湖南省株洲市醴陵二中2024届数学高一下期末调研模拟试题含解析

湖南省株洲市醴陵二中2024届数学高一下期末调研模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数()()2f x sin x ωϕ+＝（0ω＞，2
2
π
π
ϕ-<<
）的部分图象如图所示，则ωϕ
，的值分别是（ ）
A ．2,3
π
-
B ．2,6
π
-
C ．4,6
π
-
D ．4,
3
π
2．下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（ ） A ．2
1y x =+
B ．1y x
=
C ．22x x y -=+
D ．e x y =
3．设P 是△ABC 所在平面内的一点，且2CP PA =，则△PAB 与△PBC 的面积之比是（ ） A ．
13
B ．
12
C ．
23
D ．
34
4．若实数,x y 满足约束条件4312,1,33,x y y x x y +≤⎧⎪
≤+⎨⎪-≤⎩
则2z x y =-的最大值与最小值之和为
（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
5．在ABC ∆中，,a b 分别是角,A B 的对边，1,2,30a b A ===︒,则角B 为( )
A ．45︒
B ．90︒
C ．135︒
D ．45︒或135︒
6．为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，
则分段的间隔为（ ） A ．50
B ．40
C ．25
D ．20
7．一个正四棱锥的底面边长为2，高为3，则该正四棱锥的全面积为 A ．8 B ．12
C ．16
D ．20
8．设
满足约束条件
若目标函数
的最大值为8，则
的最小值为（ ） A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
9．从甲、乙、丙、丁四人中随机选出2人参加志愿活动，则甲被选中的概率为（ ） A ．
1
4
B ．
13
C ．
12
D ．
23
10．如图，已知矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，该矩形所在的平面内一点P 满足
1CP =，记1I AB AP =⋅，2I AC AP =⋅，3I AD AP =⋅，则（ ）
A ．存在点P ，使得12I I =
B ．存在点P ，使得13I I =
C ．对任意的点P ，有21I I >
D ．对任意的点P ，有31I I >
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．4cos50tan40-=______．
12．若0x ≤，2M x x =+，42N x =-，则M 与N 的大小关系为___________． 13．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5 ，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是
14．据监测，在海滨某城市附近的海面有一台风，台风中心位于城市A 的南偏东30°方向，距离城市3km 的海面P 处，并以20/km h 的速度向北偏西60°方向移动（如图示）.如果台风侵袭范围为圆形区域，半径60km ，台风移动的方向与速度不变，那么该城市受台风侵袭的时长为_______小时.
15．在扇形中，如果圆心角所对弧长等于半径，那么这个圆心角的弧度数为______.
16．数列{}n a 中，已知*
41322,n n n a n N =-+∈•，50为第________项.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4n n S a +=，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）已知(
)*
23n c n n N
=+∈，记log n
n C n d
c a =+（0C >且1C ≠），是否存在这
样的常数C ，使得数列{}n d 是常数列，若存在，求出C 的值；若不存在，请说明理由； （3）若数列{}n b ，对于任意的正整数n ，均有
1213211222n
n n n n n b a b a b a b a --+⎛⎫+++⋅⋅⋅+=-
⎪⎝⎭
成立，求证：数列{}n b 是等差数列.
18．设{}n a 是等差数列，且123ln 2,5ln 2a a a =+=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求12n a a a e e e ++
+.
19．已知关于x 的不等式(
)2
()0x m x m --<.
（1）当2m =时，求不等式的解集；
（2）当,0m R m ∈≠且m ≠1时，求不等式的解集.
20．某校进行学业水平模拟测试，随机抽取了100名学生的数学成绩（满分100分），绘制频率分布直方图，成绩不．
低于80分的评定为“优秀”．
（1）从该校随机选取一名学生，其数学成绩评定为“优秀”的概率； （2）估计该校数学平均分（同一组数据用该组区间的中点值作代表）． 21．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且sin cos 3c B b C ==. （1）求边长b ； （2）若ABC ∆的面积为
21
2
，求边长c . 参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、A 【解题分析】 利用
115212122T πππ=-=，求出ω，再利用5212
f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，求出ϕ即可 【题目详解】
115212122T πππ=-=，∴2T w
ππ==，2ω∴=，则有 ()()22f x sin x ϕ+＝，代入512
x π
=得
552221212f sin ππϕ⎛⎫⎛⎫⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝，则有516sin πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
， 52,()62
k k z ππ
ϕπ+=+∈，
2
3
k π
ϕπ=-
+，又2
2
π
π
ϕ-
<<
，
3
ϕπ
∴=-
故答案选A 【题目点拨】
本题考查三角函数的图像问题，依次求出ω和ϕ即可，属于简单题 2、D 【解题分析】
利用奇函数偶函数的判定方法逐一判断得解. 【题目详解】
A.函数的定义域为R,关于原点对称，2()1()f x x f x -=+=,所以函数是偶函数；
B.函数的定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称. 1
()()f x f x x
-=-=-,所以函数是奇函数；
C.函数的定义域为R,关于原点对称，()22()x x f x f x --=+=,所以函数是偶函数；
D. 函数的定义域为R,关于原点对称，()()x f x e f x --=≠，()()x f x e f x --=≠-，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数. 故选D 【题目点拨】
本题主要考查函数的奇偶性的判断，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 3、B 【解题分析】
试题分析：依题意，得C 2P =PA ，设点P 到C A 的距离为h ，所以∆PAB 与C ∆PB 的面积之比是
C
1
121C 2C 2
h
S S h ∆PAB ∆PB PA⋅PA ===P P ⋅，故选B ．
考点：三角形的面积． 4、A 【解题分析】
首先根据不等式组画出对应的可行域，再分别计算出顶点的坐标，带入目标函数求出相应的值，即可找到最大值和最小值.
【题目详解】
不等式组对应的可行域如图所示：
943127
116
7x x y y x y ⎧=
⎪+=⎧⎪⇒⎨
⎨=+⎩⎪=⎪⎩
，916(,)77C . 33312
x y x y x y -==-⎧⎧⇒⎨
⎨=+=-⎩⎩，(3,2)A --. 18162
777
C z =
-=，6B z =，62=4A z =-+-. max 6z =，min 4z =-， max min 642z z +=-=.
故选：A 【题目点拨】
本题主要考查线性规划，根据不等式组画出可行域为解题的关键，属于简单题. 5、D 【解题分析】
由正弦定理，可得sin 2
sin 2
b A B a ==
，即可求解B 的大小，得到答案． 【题目详解】
在ABC ∆中，因为1,2,30a b A ==
=︒，
由正弦定理，可得sin 2
sin 2302
b A B a =
==
， 又由a b <，且(0,180)B ∈，所以45B =︒或135︒，故选D ． 【题目点拨】
本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟练利用正弦定理，求得sin B的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
6、C
【解题分析】
试题分析：由题意知，分段间隔为1000
25
40
=，故选C.
考点：本题考查系统抽样的定义，属于中等题.
7、B
【解题分析】
先求侧面三角形的斜高，再求该正四棱锥的全面积. 【题目详解】
由题得侧面三角形的斜高为22
3+1=2，
所以该四棱锥的全面积为21
2+422=12
2
⋅⋅⋅.
故选B
【题目点拨】
本题主要考查几何体的边长的计算和全面积的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
8、B
【解题分析】
画出不等式组对应的平面区域，平移动直线至时有最大值8，再利用基本不等式可求的最小值.
【题目详解】
原不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，
当直线过直线与直线的交点时，目标函数取得最大值8，即，
即，所以，当且仅当时，等号成立.所以的最小值为4.故选：B
【题目点拨】
二元一次不等式组的条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如表示动直线的横截距的三倍，而则表示动点与的连线的斜率．应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.
9、C
【解题分析】
分析：用列举法得出甲、乙、丙、丁四人中随机选出2人参加志愿活动的事件数，从而可求甲被选中的概率.
详解：从甲、乙、丙、丁四人中随机选出2人参加志愿活动，
包括：甲乙；甲丙；甲丁；乙丙；乙丁；丙丁6种情况，
∴甲被选中的概率为31 62 =.
故选C.
点睛：本题考查用列举法求基本事件的概率，解题的关键是确定基本事件，属于基础题.
10、C
【解题分析】
以C为原点，以,
CD CB所在直线为x轴、y轴建立坐标系，则
()()3,2,0,2,A B ---()3,0,C -()()()3,0,3,2,0,2AB AC AD ===，
1CP =，
且P 在矩形内，∴可设()3cos ,2P sin ααπαπ⎛⎫
<<
⎪⎝⎭
，()cos 3,2AP sin αα=++，13cos 9I AB AP α=⋅=+，23cos 213I AC AP sin αα=⋅=++，324I sin α=+，
2121240,I I sin I I α∴-=+>>，A 错误，
C 正确，
()3152350I I sin sin αααϕ-=-+-=-+<，31I I <， B 错误，D 错误，
故选C.
【方法点睛】本题主要考查平面向量数量积公式的坐标表示，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是几何形式，cos a b a b θ⋅=，二是坐标形式，
1212a b x x y y ⋅=+（求最值问题与求范围问题往往运用坐标形式），主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cos a b a b
θ=
（此时a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投
影，a 在b 上的投影是a b b
⋅；（3）,a
b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb + 的模
（平方后需求a b ⋅）.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11【解题分析】
4sin 40
cos 40sin 40
4cos50
tan 40cos 40
--=
2cos10sin 30cos10sin10cos30
cos 40
--=
,
1cos10sin1022cos 40
⎫-⎪
⎝
⎭=
40
340
=
=.
考点：三角函数诱导公式、切割化弦思想. 12、M N >
【解题分析】
根据自变量的取值范围，利用作差法即可比较大小. 【题目详解】
2M x x =+，42N x =-，0x ≤，
所以()
()2
42M N x x x -=+--
232x x =-+
()()12x x =--
当0x ≤时，()()120x x --> 所以0M N ->， 即M N >， 故答案为：M N >. 【题目点拨】
本题考查了作差法比较整式的大小，属于基础题. 13、50π 【解题分析】
利用长方体的体对角线是长方体外接球的直径,求出球的半径，从而可得结果. 【题目详解】
本题主要考查空间几何体的表面积与体积． 长方体的体对角线是长方体外接球的直径, 设球的半径为R ，则2
2
2
2
(2)34550R =++=,
可得2
R =
，球的表面积2450R ππ= 故答案为50π. 【题目点拨】
本题主要考查长方体与球的几何性质，以及球的表面积公式，属于基础题. 14、1 【解题分析】
设台风移动M 处的时间为th ，则|PM |＝20t ，利用余弦定理求得AM ，而该城市受台风侵袭等价于AM ≤60，解此不等式可得． 【题目详解】
如图：设台风移动M 处的时间为th ，则|PM |＝20t ，
依题意可得603030APM ∠︒-︒=︒＝，
在三角形APM 中，由余弦定理可得：
22222cos30108002003600AM PA PM PA PM t t +⋅⋅⋅︒=---＝
依题意该城市受台风侵袭等价于AM ≤60，即AM 2≤602，
化简得：2918036t t t +≤⇒≤≤-，
所以该城市受台风侵袭的时间为6﹣1＝1小时．
故答案为：1．
【题目点拨】
本题考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力.
15、1
【解题分析】
根据弧长公式求解
【题目详解】
因为圆心角所对弧长等于半径，所以1l r r αα==∴=
【题目点拨】
本题考查弧长公式，考查基本求解能力，属基础题
16、4
【解题分析】
方程变为4132-48=0n n -•，设2n x =，解关于x 的二次方程可求得。

【题目详解】
*41322,n n n a n N =-+∈•，则5041322n n =-+•，即4132-48=0n n -• 设2n x =，则213480x x --=，有16x =或3x =-
取16x =得216n =，4n =，所以是第4项。

【题目点拨】
发现242n n =（）
，原方程可通过换元，变为关于x 的一个二次方程。

对于指数结构242n n =（），293n n =（），2255n n =（）
等，都可以通过换元变为二次形式研究。

三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）()2*2
n n a n N -=∈（2
）C =3）见解析
【解题分析】 （1）根据和项与通项关系得112
n n a a -=，再根据等比数列定义与通项公式求解（2）先化简n d ，再根据恒成立思想求C 的值（3）根据和项得
12132121124n n n n n n b a b a b a b a ---+⎛⎫+++⋅⋅⋅+=- ⎪⎝⎭，再作差得388n n b =--，最后根据等差数列定义证明.
【题目详解】
（1）114a a =-，所以12a =，
由4n n S a +=得2n ≥时，114n n S a --+=，
两式相减得，12n n a a -=，112
n n a a -=， 数列{}n a 是以2为首项，公比为
12
的等比数列，所以()2*2n n a n N -=∈. （2）若数列{}n d 是常数列， ()log 232log 2n n C n C d c a n n =+=++-
()232log 2log 22log 232log 2C C C C n n n =++-=-++为常数.
只有2log 20C -=
，解得C =
此时7n d =. （3）1213211222n
n n n n n b a b a b a b a --+⎛⎫+++⋅⋅⋅+=- ⎪⎝⎭①
1n =，1113122b a =-=-，其中12a =，所以112
b =-， 当2n ≥时，1112233111122
n n n n n n b a b a b a b a -----+⎛⎫+++⋅⋅⋅+=- ⎪⎝⎭② ②式两边同时乘以12得，12132121124n n n n n n b a b a b a b a ---+⎛⎫+++⋅⋅⋅+=- ⎪⎝⎭
③ ①式减去③得，134n n b a --=，所以388
n n b =--， 因为118n n b b +-=-，
所以数列{}n b 是以12-为首项，公差为18-的等差数列. 【题目点拨】
本题考查利用和项求通项、等差数列定义以及利用恒成立思想求参数，考查基本分析论证与求解能力，属中档题
18、（I ）ln 2n ；（II ）122n +-.
【解题分析】
（I ）设公差为d ，根据题意可列关于1,a d 的方程组,求解1,a d ，代入通项公式可得；（II ）由（I ）可得2n a n e =，进而可利用等比数列求和公式进行求解.
【题目详解】
（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，
∵235ln2a a +=，
∴1235ln2a d +=，
又1ln2a =，∴ln2d =.
∴()11ln2n a a n d n =+-=.
（II ）由（I ）知ln2n a n =，
∵2ln 2=2n n a nln n e e e ==，
∴{}n
a e 是以2为首项，2为公比的等比数列. ∴212ln2ln2ln2n n a a a e e e e e e +++=+++
2=222n +++ 1=22n +-.
∴12n a a a e e e +++ 1=22n +-
点睛：等差数列的通项公式及前n 项和共涉及五个基本量1,,,,n n a a d n S ，知道其中三个可求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想.
19、（1）{}|24x x <<；（2）当01m <<时，解集为{}
2|x m x m <<；当1m 或0m <时，解集为{}2|x m x m
<<
【解题分析】 （1）当2m =时，不等式是一个不含参的二次不等式，分解因式，即可求得； （2）对参数m 进行分类讨论，从而确定不等式的解集.
【题目详解】
（1）当2m =时，原不等式为(2)(4)0x x --<
故其解集为{}|24;x x <<
（2）令2()()0x m x m --=则方程两根为2x m x m ==或.
因为,0,1,m R m m ∈≠≠所以
①当2m m >即01m <<时，解集为{}2|x m x m <<；
②当2m m <即1m 或0m <时，解集为{
}2|x m x m <<. 综上可得：①当2m m >即01m <<时，解集为{}2
|x m x m <<； ②当2m m <即1m 或0m <时，解集为{}2|x m x m
<<. 【题目点拨】
本题考查不含参二次不等式的求解，以及含参不等式的求解，属基础题.
20、（1）0.35；（2）该校数学平均分为76.5.
【解题分析】
（1）计算后两个矩形的面积之和，可得出结果；
（2）将每个矩形底边中点值乘以相应矩形的面积，再将这些积相加可得出该校数学平均分.
【题目详解】
（1）从该校随机选取一名学生，成绩不．低于80分的评定为“优秀”的频率为
()0.0250.010100.35+⨯=，
所以，数学成绩评定为“优秀”的概率为0.35；
（2）估计该校数学平均分
()550.005650.020750.040850.025950.011076.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．
【题目点拨】
本题考查频率分布直方图频率和平均数的计算，解题时要熟悉频率和平均数的计算原则，考查计算能力，属于基础题.
21、（1）（2）5.
【解题分析】
试题分析：本题主要考查正弦定理、余弦定理、特殊角的三角函数值、三角形面积公式等基础知识，同时考查考生的分析问题解决问题的能力和运算求解能力. 第一问，利用正弦定理将边换成角，消去sin B ，解出角C ，再利用cos 3b C =解出边b 的长；第二问，利用三角形面积公式1sin 2
S ac B =，可直接解出a 边的值，再利用余弦定理2222cos c a b ab C =+-解出边c 的长.
试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得sin sin sin cos C B B C =，
又sin 0B ≠，所以sin cos C C =，045C =．
因为cos 3b C =，所以b =． …6分 （Ⅱ）因为121sin 22
S ac B ==，sin 3c B =，所以7a =． 据余弦定理可得2222cos 25c a b ab C =+-=，所以5c =． …12分 考点：正弦定理、余弦定理、特殊角的三角函数值、三角形面积公式.。