(浙江版)备战高考数学二轮复习 专题1.7 计数原理与古典概率教学案-浙江版高三全册数学教学案

专题1.7 计数原理与古典概率
【考情动态】
考 点
最新考纲
5年统计 1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理
理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，会解决简单的计数问题.
2013•某某理14;
2014•某某理.14; 2017•某某16. 2.排列与组合
理解排列、组合的概念，掌握排列数公式、组合数公
式，并能解决简单的实际问题.
2013•某某理14;
2014•某某理.14; 2017•某某16.
3.二项式定理
1.了解“杨辉三角”的特征，掌握二项式系数的性质及其简单应用.
2．掌握二项式定理，会用二项式定理解决有关的简单问题.
2013•某某理11; 2014•某某理5; 2017•某某13.
4.随机事件的概率与古典概型
1.掌握事件、事件的关系与运算，掌握互斥事件、对立事件、独立事件的概念及概率的计算.了解条件概
率的概念.
2.了解概率与频率概念，理解古典概型，会计算古典概型中事件的概率.
2013•某某理12; 2014•某某文14. 【热点重温】
热点一 计数原理与排列与组合
【典例1】【2016全国甲理5改编】如图所示，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为.
A.24
B.
C.12
D.9 【答案】18
【解析】从E F →的最短路径有6种走法，从F G →的最短路径有3种走法，由乘法原理知，共6318⨯=种走法．
【对点训练】春节期间已知{},1,2,3,4,5,6,7,8,9a b ∈，log a u b =，则u 的不同取值个数为_________. 【答案】54
【典例2】【2017课标II 改编】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有.
A ．12种
B ．18种
C ．24种
D ．
【答案】36种【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分
成三份：有24C 种方法，然后进行全排列3
3A 即可，由乘法原理，不同的安排方式共有234336C A ⨯=种方法.
【对点训练】【2018届某某省某某市第一中学高三上期中】某校的A 、B 、C 、D 四位同学准备从三门选修课中各选一门，若要求每门选修课至少有一人选修，且A,B 不选修同一门课，则不同的选法有（ ） A. 36种 B. 72种 C. 30种 D. 66种 【答案】C
【解析】先从4人中选出2人作为1个整体有2
46C =种选法，减去A B 、在同一组还有5种选法，再选3门课程有33A 种选法，利用分步计数原理有3
3530A =种不同选法.选C.
【典例3】【2017某某卷16】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______中不同的选法．（用数字作答） 【答案】660
【解析】由题意可得：总的选择方法为411843C C C ⨯⨯种方法，其中不满足题意的选法有411
643C C C ⨯⨯种方法，则满足题意的选法有：411411
843643660C C C C C C ⨯⨯-⨯⨯=种．
【对点训练】某学校需从3名男生和2名女生中选出4人，分派到甲、乙、丙三地参加义工活动，其中甲地需要
选派2人且至少有1名女生，乙地和丙地各需要选派1人，则不同的选派方法的种数是 （ ） A. 18 B. 24 C. 36 D. 42 【答案】D
点睛：3.排列、组合综合应用问题的常见解法：①特殊元素(特殊位置)优先安排法；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题先选后排法；④相邻问题捆绑法；⑤不相邻问题插空法；⑥定序问题倍缩法；⑦多排问题一排法；⑧“小集团”问题先整体后局部法；⑨构造模型法；⑩正难则反、等价转化法．
6. 在计算排列组合问题时，可能会遇到“分组”问题，要特别注意是平均分组还是不平均分组．可从排列与组
合的关系出发，用类比的方法去理解分组问题，比如将4个元素分为两组，若一组一个、一组三个共有13
43C C 种不同的分法；而平均分为两组则有22
42
2
2
C C A 种不同的分法． 【考向预测】1.两个计数原理是解决排列、组合问题的基本方法，同时又能独立地解决一些简单的计数问题，通常与排列组合问题或概率计算问题综合考查．
2.排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数，同时考查分类讨论的思想及解决问题的能力．除了以选择、填空的形式考查，也往往在解答题中与概率相结合进行考查． 热点二 二项式定理
【典例4】【2017课标1，理6】621
(1)(1)x x
++展开式中2x 的系数为. 【答案】30
【解析】
因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x +
+=⋅++⋅+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为2226115C x x ⋅=，6
2
1(1)x x
⋅+展开式中含2x 的项为44
262115C x x x
⋅=，故2x 前系数为151530+=.
【对点训练】【2018届某某省某某市某某师X 大学附属中学月考卷二】若的展开式中常数项为
，则实
数的值为（ ）
A. B. C. -2 D.
【答案】D
【解析】的展开式通项为，令，则有，∴，
即，解得，
故选D ．
【典例5】【2017某某，理11】已知()13n
x +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n =. 【答案】4
【解析】由二项式定理的通项公式()1C 3C 3r
r r r r
r n n x x +T ==⋅⋅，令2r =得：22C 354n ⋅=，解得4n =．
【对点训练】设15n
x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若240M N -=，则
n =________.
【答案】4
【典例6】【2018届某某省师X 大学附属中学高三8月】已知()9
2901292x a a x a x a x +=+++
+，则
()()
22
13579246835792468a a a a a a a a a ++++-+++的值为（ ）
A. 93
B. 103
C. 113
D. 123 【答案】D
【解析】试题分析：由题意得，因为
92901292)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+（，两边同时取导数，可得()8
28123992239x a a x a x a x +=++⋅⋅⋅+，令1x =，得1012392393a a a a ++⋅⋅⋅+=，令1x =-，得1234923499a a a a a -+-+⋅⋅⋅+=，又()2
21357924683579)2468a a a a a a a a a ++++-+++（
()
12345678912345678923456789)23456789a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++++++++-+-+-+-+（
1012393=⨯=，故选D ．
【对点训练】【2017某某，13】已知多项式()1x +3()2x +2
=54321
12345x a x a x a x a x a +++++，则4a =________，
5a =________．
【答案】16，4 【解析】
点睛：1.在应用通项公式时，要注意以下几点：
①它表示二项展开式的任意项，只要n 与r 确定，该项就随之确定； ②1r T +是展开式中的第1r +项，而不是第r 项；
③公式中，a ，b 的指数和为n 且a ，b 不能随便颠倒位置； ④对二项式()n
a b -展开式的通项公式要特别注意符号问题．
⑤在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法． 2.二项定理问题的处理方法和技巧:
⑴运用二项式定理一定要牢记通项1r n r r
r n T C a b -+=，注意()n a b +与()n
b a +虽然相同，但具体到它们展开式的
某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指r
n C ，而后者是字母外的部分．前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负． ⑵ 对于二项式系数问题，应注意以下几点：
①求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母变量的值为1； ②关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法； ③证明不等式时，应注意运用放缩法.
⑶ 求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求r ，再求1r T +，有时还需先求n ，再求r ，才能求出1r T +. ⑷ 有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏.
⑸ 对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的
一个重要手段.
【考向预测】二项式定理中热点是通项公式的应用，利用通项公式求特定项或特定的项的系数，或已知某项，求指数n ，求参数的值等． 热点三 古典概型
【典例7】【2017某某改编】有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为. 【答案】
2
5
【解析】选取两支彩笔的方法有2
5C 种，含有红色彩笔的选法为1
4C 种，由古典概型公式，满足题意的概率值为
142542105
C p C ===.
【对点训练】【2017某某，理8】从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9X 卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1X ．则抽到的2X 卡片上的数奇偶性不同的概率是 （A ）
518 （B ）49 （C ）5
9
（D ）79 【答案】C
【典例8】【2017课标II ，文11】从分别写有1,2,3,4,5的5X 卡片中随机抽取1X ，放回后再随机抽取1X ，则抽得的第一X 卡片上的数大于第二X 卡片上的数的概率为. 【答案】
2
5
【对点训练】【2018届某某省某某昌黎实验学校高三第二次段考】五个人围坐在一X圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上,则这个人站起来;若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么,没有相邻的两个人站起来的概率为( )
A. 1
2
B.
15
32
C.
11
32
D.
5
16
【答案】C
点睛：古典概型中基本事件的探求方法
(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的．
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时(x，y)可以看成是有序的，
如(1,2)与(2,1)不同．有时也可以看成是无序的，如(1,2)(2,1)相同．
(3)排列组合法：在求一些较复杂的基本事件的个数时，可利用排列或组合的知识．
【考向预测】概率是高考热点之一，特别是古典概型，以互斥事件、对立事件的概率为主．客观题与大题都有可能考查，在大题中更加注重实际背景，考查分析、推理能力.。