高一数学导学案教案-均值不等式

本讲我们探讨常用不等式中最重要的一个：均值不等式. 上一讲我们事实上就得到了均值不等式的二元形式：
,,2
a b
ab a b R ++≥∈ 算术-几何平均(AM -GM )不等式的n 元一般形式为：
设12,,,n a a a L 是非负实数，则1212.n n
n a a a a a a n
+++L L
注：利用更强的幂平均不等式可以得到如下的一系列的不等式，但是联赛甚至冬令营中一般来说只涉及到上述的算术几何平均不等式.
12
n
n a a a A n
+++=L , 12n n n G a a a =L ,
12111n n
n
H a a a =
+++L ,
222
12n n a a a Q n
+++L ,
则n n n n H G A Q ≤≤≤.
第5讲 均值不等式
5.1均值不等式
【例1】 对于任意n 个非负数12,,,n a a a ⋅⋅⋅，证明：
222
12121212111n n
n n n
a a a a a a n
a a a n n a a a ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤⋅⋅⋅≤≤++⋅⋅⋅+
【例2】 设12,,,n x x x L 都是正数，求证：2222
11212231
n n n n x x x x x x x x x x x -++++≥+++L L .
【例3】 设正数12,,n a a a L 满足121n a a a =L ，求证：12(2)(2)(2)3n n a a a +++≥L ．
【例4】 ⑴已知(0,)2
π
α∈，n N ∈，求证:21(21)sin (1sin )1sin n n n ααα++-<-；
⑵1n >，n N ∈，证明: 1122
n n n
n
n
n
C C C n -+++≥⋅L .
【例5】 若11
12n S n
=+
++L ,证明: ⑴1(1)n
n n n n S +<+；
⑵11
(1)n n n n
n S -
--<-．
【例6】 已知,,0a b c >，且
1111a b c a b c ++=+++，求证:22211112a b c
++≥.
【例7】 设12,,,n a a a L 是正实数，且满足121n a a a +++<L .证明：
()12121121211()(1)(1)(1)n n n n n a a a a a a a a a a a a n
+⎡⎤-+++⎣⎦≤+++---L L L L .
【例8】 设12(1,2,,),1i n x R i n x x x +∈=+++=L L ，.求证：
12231312111121n n n n x x x n
x x x x x x x x x n -+++≥
++++++++++++-L L L L .
【例9】 (2008年伊朗数学奥林匹克)
x 、y 、z ∈+
R ，3x y z ++=，求证：3333
3312()888927
x y z xy yz zx y z x ++≥++++++
【例10】 已知,,a b c R +
∈，且满足22
2
222
1
111a b c a b c ++=+++.求证：2abc ≤.
【演练1】设a,b,c 是正实数,求证:()()()abc b c a c a b a b c ≥+-+-+-.
实战演练
【演练2】已知a,b,c 为正数，证明：
2c a b a b c c
++≥+．
【演练3】已知,,,a b c d R +∈,且4a b c d +++=.求证:22224a bc b da c da d bc +++≤.
【演练4】已知,,0a b c >,且1a b c ++=,求证: 11127
(1)(1)(1)4
a b b c c a ++≥
+++.。