2023年新教材高考数学全程考评特训卷考点过关检测31空间角含解析

考点过关检测31 空间角
一、单项选择题
1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列直线与AC成60°角的是( )
A．B1C1B．BC1
C．DD1D．B1D
2．[2022·福建泉州模拟]在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，则异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为( )
A.
3
6
B.
1
12
C．－
3
6
D．－
1
12
3．[2022·河北邯郸模拟]如图，圆台OO1的上底面半径为O1A1＝1，下底面半径为OA＝2，母线长AA1＝2，过OA的中点B作OA的垂线交圆O于点C，则异面直线OO1与A1C所成角的大小为( )
A．30°B．45°
C．60°D．90°
4．[2022·广东深圳模拟]在正三棱柱ABC­A1B1C1中，2AB＝AA1，则B1C与平面AA1B1B所成角的正切值为( )
A.10
4
B.
51
17
C.15
5
D.
6
3
5．若一个圆锥的母线与底面所成的角为60°，侧面积为14π，则该圆锥的体积为( )
A.721
3
πB．721π
C.1442
3
πD．1442π
6．[2022·福建师大附中模拟]过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的锐二面角的余弦值为( )
A.13
B.22
C.
32D.33
7．[2022·江苏南京模拟]如图，四棱锥P ­ABCD 的底面为矩形，PD ⊥底面ABCD ，AD ＝1，
PD ＝AB ＝2，点E 是PB 的中点，过A ，D ，E 三点的平面α与平面PBC 的交线为l ，则下列
说法错误的是( )
A ．l ∥平面PAD
B ．l ⊥PD
C ．直线PA 与l 所成角的正切值为12
D ．平面α截四棱锥P ­ABCD 所得的上下两部分几何体的体积之比为3
5
8．[2022·山东济南模拟]已知菱形ABCD ，AB ＝BD ＝2，将△ABD 沿BD 折起，使二面角
A ­BD ­C 的大小为60°，则三棱锥A ­BCD 的体积为( )
A.32
B.223
C.
33
2
D ．2 2 二、多项选择题
9．已知正四棱锥S ­ABCD 的侧棱长是底面边长的3倍，O 为底面中心，E 是SB 的中点，
AC ＝2，则( )
A ．异面直线AE ，SC 所成角的余弦值为3
10
B ．SA ＝ 6
C ．异面直线AE ，SC 所成角的余弦值为1510
D ．SO ＝ 5
10．[2022·山东淄博模拟]已知正四棱台的上底面边长为1，侧棱长为2，高为2，则( )
A ．棱台的侧面积为8 3
B ．棱台的体积为13 2
C ．棱台的侧棱与底面所成的角π
4
D ．棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为
33
11．[2022·江苏苏州十中月考]矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，将此矩形沿着对角线BD 折成一个三棱锥C ­BDA ，则以下说法正确的有( )
A ．三棱锥C ­BDA 的体积最大值为25
15
B ．当二面角
C ­B
D ­A 为直二面角时，三棱锥C ­BDA 的体积为25
15
C ．当二面角C ­B
D ­A 为直二面角时，三棱锥C ­BDA 的外接球的表面积为5π D ．当二面角C ­BD ­A 不是直二面角时，三棱锥C ­BDA 的外接球的表面积小于5π 12.
[2022·广东珠海模拟]如图，三棱锥P ­ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ＝2，BC ＝23，AC ＝4，A 到平面PBC 的距离为
45
5
，则( ) A ．PA ＝4
B ．三棱锥P ­AB
C 的外接球的表面积为32π C ．直线AB 与直线PC 所成角的余弦值为
216
D ．AB 与平面PBC 所成角的正弦值为25
5
三、填空题 13.
[2022·河北秦皇岛一中月考]如图，正三棱柱ABC­A1B1C1中，CB＝CC1＝2，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，则BM与AN所成的角的余弦值为________.
14．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线AD1与平面ABCD所成的角的大小是________．
15.
[2022·湖北武汉模拟]如图所示，已知四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是菱形，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则二面角C­BF­D的平面角的正切值为________．
16.
如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AD＝3，AB＝1，则异面直线PB与CD所成角的大小为________；二面角P­CD­A的大小为________．
四、解答题
17.
如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
(1)证明：PB∥平面ACE；
(2)设PA＝1，AD＝3，直线PB与平面ABCD所成的角为45°，求四棱锥P­ABCD的体积．
18.
[2022·湖南长沙模拟]如图所示，直三棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．
(1)求证：平面AEF⊥平面B1BCC1.
(2)若二面角F­AE­C为45°，求三棱锥F­AEC的体积．
考点过关检测31 空间角
1．答案：B
解析：因为B 1C 1∥BC ，所以AC 与B 1C 1所成的角为∠ACB ＝45° 因为BC 1∥AD 1，所以AC 与BC 1所成的角为∠CAD 1＝60° 因为DD 1⊥平面ABCD ，所以AC 与DD 1所成的角为90°， 因为AC ⊥BD ，AC ⊥BB 1，BD ∩BB 1＝B ，所以AC ⊥平面BDD 1B 1， 因为B 1D ⊂平面BDD 1B 1，所以AC ⊥B 1D ，即AC 与B 1D 所成的角为90°.
2．答案：A 解析：
联接B 1D ，交AC 1于O 点，则O 点为B 1D 的中点，取CD 的中点E ，则OE ∥B 1C 异面直线AC 1与B 1C 所成角即直线AC 1与OE 所成角， 在△OAE 中，OA ＝
1＋1＋22＝1，OE ＝12B 1C ＝12×1＋2＝3
2
， AE ＝
12
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝52
则cos∠AOE ＝OA 2＋OE 2－AE 2
2OA ·OE
＝
1＋34－54
2×1×
32
＝3
6
故异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为
36
.
3．答案：B
解析：在直角梯形OO 1A 1A 中，∵B 为OA 的中点，OA ＝2，∴O 1A 1＝OB ＝AB ＝1， 连接A 1B ，易知四边形OO 1A 1B 为矩形，∴OO 1∥A 1B ， ∴∠BA 1C 为异面直线OO 1与A 1C 所成的角， 在Rt△AA 1B 中，AA 1＝2，AB ＝1，∴A 1B ＝3；
连接OC ，在Rt△OBC 中，由OB ＝1，OC ＝2得：BC ＝3； 在Rt△A 1BC 中，BC ＝A 1B ，∴∠BA 1C ＝45°. 4．答案：B 解析：
取AB 中点D ，连接B 1D ，CD ，
∵三棱柱ABC ­A 1B 1C 1为正三棱柱，∴△ABC 为等边三角形，AA 1⊥平面ABC ， ∵D 为AB 中点，CD ⊂平面ABC ，∴CD ⊥AB ，CD ⊥AA 1， 又AB ，AA 1⊂平面AA 1B 1B ，AB ∩AA 1＝A ，∴CD ⊥平面AA 1B 1B ， ∴B 1C 与平面AA 1B 1B 所成角为∠CB 1D ， 不妨设AB ＝a ，则AA 1＝BB 1＝2a ，∴CD ＝32a ，B 1D ＝172
a ， ∴tan∠CB 1D ＝CD B 1D ＝5117，即B 1C 与平面AA 1B 1B 所成角的正切值为51
17
. 5．答案：A
解析：设圆锥的底面圆半径为r ，圆锥母线为l ，由圆锥的结构特征知：cos60°＝r
l
，即l ＝2r ，
圆锥侧面积S ＝πrl ＝2πr 2
，则2πr 2
＝14π，r ＝7，l ＝27， 圆锥的高h ＝l 2
－r 2
＝
27
2
－7
2
＝21，
圆锥的体积为V ＝13πr 2h ＝13π·(7)2
·21＝7213π.
6．答案：B 解析：
设AP ＝AB ＝1，
以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，
P (0,0,1)，D (0,1,0)，C (1,1,0)，
PC →
＝(1,1，－1)，PD →
＝(0,1，－1)，
设平面PCD 的法向量m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨
⎪⎧
m ·PC →＝x ＋y －z ＝0
m ·PD →＝y －z ＝0
，取y ＝1，则z ＝1，得m ＝(0,1,1)，
平面ABP 的法向量n ＝(0,1,0)，
设平面ABP 与平面CDP 所成的锐二面角为θ， 则cos θ＝|m ·n ||m |·|n |＝12×1＝2
2.
7．答案：C
解析：因为AD ∥BC ，AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AD ∥平面PBC ，
又AD ⊂平面ADE ，平面ADE ∩平面PBC ＝l ，所以AD ∥l ，而AD ⊂平面PAD ，l ⊄平面PAD ，所以l ∥平面PAD ，A 正确；
PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AD ，所以PD ⊥l ，B 正确； 直线PA 与l 所成角即∠PAD ，在△PAD 中tan∠PAD ＝PD AD ＝2
1
＝2，C 错；
取PC 中点F ，因为E 是PB 中点，则EF ∥BC ，所以EF ∥AD ，EF 即为直线l ， 连接BD ，ABCD 是矩形，S △ABD ＝S △BDC ，则V P ­ABD ＝V P ­BDC ＝1
2
V P ­ABCD ，
EF 是△PBC 的中位线，所以S △PEF ＝14S △PBC ，所以V D ­PEF ＝14V D ­PBC ＝18
V P ­ABCD ， AE 是△PAB 的中线，S △PAE ＝S △ABE ，V D ­PAE ＝12V D ­PAB ＝14
V P ­ABCD ，
所以V P ­AEFD ＝V D ­PEF ＋V D ­PAE ＝38V P ­ABCD ，从而V ABCDEF ＝58V P ­ABCD ，所以V P ­ADFE V ABCDFE ＝3
5.D 正确．
8．答案：A
解析：由题意可得示意图，E 为BD 中点，∠AEC ＝60°，
∵ABCD 是菱形，AB ＝BD ＝2，
∴AE ＝CE ＝AC ＝3，即△AEC 为等边三角形，则A 到CE 的高为h ＝3
2，
又BD ⊥AE ，BD ⊥CE ，AE ∩CE ＝E ，有BD ⊥面ACE ，BD ⊂面BDC ， ∴面ACE ⊥面BDC ，且面ACE ∩面BDC ＝CE ，故h 为三棱锥A ­BCD 的高， ∵S △BDC ＝1
2BC ·DC ·sin60°＝3，
∴V A ­BCD ＝13h ·S △BDC ＝3
2.
9．答案：BCD
解析：∵S ­ABCD 是正四棱锥，∴四边形ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD ，AB ⊥BC ∴AC ＝AB 2
＋BC 2
＝2|AB |，∵AC ＝2, ∴AB ＝2，
∵正四棱锥S ­ABCD 的侧棱长是底面边长的3倍∴SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝6，故B 正确； ∵S ­ABCD 是正四棱锥，∴SO ⊥平面ABCD ，∴SO ⊥OA ，SO ⊥OB ，∵AC ⊥BD ， ∴OA ⊥OB ，
以O 为坐标原点，以OA 所在直线为x 轴，以OB 所在直线为y 轴，以OS 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O ­xyz .
在Rt△SAO 中，SO ⊥OA ，SA ＝6，OA ＝1， ∴SO ＝SA 2
－AO 2
＝5，故D 正确；
由题意A (1,0,0)，S (0,0，5)，C (－1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1
2，52
∴AE →＝⎝
⎛
⎭⎪⎫－1，12，52，CS →＝(1,0，5)．
∴cos〈AE →，CS →
〉＝AE →·CS →|AE →||CS →|＝
－1＋
525
2
×6＝
15
10
，∴异面直线AE 与SC 所成角的余弦值为
15
10
，故C 正确． 10．答案：AC 解析：
作正四棱台如图所示：
对于A ，过A 1作A 1H ⊥AB 于H ，过A 1作A 1M ⊥AC 于M ，所以A 1M ⊥平面ABCD ，AH ⊥MH ，
AM ＝A 1A 2－A 1M 2＝2，又因为AH ＝MH ，
AH ＝AM 2－MH 2＝1，所以A 1H ＝22－12＝3，AB ＝2AH ＋1＝3，
所以棱台的侧面积为4×
1＋3·3
2
＝83，所以A 正确；
对于B ，上底面面积S ′＝12
＝1，下底面面积S ＝32
＝9，
棱台的体积为V ＝13h (S ＋S ′·S ＋S ′)＝13×2×13＝132
3≠132，故B 错误；
对于C ，因为AM 为AA 1在底面的投影，所以∠A 1AM 为侧棱与底面所成角． cos∠A 1AM ＝
AM A 1A ＝22，则∠A 1AM ＝π
4
，所以C 正确； 对于D ，∠A 1HM 为侧面与底面所成锐二面角的平面角， cos∠A 1HM ＝
HM A 1H ＝13＝3
3
，所以D 错误． 11．答案：ABC 解析：
过C 作CE ⊥BD 于E ，在平面DBA 内过E 作BD 的垂线EG ，则∠CEG 为二面角C ­BD ­A 的平面角，如图，
平面CEG ⊥平面DBA ，过C 作CF ⊥EG 于F ，则CF ⊥平面DBA ，
在直角△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝1，CD ＝2，CE ＝BC ·CD BD ＝255
， 显然CF ≤CE ，当且仅当点E 与F 重合时取“＝”，即点C 到平面ABD 距离的最大值为CE ＝255
， 而S △DBA ＝12AB ·AD ＝1，则三棱锥C －BDA 的体积最大值为13CE ·S △DBA ＝2515
，A 正确； 当CF 取最大值255
时，CF ⊂平面BCD ，又CF ⊥平面DBA ，则平面BCD ⊥平面DBA ， 即二面角C ­BD ­A 为直二面角，三棱锥C ­BDA 的体积为2515
，B 正确； 取BD 中点O ，连接AO ，CO ，显然有AO ＝CO ＝12
BD ＝BO ＝DO ，于是得点A ，B ，C ，D 在以O 为球心，AO ＝52
为半径的球面上， 显然，无论二面角C ­BD ­A 如何变化，点A ，B ，C ，D 都在上述的球O 上，其表面积为5π，C 正确，D 不正确．
12．答案：ABD
解析：因为AB ＝2，BC ＝23，AC ＝4，所以AB 2＋BC 2＝AC 2，即AB ⊥BC ，
又因为PA ⊥平面ABC ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，设AP ＝a ，
根据等体积法V P ­ABC ＝V A ­PBC ，即13×12×2×23×a ＝13×12×23×a 2＋4×455
， 解得a ＝4，所以AP ＝a ＝4，故A 选项正确；
所以三棱锥P ­ABC 的外接球的半径与以BC ，BA ，AP 为邻边的长方体的外接球的半径相等，
所以三棱锥P ­ABC 的外接球的半径为22，
所以三棱锥P ­ABC 的外接球的表面积为32π，故B 选项正确；
过点B 作PA 的平行线BD ，则BD ⊥平面ABC ，
所以以点B 为坐标原点，BC ，BA ，BD 所在边分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则B (0,0,0)，C (23，0,0)，A (0,2,0)，P (0,2,4)，
所以AB →＝(0，－2,0)，PC →＝(23，－2，－4)，
所以cos 〈AB →，PC →〉＝AB →·PC →||AB →||
PC →＝42×42＝24，
所以直线AB 与直线PC 所成角的余弦值为
24，故C 选项错误； 因为BC →＝(23，0,0)，BP →＝(0,2,4)，
设平面PBC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·BP →＝0m ·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝－2z
，令z ＝1，所以m ＝(0，－2,1)，由于AB →＝(0，－2,0) 故设AB 与平面PBC 所成角为θ，
则sin θ＝|cos 〈m ，AB →〉|＝|AB →·m ||m ||AB →|＝42×5＝25
5.
所以AB 与平面PBC 所成角的正弦值为25
5，故D 选项正确．
13．答案：7
10
解析：如图所示，建立空间直角坐标系，
则A (2,0,0)，B (1，3，0)，M (32，3
2，2)，N (1,0,2)．
∴AN →＝(－1,0,2)，BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，－32，2，
∴cos〈AN →，BM →〉＝AN →
·BM →|AN →|·|BM →|＝－12＋4
5×5＝7
10.
14．答案：45°
解析：如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，有DD 1⊥平面ABCD ，
直线AD 是直线AD 1在平面ABCD 内的射影，
所以∠DAD 1为直线AD 1与平面ABCD 所成角，
在Rt△DAD 1中，AD ＝DD 1，所以∠DAD 1＝45°.
15．答案：233
解析：
如图所示，设AC 与BD 交于点O ，连接OF .
因为底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，O 为AC 的中点，
又点F 为PC 的中点，所以OF ∥AP ，
因为PA ⊥平面ABCD ，所以OF ⊥平面ABCD ，
以O 为坐标原点，OB ，OC ，OF 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系O ­xyz . 设PA ＝AD ＝AC ＝1，则BD ＝3，所以O (0,0,0)，
B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，
C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，BC →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，12，0， FB →＝⎝
⎛⎭⎪⎫32，0，－12，易知OC →为平面BDF 的一个法向量． 设平面BCF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BC →＝－32x ＋12y ＝0n ·FB →＝32x －12
z ＝0，
令x ＝1，可得平面BCF 的一个法向量为n ＝(1，3，3)， 所以cos 〈n ，OC →〉＝217，sin 〈n ，OC →〉＝277，所以tan 〈n ，OC →〉＝233
. 由题图知二面角C ­BF ­D 的平面角为锐角，
故二面角C ­BF ­D 的平面角的正切值为233
. 16．答案：60° 45°
解析：(1)因为AB ∥CD ，所以∠PBA 就是异面直线PB 与CD 所成的角或其补角， 因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，因为PA ＝3，AB ＝1，所以∠PBA ＝60°；
(2)因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD ，又CD ⊥AD ，PA ∩AD ＝A ，PA ，AD ⊂平面PAD ，
所以CD ⊥平面PAD ，所以CD ⊥PD ，所以∠PDA 就是二面角P ­CD ­A 的平面角， 因为PA ＝AD ＝3，所以∠PDA ＝45°.所以二面角P ­CD ­A 的大小为45°.
17．解析：
(1)连接BD 交AC 于点O ，连接OE .在△PBD 中，因为PE ＝DE ，BO ＝DO ，
所以PB ∥OE ，因为OE ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE ，则PB ∥平面AEC .
(2)因为PA ⊥平面ABCD ，所以∠PBA 就是直线PB 与平面ABCD 所成的角，所以∠PBA ＝45°，
又PA ＝1，AD ＝3，所以PA ＝1＝AB ，
所以四棱锥P ­ABCD 的体积V P ­ABCD ＝13×PA ×AB ×AD ＝13×1×1×3＝33
， 所以四棱锥P ­ABCD 的体积为33
. 18．解析：(1)证明：∵几何体是直棱柱，∴BB 1⊥底面ABC ，AE ⊂底面ABC ，∴AE ⊥BB 1， ∵直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，E 是BC 的中点，∴AE ⊥BC ， 又BC ∩BB 1＝B ，BC 、BB 1⊂平面B 1BCC 1，∴AE ⊥平面B 1BCC 1，
∵AE ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面B 1BCC 1；
(2)由(1)知，AE ⊥平面B 1BCC 1，则AE ⊥BC ，AE ⊥EF ，
可得∠FEC 为二面角F ­AE ­C 的平面角为45°，
在Rt△FCE 中，可得FC ＝EC ，
∵等边三角形ABC 的边长为2，∴AE ＝3，CE ＝CF ＝1，
则三棱锥F ­AEC 的体积V ＝13×12×1×3×1＝36
.。