2019高考数学一轮复习 课时规范练36 数学归纳法 理 新人教B版

课时规范练36 数学归纳法
基础巩固组
1.在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=n(2n+1)时,当n=1时的左边等于()
A.1
B.2
C.3
D.4
2.如果用数学归纳法证明:对于足够大的正整数n,总有2n>n3,那么验证不等式成立所取的第一个n 的最小值应该是()
A.1
B.9
C.10
D.n>10,且n∈N*
3.用数学归纳法证明1++…+(n∈N+)成立,其初始值至少应取()
A.7
B.8
C.9
D.10
4.某同学回答“用数学归纳法证明<n+1(n∈N+)”的过程如下:
证明:(1)当n=1时,显然命题是正确的.
(2)假设当n=k时,有<k+1,则当n=k+1
时,=(k+1)+1,所以当n=k+1时命题是正确的.由
(1)(2)可知对于n∈N*,命题都是正确的.以上证法是错误的,错误在于()
A.从k到k+1的推理过程没有使用归纳假设
B.归纳假设的写法不正确
C.从k到k+1的推理不严密
D.当n=1时,验证过程不具体
5.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,x n+y n能被x+y整除”的第二步是()
A.假设n=2k+1时正确,再推n=2k+3正确(k∈N+)
B.假设n=2k-1时正确,再推n=2k+1正确(k∈N+)
C.假设n=k时正确,再推n=k+1正确(k∈N+)
D.假设n≤k(k≥1)时正确,再推n=k+2时正确(k∈N+)
6.凸n多边形有f(n)条对角线,则凸(n+1)边形的对角线的条数f(n+1)为()
A.f(n)+n+1
B.f(n)+n
C.f(n)+n-1
D.f(n)+n-2
7.(2017河南郑州模拟)用数学归纳法证明不等式+…+的过程中,由n=k 推导n=k+1时,不等式的左边增加的式子是.
8.由下列不等式:1>,1+>1,1++…+,1++…+>2,……你能得到一个怎样的一般不等式?并加以证明.
〚导学号21500741〛9.平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,求证:这n条直线把平面分割成
(n2+n+2)个区域.
综合提升组
10.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:当f(k)≥k+1成立时,总能推出f(k+1)≥k+2成立,则下列命题总成立的是()
A.若f(1)<2成立,则f(10)<11成立
B.若f(3)≥4成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k+1成立
C.若f(2)<3成立,则f(1)≥2成立
D.若f(4)≥5成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k+1成立
11.在数列{a n}中,a1=,且S n=n(2n-1)a n,通过求a2,a3,a4,猜想a n的表达式为()
A. B.
C. D.
12.(2017广西南宁质检)用数学归纳法证明不等式:·…·.
〚导学号21500742〛
创新应用组
13.已知f(n)=1++…+(n∈N+),经计算得f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,则其一般结论为.
14.(2017山东济南模拟)已知函数f(x)=a ln x+(a∈R).
(1)当a=1时,求f(x)在[1,+∞)内的最小值;
(2)若f(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;
(3)求证:ln(n+1)>+…+(n∈N+).
参考答案
课时规范练36 数学归纳法
1.C在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=n(2n+1)时,当n=1时的左边=1+2=3.
2.C210=1 024>10
3.故选C.
3.B左边=1++…+=2-,
代入验证可知n的最小值是8.故选B.
4.A证明<(k+1)+1时进行了一般意义的放大,而没有使用归纳假设
<k+1.
5.B因为n为正奇数,根据数学归纳法证题的步骤,第二步应先假设第k个正奇数也成立,本题即假设n=2k-1正确,再推第k+1个正奇数,即n=2k+1正确.
6.C边数增加1,顶点也相应增加1个,它与它不相邻的(n-2)个顶点连接成对角线,原来的一条边也成为对角线,因此,对角线增加(n-1)条.故选C.
7.不等式的左边增加的式子是,故填
.
8.解一般结论:1++…+(n∈N+),证明如下:
(1)当n=1时,由题设条件知不等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N+)时不等式成立,
即1++…+.
则当n=k+1
时,1++…++…++…+
.
所以当n=k+1时不等式成立.
根据(1)和(2)可知不等式对任何n∈N+都成立.
9.证明 (1)当n=1时,一条直线把平面分成两个区域,又×(12+1+2)=2,
所以当n=1时命题成立.
(2)假设当n=k时,命题成立,即k条满足题意的直线把平面分割成了(k2+k+2)个区域.
则当n=k+1时,k+1条直线中的k条直线把平面分成了(k2+k+2)个区域,第k+1条直线被这k 条直线分成k+1段,每段把它们所在的区域分成了两块,因此增加了k+1个区域,所以k+1条直线把
平面分成了(k2+k+2)+k+1=[(k+1)2+(k+1)+2]个区域.
所以当n=k+1时命题也成立.
由(1)(2)知,对一切的n∈N+,此命题均成立.
10.D当f(k)≥k+1成立时,总能推出f(k+1)≥k+2成立,说明如果当k=n时,f(n)≥n+1成立,那么当k=n+1时,f(n+1)≥n+2也成立,所以如果当k=4时,f(4)≥5成立,那么当k≥4时,f(k)≥k+1也成立.
11.C由a1=,S n=n(2n-1)a n,得S2=2(2×2-1)a2,即a1+a2=6a2.
解得a2=,S3=3(2×3-1)a3,即+a3=15a3.
解得a3=.
同理可得a4=,故猜想a n的表达式为.
12.证明 (1)当n=1时,左式=,右式=,左式>右式,所以结论成立.
(2)假设当n=k(k>1,k∈N+)时结论成立,
即·…·,则当n=k+1时,
·…·.
要证当n=k+1时结论成立,只需证,
即证,
由均值不等式可得成立,故成立.
所以当n=k+1时,结论成立.
由(1)(2)可知n∈N+时,不等式·…·成立.
13.f(2n)>(n≥2,n∈N+)因为f(22)>,f(23)>,f(24)>,f(25)>,所以当n≥2,n∈N*时,有
f(2n)>.故填f(2n)>(n≥2,n∈N+).
14.(1)解当a=1时,f(x)=ln x+,定义域为(0,+∞).
因为f'(x)=>0,
所以f(x)在(0,+∞)内是增函数,所以f(x)在[1,+∞)内的最小值为f(1)=1.
(2)解f'(x)=,因为f(x)存在单调递减区间,所以f'(x)<0有正数解,即ax2+2(a-1)x+a<0有正数解.
①当a=0时,显然成立.
②当a<0时,h(x)=ax2+2(a-1)x+a是开口向下的抛物线,所以ax2+2(a-1)x+a<0有正数解.
③当a>0时,h(x)=ax2+2(a-1)x+a是开口向上的抛物线,即方程ax2+2(a-1)x+a=0有正根.
因为x1x2=1>0,所以方程ax2+2(a-1)x+a=0有两正根,
所以解得0<a<.
综合①②③知,a的取值范围是.
(3)证明①当n=1时,ln(n+1)=ln 2.
因为3ln 2=ln 8>1,所以ln 2>,即当n=1时,不等式成立.
②假设当n=k时,ln(k+1)>+…+成立.
则当n=k+1时,ln(n+1)=ln(k+2)=ln(k+1)+ln+…++ln.
根据(1)的结论可知,当x>1时,ln x+>1,即ln x>.
令x=,所以ln,则有ln(k+2)>+…+,即当n=k+1时,不等式也成立.由①②可知不等式成立.。