中考数学命题大赛

沙洋县2014年初中毕业生学业考试命题大赛数学试题
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.）
1. sin30° 的值为（）A 1
D V3
r V3
A.— d . ----
C .
2 2 3
D.旦
2
2.将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）
A. 2, 3, 4
B. 5, 5, 6
C. 8, 15, 17
D. 9,12, 13
3.计算tan 60° +很sin 45° —2cos 30° 的结果是（
）
A. 2
B. V2
C. 1
D. 73
（第4题）
4.如图，。

的外切正六边形ABCDEF 的边长为2,则图中阴影部分的面积为（）.
I - Ji /- 2 Ji /— Ji /— 2 兀A. y/3 B. <3 C. 2V3 D. 2V3
5. 如图所示，小华从一个圆形场地的A 点出发，沿着与半径0A 夹角为a 的方向行走，走到场地边缘B 后，
再沿着与半径0B 夹角为a 的方向折向行走。

按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB 上，此
时ZA0E = 52° ,则a 的度数是（ ）
A. 56°
B. 60°
C. 72°
D. 76°
6. 现有A 、B 两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1, 2, 3, 4, 5, 6）.用小莉掷A 立方 体朝上的数字为X 、小明掷B 立方体朝上的数字为y 来确定点P （X ，7）,那么它们各掷一次所确定的点 P 落在已知抛物线v = -A- + 4.x ±的概率为（）
21
c. _
9
1A,—
18
1 B.— 12
1D.-6
小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，那
7.右图是由几个小立方块搭成的几何体的俯视图,8.在下图4X4的正方形网格中,△W 绕某点旋转一定的角度，得到△ M MP X ,则其旋转中心可能是（）
A.点A
B.点B CMC D.点
D
t3
9.如图，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点3是双曲线y=-(%>0)上的一个动
x
点，当点8的横坐标逐渐增大时，△Q43的面积将会()
A.逐渐增大
B.不变
C.逐渐减小
D.先增大后减小
10.2012〜2013物整个常规赛季中，科比罚球投篮的命中率大约是83.3%,下列说法错谩的是()
A.科比罚球投篮2次，一定全部命中
B.科比罚球投篮2次，不一定全部命中.
C.科比罚球投篮1次命中的可能性较大
D.科比罚球投篮1次，不命中的可能性较小
2
11.如图，点六在反比例函数尹=—(x>0)的图象上，横坐标为1,过点3分别向x轴，y轴作垂线,
垂足分别为4G则矩形以死的面积为()
12.如图，直线y=-2x+4与x轴，y轴分别相交于A3两点，。

为08上一点，且Z1=Z2,则S△曷。

= ()
A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题(共5小题，每小题3分，满分15分)
13某次数学测试中，五位同学的分数分别为：89,105,91,105,110.这组数据的中位数是,众数是平均数是-
2
14.分解因式：8a-2=
15.我国从2011年5月1日起在公众场所实施“禁烟”，为配合“禁烟”行动，我校开展了“吸烟有害健康”的知识竞赛，共有20道题，答对一题记10分，答错一题或不答记-5分。

小明参加本次竞赛得分要超过100分，他至少要答对道题.
16.如图，点E、F分别是正方形纸片ABCD的边BC、CD上一点，将正方形纸片ABCD分别沿AE、AF折叠，使得点B、D恰好都落在点G处，且EG=2,FG=3,则正方形纸片ABCD的边长为.
17.在平面直角坐标系中，规定碎翻先沿着x轴翻折，再向右平移2个单位称为1次变换.如图,
已知等边三角形ABC的顶点B,C的坐标分别是(-1,-1),(-3,-1),把△ABC经过连续9次这样的变换得到AA'B'C',则点A的对应点A'的坐标是
三.
解答下列各题
18.(本小题满分8分)
(1)计算：扼+(?)T—4cos45°—2+；x2—(2009—®.
(2).解不等式组
3(x-2)+4<5x
<1—x并把不等式的解集在数轴上表示出来----x>2x-l
4
19.(本小题满分9分)已知。

0的直径AB、CD互相垂直，弦AE交CD于F,若。

的半径为R.求证：AE-AF =2R2
D
20.(本小题满分8分)汶川大地震发生后，某中学八年级(一)班共40名同学开展了“我为灾区献爱心”的
活动.活动结束后，班长将捐款情况进行了统计，并绘制成下面的统计图.
(1)求这40名同学捐款的平均数；
(2)这组数据的众数是,中位数是.
(3)该校共有学生1200名，请根据该班的捐款情况，估
计这个中学的捐款总数大约是多少元？
21.(本小题满分10分)如图，点A、B、C分别是。

上的点，ZB=60°,AC=3,
延长线上的一点，且AP=AC.
(1)求证：AP是。

的切线；
(2)求PD的长.
22.(本小题满分10分)如图1,在菱形ABCD中，AC=2,BD=2扼，AC,BD相交于点0.
(1)求边AB的长；
(2)如图2,将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC,CD相交于点E,F,连接EF与AC相交于点G.
①判断AAEF是哪一种特殊三角形，并说明理由；
②旋转过程中，当点E为边BC的四等分点时(BE>CE),求CG的长.
图1图2
23.（本小题满分10分）如图，山坡上有一棵树AB,树底部B点到山脚C点的距离BC为6占米，山坡的坡角为30°.小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E处测得树顶部A的仰角为45°,树底部B的仰角为20°,求树
AB的高度.（参考数值：sin20°^0.34,cos20°^0.94,tan20°«0.36）
（第23题图）
24.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，点0是原点，点A的坐标为（4,0）,以0A为一边，在第一象限作等边AOAB（1）求点B的坐标.（2）求经过0、A、B三点的抛物线的解析式.
（3）直线y=—x与（2）中的抛物线在第一象限相交于点C,求点C的坐标；
2
（4）在（3）中，直线AC上方的抛物线上，是否存在一点D,使得△OCD的面积最大？如果存在。

求出点D的坐标和面积的最大值，如果不存在，请说明理由.
沙洋县蛟尾中学：张金鸿吴明彪
沙洋县2013年初中毕业生学业考试命题大赛数学试题
参考答案及评分说明
一.选择题(每小题3分，本大题满分36分)
题号123456789101112答案A C C A A D A B C A B C
二.填空题(每小题3分，本大题满分15分)
13题：105,105,100;14题：2(2a+l)(2aT);15题：14;16题：6
17：(16, 1 +V3)；
三.解答下列各题
18.(1)解：原式=2扼+2—4x巫—2x2x2-1..............3分
2
=2^2+2-272-8-1
=—7.............................4分
(2).解：由3(x-2)+4V5x得：
3x—5x<6—4
—2x V2
x>—1
由上M+—1得：
4
1—x+4x>8x—4
—5x>—5
x<l
：.-l<x<l...................................................3分.
02
..................4分.
19.证明：连接BE...........................................1分
VAB为。

O的直径
.-.ZAEB=90...................................................2分
VABXCD
ZAOF=90°
.\ZAOF=ZAEB=90°
XZA=ZA
.•.AAOF^AAEB ............................................6分
AF _ AO AB - AE
AAE • AF=AO • AB ..........................................7分
VAO=R AB = 2R
AE • AF=2R2................................................
.9分
- 1
20.解：(1 ) x = —(20x7 + 30x15 + 40x18 + 100x10) = 57.75(元)
40
这40名同学捐款的平均数是57.75元；........................3分.
(2) 40 元，15 元；..........................................6 分.
(3 ) 57.75x1200=69300 (元)
答：估计这个中学的捐款总数大约是69300元..................8分.
21. 1)证明：连接OA.VZB=60°,
.I ZAOC=2ZB=120°)........................................ 1 分
又•..OA=OC,
A ZACP=ZCAO=30°......................................... 2 分
.•.ZAOP=60°,............................................... 3 分
VAP=AC,
.•.ZP=ZACP=30°,........................................... 4 分.I ZOAP=90°,
AOAXAP,
.•.AP 是。

的切线，...........................................5分
(2)解：连接AD.
LCD 是。

O 的直径，
.I ZCAD=90°,..........................................•.AD=AC・tan30°=3x 吏=扼，.......................7 分
3
VZADC=ZB=60°,
.I ZPAD=ZADC - ZP=60° - 30°,................. 8 分
.,.ZP=ZPAD,................................... 9 分
.,.PD=AD=V3.............................. 10 分
6分
22.解答：解：(1) I .四边形ABCD 是菱形
,
.'.ACXBD,
.•.△AOB为直角三角形，且O A=1a C=1,
2
OB=1b D=V3...................................................2分
在RtAAOB中，由勾股定理得：
AB=V o A2+OB2=V12+（V3）.............................4分
（2）①AAEF是等边三角形.理由如下:
•..由（1）知，菱形边长为2,AC=2,
AABC与4ACD均为等边三角形，
ZBAC=ZBAE+ZCAE=60°,
又...ZEAF=ZCAF+ZCAE=60°,
.•.ZBAE=ZCAF.
在AABE与aacf中，
W bae N caf
,•,<AB=AC=2，
.ZEBA=ZFCA=60°
AABE^AACF（ASA）,
.\AE=AF........................................................5分aaaef是等腰三角形，
又,:ZEAF=60°,
AAAEF是等边三角形.............................................6分
②BC=2,E为四等分点，且BE>CE,
.\CE=1,BE=§.
22
由①知△A BE^AACF,
.,.CF=BE=&
2
ZEAC+ZAEG+ZEGA=ZGFC+ZFCG+ZCGF=180°（三角形内角和定理），ZAEG=ZFCG=60°（等边三角形内角），
ZEGA=ZCGF（对顶角）
.•.ZEAC=ZGFC....................................................8分
在ACAE与ACFG中，
...JZ eac N gfc
'lZACE=ZFCG=60°'
.•.ACAE^ACFG,
3
，即史空，
CE~AC12
2
解得：CG=3.........................................................10分8
23,解：在 RtABD C 中，ZBDC = 90°, BC = 6 际米,
ZBCD = 30°,
.'.DC = BC • cos30°
1分
2*9,
3分
.'.DF = DC + OF = 9 + 1 = 10,................................... 4 分/.GE = DF = 10.................................................. 5 分在 RtABGE 中，ZBEG = 20°,
•.•BG = CG • tan20° .......................................... 6 分
=10X0. 36=3. 6, ......................................... 7 分在 RtAAGE 中，ZAEG = 45°,.'.AG = GE = 10, ........................................... 9 分.'.AB = AG - BG = 10 - 3. 6 = 6. 4.答：树AB 的高度约为6. 4米.24. ( 1 )解：过点B 作BE± x 轴于点E
'•* AOAB 是等边三角形
.'.OE=2, BE=2a /3
.•.点B 的坐标为(2, 2右)
10分
3分.
(2 )根据抛物线的对称性可知，点B (2, 2)是抛物线的顶点设抛物线的解析式为y = a (x-2)②+2右
当 x=0 时，y =0
.•.0= a (0—2) 2 +2右2
. 也
・.a =—
---
抛物线的解析式为y
2
(x—2)2+2a/3
即：y=—x2+2a/3x
2
6分.
（3）设点C的横坐标为x,则纵坐标为1x
2
即点C的坐标为（x,—x
2）代入抛物线的解析式得：—X=-^X
22
2+2a/3x
解得：x=0^x=3
•..点C在第一象限,.I x=3,点C的坐标为（3,巫）
2
10分.
（4）存在
设点D的坐标为（x,
2
x2+2a/3x）,ZkOCD的面积为y
过点D作DF±x轴于点F,交0C于点G,则点G的坐标为（x,—x）
2
作CMXDF于点M
J3I-则OF+DM=3,DG=-—x2+2>/3x
2V3也2、点---X=一----X十----X 222
；.S=1(一虫x2+凹X)X3
222
as=3V3x2+9V[x
444216
A0CD的最大面积为—，此时点D的坐标为（一,—）
1628
12分.。