太平区第三中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

太平区第三中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 在二项式的展开式中，含x 4的项的系数是（ ）A ．﹣10
B ．10
C ．﹣5
D ．5
2． 设,,a b c R ∈，且a b >，则（ ）
A ．ac bc >
B ．
11a b
<
C ．22a b >
D ．33
a b >3． 若直线：圆：交于两点，则弦长
L 047)1()12(=--+++m y m x m C 25)2()1(2
2=-+-y x B A ,的最小值为（ ）
||AB A ．
B ．
C ．
D ．5854525
4． 若函数f （x ）=3﹣|x ﹣1|+m 的图象与x 轴没有交点，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．m ≥0或m ＜﹣1
B ．m ＞0或m ＜﹣1
C ．m ＞1或m ≤0
D ．m ＞1或m ＜0
5． 已知抛物线的焦点为，，点是抛物线上的动点，则当的值最小时，2
4y x =F (1,0)
A -P ||
||
PF
PA PAF ∆的
面积为（ ）
B. C. D. 2
4
【命题意图】本题考查抛物线的概念与几何性质，考查学生逻辑推理能力和基本运算能力.6． 已知函数f （x ）=a x +b （a ＞0且a ≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=（ ）
A ．﹣
B ．﹣
C ．﹣
D ．﹣或﹣7． 函数y=
的图象大致为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 已知曲线的焦点为，过点的直线与曲线交于两点，且，则2
:4C y x =F F C ,P Q 20FP FQ +=u u u
r u u u r r
OPQ
∆
的面积等于（ ）
A ． B
．C D
9． 若函数f （x ）=﹣2x 3+ax 2+1存在唯一的零点，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．[0，+∞）
B ．[0，3]
C ．（﹣3，0]
D ．（﹣3，+∞）
10．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且c=2a ，则cosB=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
11．下列关系正确的是（ ）
A ．1∉{0，1}
B ．1∈{0，1}
C ．1⊆{0，1}
D ．{1}∈{0，1}　
12．函数y=sin2x+cos2x 的图象，可由函数y=sin2x ﹣cos2x 的图象（ ）
A ．向左平移个单位得到
B ．向右平移个单位得到
C ．向左平移
个单位得到D ．向左右平移
个单位得到
二、填空题
13．设数列{a n }满足a 1=1，且a n+1﹣a n =n+1（n ∈N *），则数列{}的前10项的和为 ．
14．设函数f （x ）=
，则f （f （﹣2））的值为 ．
15．一个圆柱和一个圆锥的母线相等，底面半径也相等，则侧面积之比是 ．
16．若函数f （x ）=x 2﹣（2a ﹣1）x+a+1是区间（1，2）上的单调函数，则实数a 的取值范围是 ．17．已知一组数据，，，，的方差是2，另一组数据，，，，（）1x 2x 3x 4x 5x 1ax 2ax 3ax 4ax 5ax 0a >
的标准差是，则 ．
a =18．一个总体分为A ，B ，C 三层，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为15的样本，若B 层中每个个体被
抽到的概率都为，则总体的个数为 ．
三、解答题
19．如图所示，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于E 点，F ，G 分别为AD ，BC 的中点，AB=2，∠DAB=60°，沿对角线BD 将△ABD 折起，使得AC=．
（1）求证：平面ABD ⊥平面BCD ；（2）求二面角F ﹣DG ﹣C 的余弦值．
20．已知函数（）．()()x
f x x k e =-k R ∈（1）求的单调区间和极值；()f x （2）求在上的最小值．
()f x []1,2x ∈
（3）设，若对及有恒成立，求实数的取值范围．
()()'()g x f x f x =+35,22
k ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦
[]0,1x ∀∈()g x λ≥λ21．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线AD 交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F ．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线．（2）若
，求
的值．
22．已知函数f （x ）=ax 2+2x ﹣lnx （a ∈R ）．（Ⅰ）若a=4，求函数f （x ）的极值；
（Ⅱ）若f ′（x ）在（0，1）有唯一的零点x 0，求a 的取值范围；
（Ⅲ）若a ∈（﹣，0），设g （x ）=a （1﹣x ）2﹣2x ﹣1﹣ln （1﹣x ），求证：g （x ）在（0，1）内有唯一的零点x 1，且对（Ⅱ）中的x 0，满足x 0+x 1＞1．
23．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲1111]
如图，点为圆上一点，为圆的切线，为圆的直径，.
C O CP CE 3CP =（1）若交圆于点，，求的长；PE O F 16
5
EF =
CE （2）若连接并延长交圆于两点，于，求的长.
OP O ,A B CD OP ⊥D CD
24．一个圆柱形圆木的底面半径为1m ，长为10m ，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分，现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD （如图所示，其中O 为圆心，C ，D 在半圆上），设∠BOC=θ，直四棱柱木梁的体积为V （单位：m 3），侧面积为S （单位：m 2）．（Ⅰ）分别求V 与S 关于θ的函数表达式；（Ⅱ）求侧面积S 的最大值；（Ⅲ）求θ的值，使体积V 最大．
太平区第三中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1． 【答案】B 【解析】解：对于，
对于10﹣3r=4，∴r=2，
则x 4的项的系数是C 52（﹣1）2=10故选项为B
【点评】二项展开式的通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．　
2． 【答案】D 【
解
析
】
考
点：不等式的恒等变换.3． 【答案】B 【解析】
试题分析：直线，直线过定点，解得定点，当点
:L ()()0472=-++-+y x y x m ⎩
⎨⎧=-+=-+040
72y x y x ()1,3（3,1）是弦中点时，此时弦长最小，圆心与定点的距离，弦长
AB ()()512312
2=-+-=
d ,故选B.
545252=-=AB 考点：1.直线与圆的位置关系；2.直线系方程.
【方法点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题型，涉及一些最值问题，当点在圆的外部时，圆上的点到定点距离的最小值是圆心到直线的距离减半径，当点在圆外，可做两条直线与圆相切，当点在圆上，可做一条直线与圆相切，当点在圆内，过定点做圆的弦时，过圆心即直径最长，当定点是弦的中点时，弦最短，并且弦长公式是，R 是圆的半径，d 是圆心到直线的距离.
2
2
2d R l -=1111]
4． 【答案】A
【解析】解：∵函数f （x ）=3﹣|x ﹣1|+m 的图象与x 轴没有交点，∴﹣m=3﹣|x ﹣1|无解，∵﹣|x ﹣1|≤0，
∴0＜3﹣|x ﹣1|≤1，∴﹣m ≤0或﹣m ＞1，解得m ≥0或m ＞﹣1故选：A ．　
5． 【答案】B
【解析】设，则
.
又设，则，，所以2
(,)4
y P y 2
|
|||
PF PA
=2
14
y t +=244y t =-1t …，当且仅当，即时，等号成立，此时点，
||||PF PA ==2t =2y =±(1,2)P ±的面积为
，故选B.
PAF ∆11
||||22222
AF y ⋅=⨯⨯=6． 【答案】
B
【解析】解：当a ＞1时，f （x ）单调递增，有f （﹣1）=+b=﹣1，f （0）=1+b=0，无解；当0＜a ＜1时，f （x ）单调递减，有f （﹣1）==0，f （0）=1+b=﹣1，
解得a=，b=﹣2；所以a+b==﹣；
故选：B
7． 【答案】D
【解析】解：令y=f （x ）=，∵f （﹣x ）==﹣=﹣f （x ），
∴函数y=
为奇函数，
∴其图象关于原点对称，可排除A ；又当x →0+，y →+∞，故可排除B ；当x →+∞，y →0，故可排除C ；而D 均满足以上分析．故选D ．　
8． 【答案】C 【解析】
∴，1122(1,)2(1,)(0,0)x y x y -+-=∴③，1220y y +=联立①②③可得，2
18
m =∴
．
12y y -==∴
．1212S OF y y =
-=（由，得
）
1212420y y y y =-⎧⎨+=
⎩12y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩12y y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩考点：抛物线的性质．9． 【答案】 D
【解析】解：令f （x ）=﹣2x 3
+ax 2+1=0，易知当x=0时上式不成立；故a=
=2x ﹣
，
令g （x ）=2x ﹣
，则g ′（x ）=2+
=2
，
故g （x ）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，
在（﹣1，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数；故作g （x ）=2x ﹣
的图象如下，
，
g（﹣1）=﹣2﹣1=﹣3，
故结合图象可知，a＞﹣3时，
方程a=2x﹣有且只有一个解，
即函数f（x）=﹣2x3+ax2+1存在唯一的零点，
故选：D．
10．【答案】B
【解析】解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，
由c=2a，则b=a，
=，
故选B．
【点评】本题考查余弦定理的运用，要牢记余弦定理的两种形式，并能熟练应用．
11．【答案】B
【解析】解：由于1∈{0，1}，{1}⊆{0，1}，
故选：B
【点评】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中正确理解集合元素与集合关系的实质，即元素满足集合中元素的性质，是解答本题的关键．
12．【答案】C
【解析】解：y=sin2x+cos2x=sin（2x+），
y=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）+）]，
∴由函数y=sin2x﹣cos2x的图象向左平移个单位得到y=sin（2x+），
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数的图象关系，利用辅助角公式将函数化为同名函数是解决本题的关键．　
二、填空题
13．【答案】 ．
【解析】解：∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），
∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=n+…+2+1=．
当n=1时，上式也成立，
∴a n=．
∴=2．
∴数列{}的前n项的和S n=
=
=．
∴数列{}的前10项的和为．
故答案为：．
14．【答案】　﹣4　．
【解析】解：∵函数f（x）=，
∴f（﹣2）=4﹣2=，
f（f（﹣2））=f（）==﹣4．
故答案为：﹣4．
15．【答案】　2：1　．
【解析】解：设圆锥、圆柱的母线为l，底面半径为r，
所以圆锥的侧面积为： =πrl
圆柱的侧面积为：2πrl
所以圆柱和圆锥的侧面积的比为：2：1故答案为：2：1　
16．【答案】　{a|或}　．
【解析】解：∵二次函数f （x ）=x 2﹣（2a ﹣1）x+a+1 的对称轴为 x=a ﹣，
f （x ）=x 2﹣（2a ﹣1）x+a+1是区间（1，2）上的单调函数，∴区间（1，2）在对称轴的左侧或者右侧，∴a ﹣≥2，或a ﹣≤1，∴a ≥，或 a ≤，故答案为：{a|a ≥，或 a ≤}．
【点评】本题考查二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想．　
17．【答案】2【解析】
试题分析：第一组数据平均数为，
2)()()(((2
52
42
32
22
1=-+-+-+-+-∴x x x x x x x x x x x ．
22222212345()()()()(8,4,2ax ax ax ax ax ax ax ax ax a a -+-+-+-+-=∴=∴=考点：方差；标准差．18．【答案】　300　．
【解析】解：根据分层抽样的特征，每个个体被抽到的概率都相等，
所以总体中的个体的个数为15÷=300．
故答案为：300．
【点评】本题考查了样本容量与总体的关系以及抽样方法的应用问题，是基础题目．　
三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）证明；在菱形ABCD 中，AB=2，∠DAB=60°，∴△ABD ，△CBD 为等边三角形，∵E 是BD 的中点，∴AE ⊥BD ，AE=CE=，
∵AC=
，∴AE 2+CE 2=AC 2，
∴AE ⊥EC ，∴AE ⊥平面BCD ，
又∵AE ⊂平面ABD ，∴平面ABD ⊥平面BCD ；
（2）解：由（1）可知建立以E 为原点，EC 为x 轴，ED 为y 轴，EA 为z 轴的空间直角坐标系E ﹣xyz ，则D （0，1，0），C （
，0，0），F （0，，
）G （﹣
，1，
），
平面CDG 的一个法向量=（0，0，1），设平面FDG 的法向量=（x ，y ，z ），
=（0，﹣，
），
=（﹣
，1，
）
∴，即，令z=1，得x=3，y=，
故平面FDG 的一个法向量=（3，，1），
∴cos
=
=
，
∴二面角F ﹣DG ﹣C 的余弦值为﹣．
【点评】本题考查平面垂直，考查平面与平面所成的角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．　
20．【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为，
()f x (1,)k -+∞(,1)k -∞-，无极大值；（2）时，时1()(1)k f x f k e -=-=-极小值2k ≤()(1)(1)f x f k e ==-最小值23k <<，时，；（3）.
1()(1)k f x f k e -=-=-最小值3k ≥2()(2)(2)f x f k e ==-最小值2e λ≤-【解析】
（2）当，即时，在上递增，∴；11k -≤2k ≤()f x []1,2()(1)(1)f x f k e ==-最小值当，即时，在上递减，∴；
12k -≥3k ≥()f x []1,22
()(2)(2)f x f k e ==-最小值当，即时，在上递减，在上递增，112k <-<23k <<()f x []1,1k -[]1,2k -∴．
1
()(1)k f x f k e
-=-=-最小值（3），∴，
()(221)x
g x x k e =-+'()(223)x
g x x k e =-+由，得，'()0g x =32
x k =-
当时，；3
2x k <-
'()0g x <当时，，
3
2
x k >-'()0g x >∴在上递减，在递增，
()g x 3(,2k -∞-3
(,)2
k -+∞故，
323
()()22
k g x g k e -=-=-最小值又∵，∴，∴当时，，
35,22k ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
[]30,12k -∈[]0,1x ∈323()()22k g x g k e -=-=-最小值∴对恒成立等价于；
()g x λ≥[]0,1x ∀∈32
()2k g x e λ-
=-≥最小值又对恒成立．
32
()2k g x e λ-
=-≥最小值35,22k ⎡⎤
∀∈⎢⎥⎣⎦
∴，故．1
3
2
min (2)k e
k --≥2e λ≤-考点：1、利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值；2、不等式恒成立问题及分类讨论思想的应用.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值、不等式恒成立问题及分类讨论思想的应用.属于难题. 数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与划归思想、数形结合思想、建模思想等等，分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.本题（2）就是根据这种思想讨论函数单调区间的.21．【答案】
【解析】（I ）证明：连接OD ，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC ∴OD ∥AE 又AE ⊥DE ∴DE ⊥OD ，又OD 为半径∴DE 是的⊙O 切线
（II ）解：过D 作DH ⊥AB 于H ，则有∠DOH=∠CAB
设OD=5x ，则AB=10x ，OH=2x ，∴AH=7x 由△AED ≌△AHD 可得AE=AH=7x 又由△AEF ∽△DOF 可得
∴
【点评】本题考查平面几何中三角形的相似和全等，辅助线的做法，是解题关键，本题是难题．　
22．【答案】
【解析】满分（14分）．
解法一：（Ⅰ）当a=4时，f（x）=4x2+2x﹣lnx，x∈（0，+∞），
．…（1分）
由x∈（0，+∞），令f′（x）=0，得．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化如下表：
x
f′（x）﹣0+
f（x）↘极小值↗
故函数f（x）在单调递减，在单调递增，…（3分）f（x）有极小值，无极大值．…（4分）
（Ⅱ），
令f′（x）=0，得2ax2+2x﹣1=0，设h（x）=2ax2+2x﹣1．
则f′（x）在（0，1）有唯一的零点x0等价于h（x）在（0，1）有唯一的零点x0
当a=0时，方程的解为，满足题意；…（5分）
当a＞0时，由函数h（x）图象的对称轴，函数h（x）在（0，1）上单调递增，且h（0）=﹣1，h（1）=2a+1＞0，所以满足题意；…（6分）
当a＜0，△=0时，，此时方程的解为x=1，不符合题意；
当a＜0，△≠0时，由h（0）=﹣1，
只需h（1）=2a+1＞0，得．…（7分）
综上，．…（8分）
（说明：△=0未讨论扣1分）
（Ⅲ）设t=1﹣x ，则t ∈（0，1），p （t ）=g （1﹣t ）=at 2+2t ﹣3﹣lnt ，…（9分）
，
由
，故由（Ⅱ）可知，
方程2at 2+2t ﹣1=0在（0，1）内有唯一的解x 0，
且当t ∈（0，x 0）时，p ′（t ）＜0，p （t ）单调递减；t ∈（x 0，1）时，p ′（t ）＞0，p （t ）单调递增．…（11分）
又p （1）=a ﹣1＜0，所以p （x 0）＜0．…（12分）取t=e ﹣3+2a ∈（0，1），
则p （e ﹣3+2a ）=ae ﹣6+4a +2e ﹣3+2a ﹣3﹣lne ﹣3+2a =ae ﹣6+4a +2e ﹣3+2a ﹣3+3﹣2a=a （e ﹣6+4a ﹣2）+2e ﹣3+2a ＞0，从而当t ∈（0，x 0）时，p （t ）必存在唯一的零点t 1，且0＜t 1＜x 0，即0＜1﹣x 1＜x 0，得x 1∈（0，1），且x 0+x 1＞1，
从而函数g （x ）在（0，1）内有唯一的零点x 1，满足x 0+x 1＞1．…（14分）解法二：（Ⅰ）同解法一；…（4分）（Ⅱ）
，
令f ′（x ）=0，由2ax 2+2x ﹣1=0，得．…（5分）
设
，则m ∈（1，+∞），
，…（6分）
问题转化为直线y=a 与函数
的图象在（1，+∞）恰有一个交点问题．
又当m ∈（1，+∞）时，h （m ）单调递增，…（7分）
故直线y=a 与函数h （m ）的图象恰有一个交点，当且仅当．…（8分）
（Ⅲ）同解法一．
（说明：第（Ⅲ）问判断零点存在时，利用t →0时，p （t ）→+∞进行证明，扣1分）
【点评】本题考查函数与导数等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学知识分析和解决问题的能力．　
23．【答案】（1）；（2）.4CE =CD =【解析】
试题分析：（1）由切线的性质可知∽，由相似三角形性质知,可得；ECP ∆EFC ∆::EF CE CE EP =4CE =（2）由切割线定理可得，求出,再由,求出的值. 12
(4)CP BP BP =+,BP OP CD OP OC CP ⋅=⋅CD 试题解析：
（1）因为是圆的切线，是圆的直径，所以，，所以∽,
CP O CE O CP CE ⊥0
90CFE ∠=ECP ∆EFC ∆
设，，又因为∽，所以，
CE x =EP =ECP ∆EFC ∆::EF CE CE EP =
所以，解得.2
x =
4x =
考点：1.圆的切线的性质；2.切割线定理；3.相似三角形性质.
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）木梁的侧面积S=10（AB+2BC+CD）
=10（2+4sin+2cosθ）=20（cosθ+2sin+1），θ∈（0，），
梯形ABCD的面积S ABCD=﹣sinθ=sinθcosθ+sinθ，θ∈（0，），体积V（θ）=10（sinθcosθ+sinθ），θ∈（0，）；
（Ⅱ）木梁的侧面积S=10（AB+2BC+CD）=10（2+4sin+2cosθ）
=20（cos+1），θ∈（0，），
设g（θ）=cos+1，g（θ）=﹣2sin2+2sin+2，
∴当sin=，θ∈（0，），
即θ=时，木梁的侧面积s最大．
所以θ=时，木梁的侧面积s最大为40m2．
（Ⅲ）V′（θ）=10（2cos2θ+cosθ﹣1）=10（2cosθ﹣1）（cosθ+1）
令V′（θ）=0，得cosθ=，或cosθ=﹣1（舍）∵θ∈（0，），∴θ=．当θ∈（0，）时，＜cosθ＜1，V′（θ）＞0，V（θ）为增函数；
当θ∈（，）时，0＜cosθ＜，V′（θ）＞0，V（θ）为减函数．
∴当θ=时，体积V最大．。