步步高学案导学设计20132014学年高中数学人教B版必修5第一章正弦定理及余弦定理习题课课件

∴△ABC 为等边三角形．
研一研·题型解法、解题更高效
习题课
题型三 利用正、余弦定理解关于三角形的综合问题
例 3 在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，
本
cos B＝35，且A→B·B→C＝－21.
课
(1)求△ABC 的面积；
时 栏
(2)若 a＝7，求角 C.
目 开
解 (1)∵A→B·B→C＝－21，
习题课
研一研·题型解法、解题更高效
习题课
方法二
a2＋c2－b2 右边＝b2＋2ca2c－a2·2ac
2bc ·2bc
本 课 时 栏 目
a2＋c2－b2
＝b2＋2ca2c－a2·a＝ccooss
B sin A·sin
A B
2bc ·b
开 关
＝csoins
A cos A·sin
BB＝ttaann
AB＝左边，
关
1
(1)S＝ 2aha (ha 表示 a 边上的高)；
(2)S＝12absin C＝
1 2acsin B
＝
1 2bcsin A
；
(3)S＝12r(a＋b＋c)(r 为三角形内切圆半径)．
试一试·扫描要点、根底更结实
习题课
1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－
b2＝ 3bc，sinC＝2 3sinB，则A等于
C 2 ，cos
A＋2 B＝ sin
C 2
.
试一试·扫描要点、根底更结实
2．正弦定理及其变形
a (1)sin
A＝sinb
B＝sinc
C＝
2R
.
本 课
(2)a＝ 2Rsin A ，b＝ 2Rsin B ，c＝2Rsin C .
时
a
b
c
栏 目 开
(3)sin A＝ 2R ，sin B＝ 2R ，sin C＝ 2R . (4)sin A∶sin B∶sin C＝ a∶b∶c .
本
例 1 在△ABC 中，求证：ttaann AB＝ab22＋＋cc22－－ba22.
课 时
sin A
栏 目
证明
方法一
因为左边＝csoins
BA＝ssiinn
Acos Bcos
B A
开 关
cos B
a2＋c2－b2
＝ab·b2＋2ca2c－a2＝ba22＋＋cc22－－ab22＝右边，
2bc
所以ttaann AB＝ba22＋＋cc22－－ab22.
设AB＝x，则3＝x2＋2－2·x· 2cosπ3⇒x＝
2＋ 2
6 .
试一试·扫描要点、根底更结实
设BC边上的高为h，
本 课
则12AB·ACsinA＝12·BC·h，
时 栏 目
即12x· 2·23＝12· 3h⇒h＝ 32＋1，故选D.
开 关
答案 D
习题课
研一研·题型解法、解题更高效
题型一 利用正、余弦定理证明三角恒等式
(A)
本 课
A．30°
B．60°
时
C．120°
D．150°
栏
目
解析 ∵sinC＝2 3sinB，
开
关
∴c＝2 3b，
∴cosA＝b2＋2cb2c－a2＝－
3bc＋c2 2bc
－ ＝
3bc＋2 2bc
3bc＝ 23，
∵A为△ABC的内角，
∴A＝30°，故选A.
试一试·扫描要点、根底更结实
习题课
2．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若c·cosB
A．4
B．3 C．2 D．1
时 栏 目 开
解析 依题意得，c＝2a，b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋(2a)2－ 2×a×2a×14＝4a2，
关
所以b＝c＝2a.sinB＝ 1－cos2B＝ 415，
又S△ABC＝12acsinB＝12×b2×b× 415，
所以b＝2，选C.
试一试·扫描要点、根底更结实
关
∴B→A·B→C＝21.
∴B→A·B→C＝|B→A|·|B→C|·cos B＝accos B＝21.
∴ac＝35，∵cos B＝35，∴sin B＝45. ∴S△ABC＝12acsin B＝12×35×45＝14.
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习题课
(2)ac＝35，a＝7，∴c＝5.
由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B＝32，
∴△ABC 是等边三角形．
研一研·题型解法、解题更高效
习题课
方法二 根据正弦定理， 2b＝a＋c 可转化为 2sin B＝sin A＋sin C.
又∵B＝60°，∴A＋C＝120°.
本 课
∴C＝120°－A，
时 栏
∴2sin 60°＝sin A＋sin(120°－A)，
目 开
整理得 sin(A＋30°)＝1，∴A＝60°，C＝60°.
＝b·cosC，且cosA＝23，则sinB等于
()
本
A．±
6 6
6 B. 6
课 时 栏 目
C．±
30 6
30 D. 6
解析 由c·cosB＝b·cosC，
开 关
结合正弦定理得，sinCcosB＝sinBcosC，
故sin(B－C)＝0，易知B＝C，故b＝c.
试一试·扫描要点、根底更结实
因为cosA＝23，
关
习题课
试一试·扫描要点、根底更结实
习题课
3．余弦定理及其推论
(1)a2＝ b2＋c2－2bccos A .
b2＋c2－a2
(2)cos A＝ 2bc
.
本 课
(3)在△ABC 中，c2＝a2＋b2⇔C 为 直角 ；c2>a2＋b2⇔C
时 栏
为 钝角 ；c2<a2＋b2⇔C 为 锐角 ．
目 开
4．三角形常用面积公式
本
所以由余弦定理得3a2＝2b2，
课
时 栏
再由余弦定理得cosB＝ 66，
目 开 关
故sinB＝
30 6.
答案 D
习题课
试一试·扫描要点、根底更结实
习题课
3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若cosB
＝14，ssiinn AC＝2，且S△ABC＝ 415，则b等于
(C )
本 课
关
∴△ABC 是等边三角形．
小结 本题中边的大小没有明确给出，而是通过一个关系式
来确定的，可以考虑利用正弦定理将边的关系转化为角的关
系，也可以利用余弦定理将边、角关系转化为边的关系来判
断．
研一研·题型解法、解题更高效
习题课
跟踪训练 2 在△ABC 中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
且 sin A＝2sin Bcos C，试确定△ABC 的形状．
本 课 时
∴b＝4 2.由正弦定理：sinc C＝sinb B.
栏 目 开
∴sin
C＝bcsin
B＝4
5
2×45＝
2 2.
关
∵c<b 且 B 为锐角，∴C 一定是锐角．∴C＝45°.
小结 这是一道向量与正、余弦定理的综合题，解题的关键 是化去向量的“伪装”，找到三角形的边角关系．
研一研·题型解法、解题更高效
本 课
由 cos B＝34，可得 ca＝2，即 b2＝2.
时 栏
由余弦定理 b2＝a2＋c2－2ac·cos B，
目
得 a2＋c2＝b2＋2ac·cos B＝5，
开
关
∴(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝5＋4＝9，∴a＋c＝3.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
习题课
本 1．在△ABC 中，若 2cos Bsin A＝sin C，则△ABC 的形状一
A A.
本 课 时 栏 目 开
证明
方法一
a2＋c2－b2 左边＝a2＋2ba2c－c2＝bc((aa22＋＋bc22－－bc22))，
2ab
关
右边＝bc－－bc··bb22＋＋22ccbb22cc－－aa22＝bc((aa22＋＋bc22－－bc22))，
∴等式成立．
研一研·题型解法、解题更高效
本
解 由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
本
得 b2＋2bc＋c2－a2＝3bc，
课 时
即 a2＝b2＋c2－bc，
栏 目 开
∴cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2bbcc＝12，
关
∴A＝3π.又 sin A＝2sin Bcos C.
∴a＝2b·a2＋2ba2b－c2＝a2＋ba2－c2，
∴b2＝c2，b＝c，
A．△ABC 中，a＝7，b＝14，A＝30°，有两解
本
B．△ABC 中，a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
课
C．△ABC 中，a＝6，b＝9，A＝45°，有两解
时
栏
D．△ABC 中，b＝9，c＝10，B＝60°，无解
目
开
解析 A：a＝bsin A，有一解；
关
B：A>90°，a>b，有一解；
C：a<bsin A，无解；
习题课
4．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，a＝ 3，b
＝ 2，且 1＋2cos(B＋C)＝0，则 BC 边上的高为 ( )
A. 3－1
B. 3＋1
本
3－13＋1课 时 Nhomakorabea栏C. 2
D. 2
解析 由题意知，1＋2cos(B＋C)＝0⇒1－2cosA＝0⇒cosA＝
目 开 关
12⇒A＝π3.
本
课
(4)已知三角形的三边，解三角形．
时
栏
此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角，再用正弦定
目 开
理或余弦定理求出另一个角，最后用三角形内角和定理，求出
关
第三个角．
要解三角形，必须已知三角形的一边的长．若已知条件中一条
边的长也不给出，三角形可以是任意的，因此无法求解.
试一试·扫描要点、根底更结实
步步高学案导学设计20132014学 年高中数学人教B版必修5第一章 正弦定理及余弦定理习题课课件
习题课
学习要求
本
课
1．进一步熟练掌握正、余弦定理在解决各类三角形中的应用．
时
栏
2．提高对正、余弦定理应用范围的认识．
目 开
3．初步应用正、余弦定理解决一些和三角、向量有关的综合问
关
题．
习题课
学法指导
方法二
右边＝2Rsin 2Rsin
C－2Rsin B－2Rsin
B·cos C·cos
A A
课 时 栏 目
＝ssiinn((AA＋＋CB))－－ssiinn
Bcos Ccos
A A
开 关
＝ssiinn
Acos Acos
CB＝ccooss
BC= 左边．
∴等式成立．
习题课
研一研·题型解法、解题更高效
习题课
习题课
本 课 时 栏
1．在△ABC 中，边 a、b、c 所对的角分别为 A、B、C，则有：
(1)A＋B＋C＝π ，A＋2 B＝__π2_－__C_2__.
目 开
(2)sin(A＋B)＝ sin C ，cos(A＋B)＝ －cos C ，
关
tan(A＋B)＝－tan C.
(3)sin
A＋2 B＝cos
习题课
跟踪训练 3 在△ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、
b、c，已知 b2＝ac 且 cos B＝34.
(1)求tan1 A＋tan1 C的值；
本 课 时 栏
(2)设B→A·B→C＝32，求 a＋c 的值． 解 (1)由 cos B＝34，
目 开 关
得 sin B＝
1－342＝
7 4.
所以ttaann AB＝ba22＋＋cc22－－ab22. 小结 证明三角恒等式关键是消除等号两端三角函数式的差 异．形式上一般有：左⇒右；右⇒左或左⇒中⇐右三种．
研一研·题型解法、解题更高效
习题课
跟踪训练 1 在△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对
边，求证：ccooss
BC＝cb－－bcccooss
理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定
理求第三边．若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和
定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．
习题课
(3)已知两边和它们的夹角，解三角形．
此种情况的基本解法是先用余弦定理求第三边，再用正弦定理
或余弦定理求另一角，最后用三角形内角和定理求第三个角．
课
定是
(C)
时
栏
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
目 开
C．等腰三角形
D．等边三角形
关
解析 ∵2cos Bsin A＝sin C＝sin(A＋B)，
∴sin Acos B－cos Asin B＝0，
即 sin(A－B)＝0，∴A＝B.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
习题课
2.下列判断中正确的是
( B)
解三角形的问题可以分为以下四类：
(1)已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形．
本 此种情况的基本解法是先由正弦定理求出另一条边所对的角，用
课 时
三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，
栏 目
注意判断解的个数．
开 关
(2)已知三角形的两角和任一边，解三角形．
此种情况的基本解法是若所给边是已知角的对边时，可由正弦定
题型二 利用正、余弦定理判断三角形的形状
例 2 在△ABC 中，若 B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC 的
本
形状．
课 时
解 方法一 根据余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B.
栏 目
∵B＝60°，2b＝a＋c，
开 关
∴a＋2 c2＝a2＋c2－2accos 60°，
整理得(a－c)2＝0，∴a＝c.
由 b2＝ac 及正弦定理得 sin2B＝sin Asin C.
于是tan1
A＋tan1
C＝csoins
AA＋csoins
C C
＝sin
Ccos A＋cos Csin sin Asin C
A＝sins(iAn＋2BC)
＝ssiinn2BB＝sin1
B＝4
7
7 .
研一研·题型解法、解题更高效
习题课
(2)由B→A·B→C＝32得 ca·cos B＝32，