数学建模例题

例1 怎样使饮料罐制造用材最省的问题．
首先，把饮料罐假设为正圆柱体(实际上由于制造工艺等要求，它不可能正好是数学上的正圆柱体，但这样简化确实是近似的、合理的)．在这种简化下，我们就可以来明确变量和参数了，例如可以假设：
V一罐装饮料的体积，r一半径，h一圆柱高，b一制罐铝材的厚度，l一制造中工艺上必须要求的折边长度。

上面的诸多因素中，我们先不考虑l这个因素．于是：
由于易拉罐上底的强度必须要大一点，因而在制造上其厚度为罐的其他部分厚度的3倍．因而制罐用材的总面积A＝，每罐饮料的体积V是一样的，因而V可以看成是一个常数(参数)，解出A：
代入A得：
从而知道，用材最省的问题就是求半径r使A(r)达到最小。

A(r)的表达式就是一个数学模型。

可以用多种精确的或近似的方法求A(r)最小时相应的r。

从而求得
例3 数据拟合模型
在数学建模过程中，常常需要确定一个变量依存于另一个或更多的变量的关系，即函数。

但实际上确定函数的形式（线性形式、乘法形式、幂指形式或其它形式）时往往没有先验的依据。

只能在收集的实际数据的基础上对若干合乎理论的形式进行试验，从中选择一个最能拟合有关数据，即最有可能反映实际问题的函数形式，这就是统计学中的拟合回归方程问题。

“人口问题”是我国最大社会问题之一，估计人口数量和发展趋势是我们制定一系列相关政策的基础。

有人口统计年鉴，可查的我国从1949年至1994年人口数据智料如下：
年份1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994
人口数(百万)
541.67
602.66
672.09
704.99
806.71
908.59
975.42
1106.76
1176.74
分析：
（1）在直角坐标系上作出人口数的图象。

（2）估计出这图象近似地可看做一条直线。

（3）用以下几种方法（之一）确定直线方程，并算出1999年人口数。

方法一：先选择能反映直线变化的两个点，如（1949，541.67），（1984，1034.75）二点确定一条直线，方程为
N = 14.088 t – 26915.842
代入t =1999,得N »12.46亿
方法二：可以多取几组点对，确定几条直线方程，将t = 1999代入，分别求出人口数，在取其算数平值。

方法三：可采用“最小二乘法”求出直线方程。

设（x 1, y 1 ), (x 2, y 2), …, (x n, y n)是直角平面坐标系下给出的一组数据，若x 1<x 2<…<x n,我们也可以把这组数据看作是一个离散的函数。

根据观察，如果这组数据图象“很象”一条直线（不是直线），我们的问题是确定一条直线y = bx +a ,使得它能"最好"的反映出这组数据的变化。

对个别观察值来说，它可能是正的，也可能是负的。

为了不使它们相加彼此抵消，故"最好"应该是
它可能是正的，也可能是负的。

为了不使它们相加彼此抵消，故"最好"应该是
例4 贷款买房问题
某居民买房向银行贷款6万元，利息为月利率1%，贷款期为25年，问该居民每月应定额偿还多少钱？
确定参变量：用n表示月份，表示第n个月欠银行的钱，r表示月利率，x表示每月还钱数，表示贷款额，则可得下表：
时间欠银行款
初始
一个月后
二个月后
三个月后
由递推关系式可得
令=60000元，,n=300,r=0.01
得元
因此，该居民每月应偿还632元。

餐厅选菜的规律
学校餐厅每天供应1000名学生用餐，每星期一有两样菜：A，B可供选择。

调查资料表明，凡是在星期一选A菜的，下星期一会有20%改选B菜；而选B菜的，下星期一则有30%改选A，设表示在第n个星期一选A，B的人数。

（1）试用表示；
（2）证明：=0.5 +300；
（3）若记，则
解：（1）=0.8 +0.3
（2）因，故
一般地，=0.8 +0.3 =0.5 +300
（3）若，则
用数学归纳法证之，设
则=0.5 +300
=0.5[ +300
= .
此例仅供参考，好好努力学习。