流体力学第5章不可压缩流体的一维层流流动

微元体上z方向的各力之和为：
p
rz
dz
r β g
p
u
p z
dz
u
40
① 切应力方程
将上述各式代入（5-1）并整理得关于切 应力的微分方程
( rz r ) p p r ( g cos ) r r z z
*
其中，p*=p-ρgzcosβ，әp*/әz可用-Δp*/L代替， 说明流动过程为压降过程 其中
ω
kR R
33
解：此题为狭缝剪切流。由于间隙远 小于筒体半径，可近似认为水平狭缝中的 剪切流。由狭缝流动的剪切应力分布公式：
yx
1 p U (b 2 y ) 2 x b
*
其中外筒壁面的速度U=R ω，狭缝宽度 b=(1-k)R，对于水平剪切流，әp*/әx=0,于是 可得切应力分布为：
y x
β g
25
5.2.3 水平狭缝压差流动的流动阻力
对于水平狭缝，由于β=π/2，故有әp*/әx= әp/әx=const 。则可用-△p/L代替，其中△p是 流动方向上长度为L的流道的进出口压力之差， △p=p0-pL,称为压力降。由于是压差流，则两 平壁固定，则有U=0,得水平狭缝压差流的平 均速度为：
5
若切应力所在平面的外法线与y轴正向相反， 规定指向x轴负方向的切应力为正，反之为负。
y x z z y
x
yx 0
yx 0
第三步.将式（5-2）代入式（5-1），则 得关于流体速度的微分方程——流体微分方 程。
6
5.1.2
常见边界条件
常见工程问题的流场边界条件可分为三类： （1）固壁—流体边界：由于流体具有粘滞性，
* 2
(2)切应力与速度分布 将边界条件代入（5-4）可得：
p b c1 , b x 2
*
U
c2 0
则可得有相对运动的平壁间充分发展 的一维不可压缩层流流动的切应力和速度 分布表达式为：
21
yx
1 p U (b 2 y ) 2 x b
*
2 *
b p y y 2 y u [ ( ) ] U 2 x b b b
建立流动微分方程应用的是动量守恒定律 与牛顿剪切定律。其具体步骤为： 第一步.根据动量守恒定律建立微元体的 动量守恒方程。对于稳态流动，微元体的动量 方程表达式为：
输入微元体 的动量流量
—
输出微元体 作用于微元 的动量流量 + 体诸力之和 = 0 （5-1）
3
第二步.根据所采用的坐标系，写出相 应的牛顿剪切定律表达式作为补充方程。对 于如图所示的速度为u的一维流动。牛顿剪 切定律可表达为：
狭缝流动分析
管内流动分析
主要 内容
降膜流动分析
掌握推导过程
1
以典型的一维流动为对象，阐述动量守恒方 程与牛顿剪切定律应用于流场微元体分析，建立 流动微分方程的基本方法和过程，以确定流场中 速度分布和剪切应力分布，得到最大速度、流动 阻力、壁面剪切应力等工程实用参数。
2
5.1
概述
5.1.1 建立流动微分方程的基本方法
y c1 y c1 c1
I I II II
I
II

y c2
I
（1）
c1
y c2
II
29
边界条件为：
①
②
uI|y=-b=0
uII|y=b=0 uI|y=0=uII|y=0 τyxI|y=0= τyxII|y=0
③ 液—液边界条件：
将上述边界条件代入方程得积分常数：
30
b p0 pL c1 c1 , c1 I II 2 L
掌握推导过程不可压缩流体的一维层流流动不可压缩流体的一维层流流动主要内容以典型的一维流动为对象阐述动量守恒方程与牛顿剪切定律应用于流场微元体分析建立流动微分方程的基本方法和过程以确定流场中速度分布和剪切应力分布得到最大速度流动阻力壁面剪切应力等工程实用参数
5 不可压缩流体的一维层流流动
掌握建立流动微分方程的方法
p u
yx
yx y
dy
p p dx x
yx
g
u
15
微元体上x方向的诸力之和
yx dx ( yx
yx y
dy) dx pdy
p (p dx) dy ( g cos ) dxdy x yx yx p p yx y dy ( y x p u p dx x g cos ) dxdy y
r
R p0 β
z
u
pL
g
L
37
流体沿圆管轴向作一维层流流动。速度 为u，在r、θ方向的速度均为零，主流方向 与重力方向之间的夹角为β。流体微元及其 受力如图所示。
rz
p
u
rz r
dr
r β g
dr
rz
dz
p
u
p z
dz
38
由于是一维不可压缩稳态流动 （充分发展的流动），әu/әz=0，即u为 常数。因此z方向进出微元体的动量流 量为：
I II I II I
b p0 pL 2 c2 c2 , c2 I II 2 L
I II I
将积分常数代入（1）式可得而流体切应力 和速度分布（略）。
31
y
II
uII
x
τyx
I
uI
32
例： 如图两同心圆筒，外筒半径为R，以角 速度ω转动，内筒半径为kR，k<1。流体在外筒 带动下流动。由于k接近于1，且流体粘度较高， 故可视为层流流动。试确定转动外筒所需的力 矩。 vθ
9
层流:指的是平行流动的流体层之间 只有分子作用，而不相互混杂，只有在层 流条件下牛顿剪切定律才成立. 充分发展流动:流体速度沿着流动方 向没有变化的流动，例如当流体以速度u 沿x方向流动时，如果说流动是充分发展 的，则必有әu/әx=0。由此，不可压缩流 体的一维稳态流动必然属于充分发展的流 动。
y x II I
28
解：本题为水平狭缝的压差流，边界条件为液— 液边界，且有β=π/2，故有әp*/әx= әp/әx=(pL-p0) /L, 于是可得两层流体的切应力和速度分布方程。
p L p0 I yx L p L p0 II yx L 2 I 1 p L p0 y u I L 2 2 II 1 p L p0 y u II L 2
10Βιβλιοθήκη 5.2狭缝流动狭缝流动：通常指的是两块足够大的平行平 板（板间距远远小于板横向尺寸的平行平板） 间的流动. 几点说明： ①由于板间距大大小于板的横向尺寸（长或 宽），故可忽略端部效应即流体进出的影响， 流动可视为充分发展。 ②由于狭缝的水利直径很小，且化工流体往往 有较大的粘度，故雷诺数小（Re=ρumb/μ），流 动常处于层流范围。
22πrdr ρu
则动量方程（5-1）将简化为力平 衡方程。
39
rz rz 2rdz ( rz dr)2 (r dr)dz r p p 2rdr ( p dz)2rdr z rz g cos 2rdrdz rz r dr dr
yx
du dy
y （5-2）
yx
u( y)
x
4
其中切应力τyx 的第一下标y表示切应力所在平面 的法线方向，第二下标x表示切应力的作用方向。切 应力的符号规定，若切应力所在平面的外法线与y轴 正向一致，则指向x轴正向的切应力为正，反之为负；
y x z z y x
yx 0
yx 0
* 2
（5-4）
适用条件：式（5-3）对牛顿型和非牛
顿型流体均适用；而式（5-4）只适用于牛
顿流体.
19
5.2.2 狭缝流动的剪切力与速度分布
（1）边界条件
最一般的情况：沿流动方向存在压力差，同
时上壁面以速度U相对于下壁面运动。边界条件
为：
u|y=0=0
y x
u|y=b=U
β g
20
1 p y 1 u c1 y c2 x 2
U u y b x
剪切流+压差流=复合流
22
(3)平均流速和流量 利用速度公式可以得出平均速度um和沿流 动方向的体积流量qv
1 b p U u m udy b0 12 x 2
b 2 *
b p Ub qv udy bum 12 x 2 0
b 3 *
况下，管长与管径之比L/D >>1，可以忽略管子
进出口的影响，将流动视为充分发展的一维流
动。管内流动由进出口两端的压力差产生，对于
非水平管道，流动还受到重力影响。
36
5.3.1 圆管内层流流动 如图为圆管内流动，因为圆管的轴对 称特征，宜采用柱坐标。设管长为L，半径 为R，进出口压力分别为P0和PL。
y x
13
β g
y
微元体受力如图
p
u
yx
yx y
β g
x
dy
p p dx x
u
yx
g
14
由于流动是充分发展的，即әu/әx=0， 所以流体进入和流出微元体的速度均为u， 因此在x方向有： 输入动量流量=ρu2dy 输出动量流量=ρu2dy 此时动量方程简化 为力的平衡方程。
面的速度分布或切应力分布具有连续性，故
液—液界面两侧的速度或切应力相等。
8
5.1.3 流动条件
本章讨论的是稳态条件下不可压缩流体的 一维层流且充分发展的流动。 稳态：指流动过程与时间无关； 不可压缩流动：即流体密度ρ为常数； 一维流动：流体只在一个坐标方向上流动， 且流体速度的变化（速度分布）也只与一个空 间坐标有关；
故在与流体接触的固体壁面上，流体的速度将等于 固体壁面的速度。特别地，在静止的固体壁面上， 流体的速度为零。
7
（2）液体—气体边界：对于非高速流动，
气液界面上的切应力相对于液相内的切应力很
小，故通常认为液相切应力在气液界面上为零， 或液相速度梯度在气液界面上为零。
（3）液体—液体边界：由于穿越液—液界
23
(4)分布方程的应用条件 由于上述方程包含了压差、壁面运动、 壁面倾斜角三个外在因素的影响，因此对于 (i) 固定壁面间的压差流，可在方程中令 U=0； (ii) 仅由壁面运动产生的剪切流，可在 方程中令әp*/әx=-ρgcosβ;
24
(iii) β=0 表示流体在垂直狭缝中间向下流动。 β=π/2 表示流体在水平狭缝中间流动。 β=π 表示流体在垂直狭缝中间向上流动。
yx
x
g
u
16
将上述三项代入方程（5-1）可得关于切 应力的微分方程：
yx
p g cos y x ( p gx cos ) p x x
*
（5-3a）
其中p*=p-ρgxcosβ。这里引用一个结论：对于 x方向充分发展的一维流动，ә p */ әx=const，于 是积分上述方程，得到切应力分布方程：
11
③产生流动的动力 一种是进出口两端的压力差产生的流 动，称为压差流。 另一种是由于两壁面的相对运动产生 的流动，称为剪切流。 这两种因素也可能同时存在。 ④ 对于非水平平壁的狭缝流动，还将 受到重力的影响。
12
5.2.1狭缝流动的微分方程
如图所示为两平壁间的流动，在平壁间， 密度为ρ的不可压缩流体沿x轴方向作一维层流 流动，流动方向与重力加速度g之间夹角为β。 所取微元体如图所示，垂直于x-y平面的方向 取单位厚度。
b p um 12 L
2
26
狭缝流动阻力系数λ的定义式
△p= λ(L/b) (ρu2m/2)
代入上式并注意： Re=ρumb/µ
则得水平狭缝压差流的阻力系数为：
24 24 umb / Re
于是水平狭缝压差流的压力降为：
24 L u m p Re b 2
2
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例：如图为两层不相容流体在固定平壁间的平 行流动，其中I为重相，II为轻相。壁面x方向 长度为L，进口压力p0，出口压力pL,设流动为 充分发展的层流流动。试确定其切应力和速度 分布。
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r
U
b


(1 k )
由于外筒壁面的切应力对流体产生的力 矩等于转动外筒所需的力矩，设筒长L，则有：
M 2RL r |r R R 2R L
2

(1 k )
35
5.3 管内流动分析
管内流动，包括圆管和圆形套管内的流动，
是工程实际中最常见的流动方式。由于大多数情
17
yx
p y c1 x
*
（5-3b）
下面推导速度方程，对于牛顿流体，将一 维流动条件的牛顿剪切定理τyx=μdu/dy代入上 式，可得狭缝流动的速度微分方程：
du 1 p ( y c1 ) dy x
*
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积分后可得速度分布方程：
1 p y 1 u c1 y c2 x 2