●
C
● 70 ° ●
B
O
40 ° ● A
图 解 : ∵∠2=∠1+∠B,
∴∠2＞∠1.
图 解 : ∵∠2=∠1+∠B,
∠3=∠2+∠D,
∴∠3＞∠2＞∠1.
三 三角形的外角和
例3 如下图 , ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三个外角 , 它们的和是多少 ？
解 : 由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 内角的和 , 得 ∠BAE= ∠2+ ∠3 , ∠CBF= ∠1+ ∠3,
2
1 ∴∠1= ∠B ,
C
D 〔两直线平行 , 同位角相等〕 ∠2= ∠A ,
〔两直线平行 , 内错角相等〕
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
知识要点
三角形内角和定理的推论 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
应用格式 : A
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角 ∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.
讲授新课
一 三角形的外角的概念
定义 如下图 , 把△ABC的一边BC延长 , 得到∠ACD , 像这样 , 三角形 的一边与另一边的延长线组成的角 , 叫做三角形的外角.
A
B
C
D
∠ACD是△ABC的一个外角
问题1 如下图 , 延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个外角 ？∠DCE
是不是△ABC的一个外角 ？
巩固练习
2.如下图 , AE是位于公路边的电线杆 , 高 为12m , 为了使电线CDE不影响汽车的正常 行驶 , 电力部门在公路的另一边竖立了一根 高为6m的水泥撑杆BD , 用于撑起电线.已知 两根杆子之间的距离为8m , 电线CD与水平线 AC的夹角为60°.求电线CDE的总长L(A , B , C三点在同一直线上 , 电线杆、水泥杆的粗细 忽略不计).
你还有其他解法 吗？
E A
∠ACD= ∠1+ ∠2.
1
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 ° , 所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD =2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
B
2
F
3
C
D
解法二 : 如下图 , ∠BAE+∠1=180 ° ① ,
E
∠CBF +∠2=180 ° ② ,
A
∠ACD +∠3=180 ° ③ ,
巩固练习
4.〔1〕等边三角形的边长为 2 3 , 求它的中线长 , 并求出其面积. 〔2〕等边三角形的一条角平分线长为 3 , 求这个三角形的边长.
巩固练习
9.如下图为放置在水平桌面上的台灯的示意图 , 灯臂AB长为40cm , 灯罩BC长为30 cm , 底座厚度为2 cm , 灯臂与底座构成的 ∠BAD=60°.使用时发现 , 光线效果最准确时灯罩BC与水平线所成 的角为30° , 求此时灯罩顶端C到桌面的高度(结果精确到0.1 cm).
不相邻的内角
B
A C
相邻的内角
∵∠A+∠B+∠ACB=180° , ∠BCD+∠ACB=180° , ∴∠A+∠B=∠BCD.
三角形的外角
D
你能用作平行线的方式证明 此结论吗 ？
验证结论
已知 : 如下图 , △ABC , 求证 : ∠ACD=∠A+∠B.
A B
E 证明 : 过C作CE平行于AB ,
=51° +20°+30°=101°.
A
D
20 °
E
30 ° C
你发现了什么结 论？
解法二 : 延长BD交AC于点E. 在△ABE中 , ∠1=∠ABE+∠BAE , 在△ECD中 , ∠BDC=∠1+∠ECD. 所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.
A
(
51 °
20 °
D
B
C
思路点拨 : 添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.
解法一 : 连接AD并延长于点E.
在△ABD中 , ∠1+∠ABD=∠3 ,
在△ACD中 , ∠2+∠ACD=∠4.
因为∠BDC=∠3+∠4 , ∠BAC=∠1+∠2 ,
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
每一个三角形都有6个外
角．
每一个顶点相対应的外
角都有2个 , 且这2个角为対
B
C
顶角.
总结归纳
三角形的外角应具备的条件 :
①角的顶点是三角形的顶点 ; ②角的一边是三角形的一边 ; ③另一边是三角形中一边的延A 长线.
B
C
D
∠ACD是△ABC的一个外角
每一个三角形都有6个外角．
练一练
如下图,∠ BEC是哪个三角形的外角 ？∠AEC是哪个三角形的外角 ？ ∠EFD是哪个三角形的外角 ？
B
CD
练一练 : 说出以下图形中∠1和∠2的度数 :
A
80 °
60 °
12
B
CD
(1)
∠1=40 °, ∠2=140 °
50 ° A
2
1
32 °(
B
C
(2)
∠1=18 °, ∠2=130 °
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们 休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐 对身体不好哦~
1
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 ° , ①+ ②+ ③得
B
2
3
C
D
F
∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD+(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 ° ,
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °-180°=360°.
E A
1
M
解法三 : 过A作AM平行于BC ,
3
∠3＝ ∠4
B 2
F
CD
∠2＝ ∠BAM ,
51 °
F
E
20 °
D
B
30 ° C
解法三:连接延长CD交AB于点F〔解题过程同解法二〕.
总结
解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，
把未知角与已知角联系起来求解.
拓展探究
如图 ，试比较∠2 、∠1的大小； 如图 ， 试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小.
三角形的外 角大于与它 不相邻的内 角.
探究新知
例 2 (〞引葭赴岸”问题)〞今有方池一丈 , 葭生其中央 , 出水一尺 , 引葭赴岸 , 适
与岸齐.问水深 , 葭长各几何?”意思是:有一个边长为10尺的正方形池塘 , 一棵芦苇 生长在池的中央 , 其出水部分为1尺.如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸.边 , 它的顶端恰好碰到池边的水面.问水深与芦苇长各为多少? 【教材P12]
解 : 延长BP交AC于点E , 那么∠BPC , ∠PEC分别为△PCE , △ABE的外角 , ∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE , ∠PEC＝∠ABE＋∠A , ∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE
＝150°－30°＝120°. ∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
【变式题] (一题多解)如下图 , ∠A=51° , ∠B=20° , ∠C=30° , 求∠BDC的度数.
巩固练习
1.如下图 , 一艘渔船以30海里/h的速度 由西向东追赶鱼群.在A处测得小岛C在船 的北偏东60°方向 ; 40 min后 , 渔船行至B 处 , 此时测得小岛C在船的北偏东30°方 向. 已知以小岛C为中心 , 周围10海里以内 有暗礁 , 问这艘渔船继续向东追赶鱼群是 否有触礁的危险?
〔3〕三角形的一个外角等于两个内角的和. 〔 〕
〔4〕三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.〔 〕
〔5〕三角形的一个外角大于任何一个内角.
〔〕
〔6〕三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.〔 〕
2.如下图 , AB//CD , ∠A＝37°, ∠C＝63° , 那么∠F等于 〔A 〕
利用〞三角形的内角和为180°”来求∠BCD , 你会吗 ？ D ？ ●C
由三角形内角和易得
● 70 ° ●
B
O
40 ° ● A
∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70 ° ,
所以∠BCD=180°－∠BCA=110°. 思考 : 像∠BCD这样的角有什么特征吗 ？猜想它的性质.
这节课让我们一起来探讨吧.
∠2＋ ∠ 3＝ ∠ 4＋∠BAM ,
所以 ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝ ∠1＋ ∠4＋ ∠BAM=360°
思考 你能总结出三角形的外角和的数量关系吗 ？ 结论 : 三角形的外角和等于360°.
当堂练习
1.判断以下命题的対错.
〔1〕三角形的外角和是指三角形的所有外角的和. 〔 〕
〔2〕三角形的外角和等于它的内角和的2倍. 〔 〕
的和及三角形的内角和．〔重点〕 4.会利用三角形的外角性质解决问题.
情境引入
导入新课
复习引入
1.在△ABC中 , ∠A=80°, ∠B=52°,那么∠C=48 ° . 2.如下图 , 在△ABC中 , ∠A=70°, ∠B=60°,
那么∠ACB=50 ° , ∠ACD=130° .
A
B
3.什么是三角形的内角 ？其内角和等C于多少D ？ 三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角 , 它们的和是180 °.
典例精析
例1 如下图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC的度数.
A
解 : ∵ ∠BEC是△AEC的一个外角 ,
∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE ,
E
∵∠A=42° , ∠ACE=18° ,
FD
∴ ∠BEC=60°.
∵ ∠BFC是△BEF的一个外角 ,
∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF ,
4 .如下图 , D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD, ∠ADC=80° ,
∠BAC=70° , 求 :
〔1〕∠B 的度数 ; 〔2〕∠C的度数.
A
解 : 因为∠ADC是△ABD的外角.
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
又因为∠B=∠BAD ,
所以B80140,
B
2
在△ABC中 ,
∠B+∠BAC+∠C=180° , ∠C=180º-40º-70º=70°.
①
勾股定理的实际 应用
复习导入
勾股定理〔毕达哥斯拉定理〕: 直角三角形两直角边a,b的平方和 , 等于斜边c的平方. a2 +b2=c2
变式 : a2＝ c2－ b2, b2＝ c2－ a2
如下图1-16 , 电工师傅把4m长的梯子 AC靠在墙上 , 使梯脚C离墙脚B的距离为 , 准备在墙上安装电灯. 当他爬上梯子后 , 发 现高度不够于是将梯脚往墙脚移近 , 即移 动到C'处.那么 , 梯子顶端是否往上移动呢?
A ∠BCE是△ABC的一个外角 ,
∠DCE不是△ABC的一个外
B
C D 角.
E 问题2 如下图 , ∠ACD与∠BCE有什么关系 ？在三角形的每个顶点处有多
少个外角 ？
∠ACD 与∠BCE为対顶角 , ∠ACD =∠BCE ; 在三角形每个顶点处都有两个外角.
画一画 画出△ABC的所有外角 , 共有几个呢?
A
∠BEC是△AEC的外角;
E
D
∠AEC是△BEC的外角;
F
∠EFD是△BEF和△DCF的外角.
B
C
二 三角形的外角的性质
问题1 如下图 , △ABC的外角∠BCD与其相邻的内角 ∠ACB有什么关系 ？
不相邻的内角
B
三角形的外角
A
C
D
相邻的内角
∠BCD与∠ACB互补.
问题2 如下图 , △ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A , ∠B) 有什么关系 ？
课堂小结
1 说一说本节课的收获. 2 你还存在哪些疑惑 ？
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念， 考试加油!奥利给~
第十一章 三角形 11.2 与三角形有关的角
三角形的外角
学习目标 1.理解并掌握三角形的外角的概念． 2.能够在能够复杂图形中找出外角.〔难点〕 3.掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角
B
C ∵ ∠ABD=28° ,∠BEC=60°
∴ ∠BFC=88°.
例2 如下图 , P为△ABC内一点 , ∠BPC＝150° , ∠ABP＝20° , ∠ACP＝30° , 求∠A的度数． E
解析 : 延长BP交AC于E或连接AP并延长 , 构造三角形的外角 , 再利用 外角的性质即可求出∠A的度数．
A.26° B.63° C.37° D.60°
F
A
E
B
C
D
3.〔1〕如下图 , ∠BDC是△_A_D__C____ 的外角,也是△ADE 的外角 ; (2)假设∠B=45 ° , ∠BAE=36 °, ∠BCE=20 °,试求∠AEC的度数.
A
D
E
B
C
解 : 根据三角形外角的性质有 ∠ADC= ∠B+ ∠BCE, ∠AEC= ∠ADC+ ∠BAE. 所以∠AEC= ∠B+∠BCE+ ∠BAE=45 °+20 °+36 °=101 °.
D
问题 : 发现懒羊羊独自在O处游玩后 , 灰太狼打算用迂
回的方式 , 先从A前进到C处 , 然后再折回到B处截住懒
羊羊返回羊村的去路 , 红太狼那么直接在A处拦截懒羊
羊 , 已知∠BAC=40° , ∠ABC=70°.灰太狼从C处要转
多少度角才能直达B处 ？
D ？
●
C
● 70 ° ●
B
O
40 ° ● A
图 解 : ∵∠2=∠1+∠B,
∴∠2＞∠1.
图 解 : ∵∠2=∠1+∠B,
∠3=∠2+∠D,
∴∠3＞∠2＞∠1.
三 三角形的外角和
例3 如下图 , ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三个外角 , 它们的和是多少 ？
解 : 由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 内角的和 , 得 ∠BAE= ∠2+ ∠3 , ∠CBF= ∠1+ ∠3,
2
1 ∴∠1= ∠B ,
C
D 〔两直线平行 , 同位角相等〕 ∠2= ∠A ,
〔两直线平行 , 内错角相等〕
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
知识要点
三角形内角和定理的推论 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
应用格式 : A
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角 ∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.
讲授新课
一 三角形的外角的概念
定义 如下图 , 把△ABC的一边BC延长 , 得到∠ACD , 像这样 , 三角形 的一边与另一边的延长线组成的角 , 叫做三角形的外角.
A
B
C
D
∠ACD是△ABC的一个外角
问题1 如下图 , 延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个外角 ？∠DCE
是不是△ABC的一个外角 ？
巩固练习
2.如下图 , AE是位于公路边的电线杆 , 高 为12m , 为了使电线CDE不影响汽车的正常 行驶 , 电力部门在公路的另一边竖立了一根 高为6m的水泥撑杆BD , 用于撑起电线.已知 两根杆子之间的距离为8m , 电线CD与水平线 AC的夹角为60°.求电线CDE的总长L(A , B , C三点在同一直线上 , 电线杆、水泥杆的粗细 忽略不计).
你还有其他解法 吗？
E A
∠ACD= ∠1+ ∠2.
1
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 ° , 所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD =2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
B
2
F
3
C
D
解法二 : 如下图 , ∠BAE+∠1=180 ° ① ,
E
∠CBF +∠2=180 ° ② ,
A
∠ACD +∠3=180 ° ③ ,
巩固练习
4.〔1〕等边三角形的边长为 2 3 , 求它的中线长 , 并求出其面积. 〔2〕等边三角形的一条角平分线长为 3 , 求这个三角形的边长.
巩固练习
9.如下图为放置在水平桌面上的台灯的示意图 , 灯臂AB长为40cm , 灯罩BC长为30 cm , 底座厚度为2 cm , 灯臂与底座构成的 ∠BAD=60°.使用时发现 , 光线效果最准确时灯罩BC与水平线所成 的角为30° , 求此时灯罩顶端C到桌面的高度(结果精确到0.1 cm).
不相邻的内角
B
A C
相邻的内角
∵∠A+∠B+∠ACB=180° , ∠BCD+∠ACB=180° , ∴∠A+∠B=∠BCD.
三角形的外角
D
你能用作平行线的方式证明 此结论吗 ？
验证结论
已知 : 如下图 , △ABC , 求证 : ∠ACD=∠A+∠B.
A B
E 证明 : 过C作CE平行于AB ,
=51° +20°+30°=101°.
A
D
20 °
E
30 ° C
你发现了什么结 论？
解法二 : 延长BD交AC于点E. 在△ABE中 , ∠1=∠ABE+∠BAE , 在△ECD中 , ∠BDC=∠1+∠ECD. 所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.
A
(