暑假提升笔记-初二数学第7讲：轴对称（学生版）

第七讲：轴对称
1:轴对称概念
（1）轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。

（2）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

（3）轴对称和轴对称图形的区别和联系：
区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。

②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。

联系：①都沿某条直线对折，图形重合。

②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，
那么这两个图形成轴对称。

（4）线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

2. 轴对称的性质：
（1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

（2）关于某条直线成轴对称的两个图形是全等图形。

轴对称图形的性质：（轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

3. 线段的垂直平分线的性质及判定
（1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

如图①，若PC是线段AB的垂直平分线（AC＝BC，PC⊥AB），则PA＝PB
（2）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

如图②，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。

4. 尺规作图
（1）如何作轴对称图形
几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。

所以作轴对称图形的关键是作点关于直线的对称点
（2）作线段的垂直平分线
①分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于C、D两点，②
作直线CD。

CD就是线段AB的垂直平分线。

1.重点：①轴对称图形的性质；②线段垂直平分线的性质及判定；③关于坐标轴对称的点的
坐标特点。

2.难点：轴对称图形以及关于坐标轴对称的点的坐标特点。

例题1:如图1－3，ΔABC与ΔA'B'C'关于直线l对称，则∠B的度数为（）
图1－3
A．30°B．50°C．90°D．100°
解析：关于某条直线成轴对称的两个图形是全等图形
答案：D
例2.如图所示，C是线段AB的垂直平分线上的一点，垂足为D，则下列结论中正确的有（）
①AD＝BD；②AC＝BC；③∠A＝∠B④∠ACD＝∠BCD；⑤∠ADC＝∠BDC＝90°
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
解析：由垂直平分线的定义可以直接得出①和⑤；由垂直平分线的性质可得出②；由△ADC ≌△BDC可得到③和④。

答案：D
例题3:已知A（﹣4，1），那么A点关于直线y=﹣1对称的点的坐标为（）
A．（4，1）B．（﹣4，﹣1）C．（﹣4，﹣3）D．（﹣4，3）
解析：过A作A关于直线Y=﹣1的对称点B，根据A（﹣4，1），推出B的横坐标是﹣4，纵坐标是﹣1﹣2，求出即可．
答案：过A作A关于直线Y=﹣1的对称点B，如图：
∵A（﹣4，1），
∴B的横坐标是﹣4，纵坐标是﹣1﹣2=﹣3，
∴B的坐标是（﹣4，﹣3）．
故选C．
故选：C
例4.关于坐标轴对称的点的坐标特点
点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（_____，_____）；
点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（_____，_____）。

解析：关于X轴对称，X不变，Y变；关Y轴对称，Y不变，X变；
答案（x,-y） (-x,y)
例5.如图所示，已知线段AB，画出线段AB关于直线l的对称图形。

解析：如果图形是由直线、射线或线段组成时，只要画出图形中的特殊点（如线段的端点、角的顶点等）的对称点，然后连结对称点，就可以画出对称图形。

答案：
（1）画出点A关于直线l的对称点A'；
（2）画出点B关于直线l的对称点B'：
（3）连结A'B'，则线段A'B'即为所求。

例6.要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水（如图）。

修在河边什么地方，可使所用水管最短？
解析：在河岸l上找一点C，使AC＋BC最短，利用轴对称把A点或B点变换到l的另一侧，而不改变路径的总长度，从而利用“两点之间，线段最短”使问题得到解决。

答案：设张村为点A，李庄为点B，张村和李庄这一侧的河岸为直线l。

（1）作点B关于直线l的对称点，
（2）连结，交直线l于点C，点C就是所求的水泵站的位置。

（如图所示）
A档
1. 下列说法错误的是（）
A. 关于某直线对称的两个图形一定能完全重合
B. 全等的两个三角形一定关于某直线对称
C. 轴对称图形的对称轴至少有一条
D. 线段是轴对称图形
2. 轴对称图形的对称轴是（）
A. 直线
B. 线段
C. 射线
D. 以上都有可能
3. 下面各组点关于y轴对称的是（）
A. （0，10）与（0，－10）
B. （－3，－2）与（3，－2）
C. （－3，－2）与（3，2）
D. （－3，－2）与（－3，2）
4. 下列图形中，不是轴对称图形的是（）
A. 一条线段
B. 两条相交直线
C. 有公共端点的两条相等的线段
D. 有公共端点的两条不相等的线段
5. 如图，ΔABC与ΔA'B'C'关于直线l对称，则∠B的度数为（）
A. 30
B. 50
C. 90
D. 100°
6. 下列图形中，是轴对称图形的是（）
7. 从汽车的后视镜中看见某车车牌的后5位号码是，该车牌的后5位号码实际是__________。

8. 如图所示，是用笔尖扎重叠的纸得到成轴对称的图案，请根据图形写出：
（1）两组对应点__________和__________；
（2）两组对应线段__________和__________；
（3）两组对应角__________和__________。

9. 点A（－5，－6）与点B（5，－6）关于__________对称。

10. 画出下列各图形的所有对称轴。

11. 如图所示，作出△ABC关于直线l的对称三角形A'B'C'。

B档
12. 如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴，若∠AFC＋∠BCF
＝150°，则∠AFE＋∠BCD的大小是（）
A. 150
B. 300°
C. 210°
D. 330°
13. 如图，直线l1与直线l2相交，∠α＝60°，点P在∠α内（不在l1，l2上）。

小明用
下面的方法作P的对称点：先以l1为对称轴作点P关于l1的对称点P1，再以l2为对称关于l2的对称点P2，然后再以l1为对称轴作P2关于l1的对称点P3，以l2为对轴作P
1
关于l2的对称点P4，……，如此继续，得到一系列点P1，P2，P3，…，。

称轴作P
3
若与P重合，则n的最小值是（）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
14.已知点A（m－1，3）与点B（2，n＋1）关于x轴对称，则m＝__________，n＝__________。

15. （1）回答问题：①到线段两端点的距离相等的点在______上；②到角的两边距相等的
点在__________上。

（2）根据（1）中的结论作图。

如图所示，求作一点P，使PC＝PD，且使点P到∠AOB的两边的距离相等。

16. 如图所示，△ABC中，DE垂直平分线段AB，AE＝5cm，△ACD的周长为17cm，求△ABC
的周长。

C档
17. 观察下图中的图形，虚线是不是它们的对称轴？你是如何验证的？
18. 如图，草原上两个居民点A、B在河流l的同侧，一辆汽车从A出发到B，途中需到河
边加水，汽车在哪一点加水，可使行驶的路程最短？
1、点Ｍ（-2,1）关于X轴对称的点的坐标是（）
A．（-2，-1）B．（2,1）C．(2,-1) D．(1,-2)
2、如图，正方形地砖的图案是轴对称图形，该图形的对称轴有
A．1条B．2条C．4条D．8条
3、下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是【】
D．
A．B．
C．
4、观察字母A、E、H、O、T、W、X、Z，其中不是轴对称的字母是______________．
5.如图（1）．要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B
两镇供气．•泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线
最短？你可以在L上找几个点试一试，能发
1、如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y
轴上的一个动点且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，
点C的坐标是( )
A．(0，0) B．(0，1) C．(0，2) D．(0，3)
.
2、从所给出的四个选项中，选出适当的一个填入问号所在位置，使之呈现相同的特【】
D．
A．
B．C．
3、如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B
在M上的对应点为H，沿AH和DH剪下，这样剪得的三角形中（）
A．B．
C．D．
4
.如下图左，△ABO是关于x轴对称的轴对称图形，点A的坐标为（1，
﹣2），则点B的坐标为_________．
5.．请分别画出图1－7中各图的对称轴．
（1）正方形（2）正三角形（3）相交的两个圆
6．已知：如图2－4，∠ABC及两点M、N．
求作：点P，使得PM＝PN，且P点到∠ABC两边的距离相等．
作法：
7．已知：线段AB，并且A、B两点的坐标分别为（－2，1）和（2，3）．（1）在图4－1中分别画出线段AB关于x轴和y轴的对称线段A1B1及A2B2，并写出相应端点的坐标．
图4－1
（2）在图4－2中分别画出线段AB关于直线x＝－1和直线y＝4的对称线段A3B3及A4B4，并写出相应端点的坐标．
图4－2
8.实验与探究：
（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A'的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（－2，5）关于直线l的对称点B'、C'的位置，并写出它们的
坐标：B'_____、C'_____；
归纳与发现：
（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P'的坐标为_____ （不必证明）；
运用与拓广：
（3）已知两点D（1，－3）、E（－1，－4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．
课程顾问签字： 教学主管签字：。